Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
R -moduł wolny generowany przez zbiór
X
{\displaystyle X}
suma prosta R nad X – zbiór funkcji
f
:
X
→
R
{\displaystyle f\colon X\to R}
R
,
{\displaystyle R,}
⨁
X
R
,
{\displaystyle \bigoplus _{X}R,}
⨆
X
R
{\displaystyle \bigsqcup _{X}R}
F
(
X
)
.
{\displaystyle F(X).}
R
.
{\displaystyle R.}
Niech
R
{\displaystyle R}
pierścieniem , a
X
{\displaystyle X}
f
:
X
→
R
.
{\displaystyle f\colon X\to R.}
f
{\displaystyle f}
s
u
p
p
f
:=
{
x
∈
X
;
f
(
x
)
≠
0
}
.
{\displaystyle \mathrm {supp} f:=\{x\in X;\ f(x)\neq 0\}.}
Zbiór funkcji
f
:
X
→
R
{\displaystyle f\colon X\to R}
R
{\displaystyle R}
X
{\displaystyle X}
sumą prostą
R
{\displaystyle R}
X
{\displaystyle X}
i oznaczamy
⨁
X
R
,
{\displaystyle \bigoplus _{X}R,}
⨆
X
R
{\displaystyle \bigsqcup _{X}R}
F
(
X
)
.
{\displaystyle F(X).}
⨁
X
R
{\displaystyle \bigoplus _{X}R}
moduł nad
R
{\displaystyle R}
Dowolną funkcję
f
∈
⨁
X
R
{\displaystyle f\in \bigoplus _{X}R}
f
(
y
)
=
∑
x
∈
X
f
(
x
)
δ
x
(
y
)
{\displaystyle f(y)=\sum _{x\in X}f(x)\delta _{x}(y)}
dla każdego
y
∈
X
,
{\displaystyle y\in X,}
δ
x
:
X
→
R
{\displaystyle \delta _{x}\colon X\to R}
δ
x
(
y
)
:=
{
1
g
d
y
y
=
x
0
g
d
y
y
≠
x
.
{\displaystyle \delta _{x}(y):={\begin{cases}1&\mathrm {gdy} \ y=x\\0&\mathrm {gdy} \ y\neq x.\end{cases}}}
Wynika z tego, że funkcje
δ
x
{\displaystyle \delta _{x}}
⨁
X
R
.
{\displaystyle \bigoplus _{X}R.}
δ
x
{\displaystyle \delta _{x}}
x
{\displaystyle x}
x
.
{\displaystyle x.}
f
{\displaystyle f}
f
=
∑
x
∈
X
f
(
x
)
x
l
u
b
f
=
∑
x
∈
X
f
x
x
.
{\displaystyle f=\sum _{x\in X}f(x)x\quad \mathrm {lub} \quad f=\sum _{x\in X}f_{x}x.}
Z. Opial: Algebra Wyższa . PWN, 1970. brak strony w książce 
