Moduł (matematyka)

Moduł – struktura algebraiczna będąca uogólnieniem przestrzeni liniowej. Ponieważ grupy abelowe można postrzegać jako moduły nad pierścieniem liczb całkowitych, to teoria modułów znajduje zastosowanie w wielu działach algebry i innych dziedzinach matematyki.

Definicja

Niech $R$ będzie pierścieniem z jedynką. Modułem (lewostronnym) nad $R$ nazywa się taką strukturę algebraiczną (M, +, 0, μ), że

• (M, +, 0) jest grupą abelową,
• funkcja $\mu\colon R \times M\ni (r,x) \mapsto rx\in M$ spełnia dla wszystkich $r, s \in R$ oraz $\mathsf x, \mathsf y \in M$ następujące warunki:

$r(\mathsf x + \mathsf y) = r\mathsf x + r\mathsf y,$

(1)

$(r + s)\mathsf x = r\mathsf x + s\mathsf x,$

(2)

$r(s\mathsf x) = (rs)\mathsf x,$

(3)

$1\mathsf x = \mathsf x,$

(4)

przy czym $1$ oznacza jedynkę pierścienia $R$.

Działanie pierścienia na grupie

Jeżeli przyjąć $\mu_r(\mathsf x) = r\mathsf x$ oraz rozpatrywać funkcję $\hat\mu\colon r \mapsto \mu_r,$ to pierwszy aksjomat mówi w istocie, że odwzorowania $\mu_r$ są homomorfizmami grupowymi $M,$ zaś trzy pozostałe zapewniają, że $\hat\mu$ jest homomorfizmem pierścienia $R$ w pierścień endomorfizmów $\mbox{End}(M).$ Stąd moduł może być traktowany jako działanie pierścienia na grupie abelowej (por. działanie grupy). W tym sensie teoria modułów uogólnia teorię reprezentacji, która zajmuje się badaniem działań grupy na przestrzeniach liniowych lub, równoważnie, pierścieniami grupowymi.

Rodzaje

Zwykle pisze się po prostu lewostronny R-moduł M lub ${}_RM.$ Prawostronny $R$-moduł $M$ lub $M_R$ definiuje się podobnie z tą różnicą, że pierścień działa prawostronnie, tzn. mnożenie przez skalar jest odwzorowaniem $M \times R \to M$ z powyższymi aksjomatami zapisanymi ze skalarami $r, s \in R$ po prawej stronie elementów $\mathsf x, \mathsf y \in M.$ Tę samą strukturę można otrzymać, zapisując mnożenie przez skalar po lewej stronie, ale zastępując warunek (3) przez

$r(s\mathsf x) = (sr)\mathsf x$

(3')

W ogólnym przypadku nie ma potrzeby tworzenia oddzielnych teorii modułów lewo- i prawostronnych – jeśli $M$ jest modułem lewostronnym (prawostronnym) nad $R,$ to można go utożsamiać z modułem prawostronnym (lewostronnym) nad $R^0,$ gdzie symbol $R^0$ oznacza pierścień przeciwny do $R,$ tzn. zbiory $R$ i $R^0$ są równe, działania dodawania i elementy wyróżnione w obu pierścieniach pokrywają się, natomiast jeśli $(a, b) \mapsto ab$ jest działaniem mnożenia dla $a, b \in R,$ to $(a, b) \mapsto ba$ określa mnożenie w $R^0.$ W dalszej części artykułu moduły lewostronne będą nazywane krótko modułami.

Autorzy, którzy nie wymagają, aby pierścienie miały jedynkę (były unitarne), pomijają czwarty aksjomat powyższej definicji, a struktury powyższego rodzaju nazywają „unitarnymi modułami lewostronnymi” (bądź modułami lewostronnymi z jedynką). W tym artykule jednak, przyjmuje się, że wszystkie pierścienie i moduły mają jedynkę (są unitarne).

Gdy $R$ jest pierścieniem przemiennym, to warunki (3) i (3') są równoważne – wówczas mówi się po prostu o module nad $R.$ Moduł zarazem lewostronny i prawostronny, w którym oba mnożenia są ze sobą zgodne nazywa się bimodułem.

Podmoduły i homomorfizmy

Niech $M$ będzie lewostronnym $R$-modułem, a $N$ podgrupą w $M.$ Wtedy $N$ jest podmodułem (lub dokładniej: $R$-podmodułem), jeżeli

$r\mathsf n \in N$

dla wszystkich $\mathsf n \in N$ oraz $r \in R.$

Zbiór podmodułów danego modułu $M,$ wraz z dwoma działaniami dwuargumentowymi: dodawaniem kompleksowym $+$ oraz przekrojem zbiorów $\cap,$ jest kratą spełniające następujące prawo modularności:

dla danych podmodułów $U, N_1, N_2$ modułu $M$ takich, że $N_1 \subset N_2,$ zachodzi równość podmodułów: $(N_1 + U) \cap N_2 = N_1 + (U \cap N_2).$

Niech $M$ i $N$ będą lewostronnymi $R$-modułami. Przekształcenie $f\colon M \to N$ jest homomorfizmem $R$-modułów, jeżeli dla dowolnych $\mathsf m, \mathsf n \in M$ oraz $r, s \in R$ zachodzi

$f(r\mathsf m + s\mathsf n) = rf(\mathsf m) + sf(\mathsf n)$

Tak jak jakikolwiek inny homomorfizm struktury algebraicznej, przekształcenie to zachowuje strukturę obiektów. Bijektywny homomorfizm modułów jest ich izomorfizmem, które nazywane są przy tym przekształceniu izomorficznymi. Dwa izomorficzne moduły są uważane za identyczne we wszystkich zastosowaniach różniąc się jedynie sposobem zapisu elementów.

Jądro homomorfizmu modułów $f\colon M \to N$ jest podmodułem $M$ składającym się ze wszystkich elementów przekształcanych przez $f$ na zero. Twierdzenie o izomorfizmie znane z teorii grup i przestrzeni liniowych zachodzi również dla $R$-modułów.

Lewostronne $R$-moduły z ich homomorfizmami tworzą kategorię oznaczaną $R\mbox{-}\mathrm{Mod}.$ Jest to kategoria abelowa.

Przykłady

Grupa abelowa 

Jeśli $G$ jest grupą abelową (w zapisie addytywnym), to $G$ jest modułem nad pierścieniem liczb całkowitych $\mathbb Z.$ Mnożenie (lewostronne) elementu $g \in G$ przez skalar $a \in \mathbb Z$ zdefiniowane jest jako wielokrotność elementu $g \in G$ o współczynniku $a \in \mathbb Z.$ Podmoduły tego rodzaju modułów to podgrupy.

Przestrzeń liniowa 

Jeśli $V$ jest przestrzenią liniową nad ciałem $K,$ to $V$ jest modułem nad $K$ z odwzorowaniem strukturalnym $(k, \mathbf v) \mapsto k\mathbf v,$ gdzie $\mathbf v \in V, k \in K.$ Odwrotnie, każdy moduł nad ciałem $K$ jest przestrzenią liniową nad $K.$ Podmodułami przestrzeni liniowych są podprzestrzenie liniowe.

Ideał 

Jeśli $I$ jest (lewostronnym) ideałem pierścienia $R,$ to $I$ jest także modułem (lewostronnym) nad $R$ (gdzie mnożenie przez skalary jest mnożeniem w pierścieniu $R$).

Moduł nad pierścieniem wielomianów 

Niech $V$ oznacza przestrzeń liniową nad ciałem $K,$ zaś $\mathrm A\colon V \to V$ będzie przekształceniem liniowym. Wtedy $V$ jest modułem nad pierścieniem wielomianów $K[x]$ z działaniem $\left(\sum_{k=0}^n x^k\right) \cdot \mathbf v = \left(\sum_{k=0}^n \mathrm A^k(\mathbf v)\right);$ moduł ten oznacza się czasem symbolem $V_\mathrm A.$ Podmoduły w $V_\mathrm A$ to podprzestrzenie niezmiennicze względem $\mathrm A.$

Moduł nad pierścieniem endomorfizmów 

Przestrzeń liniowa $V$ nad ciałem $K$ jest modułem nad swoim pierścieniem endomorfizmów $\mathrm{End}_K(V)$ z działaniem mnożenia danym jako ewaluacja endomorfizmu $\mathrm E \in \mathrm{End}_K(V)$ na wektorze $\mathbf v \in V,$ tzn. zdefiniowanym wzorem $\mathrm E \cdot \mathbf v = \mathrm E(\mathbf v).$

Moduł półprosty

Sumę minimalnych nietrywialnych podmodułów modułu $M$ nad pierścieniem $R$ oznacza się $\operatorname{Soc}(M)$ (od ang. socle, dosł. cokół), bądź krócej $\operatorname{S}(M).$

W szczególności moduł jest półprosty (całkowicie przywiedlny) wtedy i tylko wtedy, gdy $\operatorname{Soc}(M) = M.$ Składa się on dokładnie z tych elementów, które są anihiliowane przez radykał $R.$

Zobacz też

• moduł ilorazowy
• moduł dualny

Bibliografia

• Jerzy Browkin: Teoria ciał. T. 49. Warszawa: 1978, s. 88n, seria: Biblioteka Matematyczna.
• Serge Lang: Algebra. Ryszard Bittner (tłum.). Warszawa: 1973, s. 92.
• Witold Więsław: Grupy, pierścienie, ciała. Wrocław: 1977, s. 284.
• Jacek Komorowski: Od liczb zespolonych do tensorów, spinorów, algebr Liego i kwadryk. Warszawa: 1978, s. 19.