Nierówność Bernsteina

Nierówności Bernsteina - nierówności pojawiające się w rachunku prawdopodobieństwa. Ich nazwa pochodzi od nazwiska radzieckiego matematyka, Siergieja Bernsteina (nie mylić z niemieckim matematykiem Felixem Bernsteinem, zajmującym się głównie teorią mnogości).

Nierówność Bernsteina

Niech $X_1, \ldots, X_n$ będą niezależnymi zmiennymi losowymi na przestrzeni $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ o tym samym rozkładzie takimi, że $|X_i|\leqslant K, \mbox{E}X_i=0, \mbox{E}X_i^2=\sigma^2$ dla pewnej liczby $K\geq 0$ oraz wszystkich liczb naturalnych $i\leqslant n$. Wówczas, prawdziwa jest następująca nierówność, zwana nierównością Bernsteina:

$P(|X_1+\ldots+X_n|>t\sigma \sqrt{n})\leqslant 2 \exp\left(-\frac{t^2}{2}\cdot\frac{1}{1+\frac{Kt}{3\sigma\sqrt{n}}}\right).$

Nierówność Bernsteina (schemat Bernoulliego)

Jeśli $S_n$ jest liczbą sukcesów w schemacie $n$ prób Bernoulliego z prawdopodobieństwem sukcesu $p$, to dla każdego $\varepsilon >0$

$P\left(\left|\frac{S_n}{n}-p\right|>\varepsilon\right)\leqslant 2 e^{-\frac{n\varepsilon^2}{4}}$.

Szczególnym przypadkiem tej nierówności jest tzw. symetryczna nierównosć Bernsteina, która mówi, że jeżeli $(U_n)$ jest ciągiem Bernoulliego, to

$P\left(\frac{U_1+\ldots +U_n}{\sqrt{n}}>r\right)\leqslant e^{-\frac{r^2}{2}}.$

Bibliografia

• Jacek Jakubowski, Rafał Sztencel: Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Warszawa: SCRIPT, 2004.