Nierówność Bernsteina

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Nierówności Bernsteina - nierówności pojawiające się w rachunku prawdopodobieństwa. Ich nazwa pochodzi od nazwiska radzieckiego matematyka, Siergieja Bernsteina (nie mylić z niemieckim matematykiem Felixem Bernsteinem, zajmującym się głównie teorią mnogości).

Nierówność Bernsteina[edytuj | edytuj kod]

Niech X_1, \ldots, X_n będą niezależnymi zmiennymi losowymi na przestrzeni (\Omega, \mathcal{A}, P) o tym samym rozkładzie takimi, że |X_i|\leqslant K, \mbox{E}X_i=0, \mbox{E}X_i^2=\sigma^2 dla pewnej liczby K\geq 0 oraz wszystkich liczb naturalnych i\leqslant n. Wówczas, prawdziwa jest następująca nierówność, zwana nierównością Bernsteina:

P(|X_1+\ldots+X_n|>t\sigma \sqrt{n})\leqslant 2 \exp\left(-\frac{t^2}{2}\cdot\frac{1}{1+\frac{Kt}{3\sigma\sqrt{n}}}\right).

Nierówność Bernsteina (schemat Bernoulliego)[edytuj | edytuj kod]

Jeśli S_n jest liczbą sukcesów w schemacie n prób Bernoulliego z prawdopodobieństwem sukcesu p, to dla każdego \varepsilon >0

P\left(\left|\frac{S_n}{n}-p\right|>\varepsilon\right)\leqslant 2 e^{-\frac{n\varepsilon^2}{4}}.

Szczególnym przypadkiem tej nierówności jest tzw. symetryczna nierównosć Bernsteina, która mówi, że jeżeli (U_n) jest ciągiem Bernoulliego, to

P\left(\frac{U_1+\ldots +U_n}{\sqrt{n}}>r\right)\leqslant e^{-\frac{r^2}{2}}.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Jacek Jakubowski, Rafał Sztencel: Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Warszawa: SCRIPT, 2004.