Teoria mnogości

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Teoria mnogości lub inaczej: teoria zbiorów – dział matematyki, a zarazem logiki matematycznej zapoczątkowany przez niemieckiego matematyka Georga Cantora pod koniec XIX wieku. Teoria początkowo wzbudzała wiele kontrowersji, jednak wraz z postępem matematyki zaczęła ona pełnić rolę fundamentu, na którym opiera się większość matematycznych rozważań.

Na przestrzeni lat język i metody teorii mnogości przeniknęły do wielu innych działów matematyki (na przykład w algebrze rozważa się obiekty teoriomnogościowe zwane ultrafiltrami). Teoria mnogości rozwijana jest także jako samodzielna dyscyplina.

Rys historyczny[edytuj | edytuj kod]

Już matematycy starożytnej Grecji byli zaintrygowani nieskończonością i pozornymi paradoksami spowodowanymi przez używanie pojęcia nieskończoności w rozumowaniach logicznych – pozornymi, ponieważ z biegiem czasu paradoksy te zostały wyjaśnione i, po należytym uściśleniu używanych pojęć, wyeliminowane.

W 1638 Galileusz[1] zauważył, że liczby naturalne i kwadraty liczb naturalnych można powiązać przez wzajemnie jednoznaczną odpowiedniość n\leftrightarrow n^2. Ponieważ zbiór kwadratów liczb naturalnych jest właściwym podzbiorem zbioru liczb naturalnych (co więcej, o dopełnieniu nieskończonym), Galileusz uznał, że jest to paradoks wskazujący, iż pojęć typu większy/mniejszy nie można stosować w odniesieniu do zbiorów nieskończonych.

W pierwszej połowie XIX w. Bernard Bolzano rozważał zbiory nieskończone, sugerując przez pewne przykłady, że zbiory nieskończone to takie, dla których istnieje wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość pomiędzy zbiorem a jego właściwym podzbiorem.

Zbiór liczb wymiernych jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych

W 1874 Georg Cantor opublikował pracę, która jest uznawana za narodziny współczesnej teorii mnogości. Idee te, pomimo dużej opozycji ze strony innych matematyków (np. Leopolda Kroneckera), zostały dalej rozwinięte w kolejnej pracy Cantora w 1878. Podstawowe odkrycie Cantora dotyczyło pojęcia mocy (czyli „liczby elementów”) zbiorów nieskończonych. Przyjął on, że dwa zbiory A i B są równoliczne (mają tę samą moc), jeżeli można przyporządkować wszystkie elementy A wszystkim elementom B w sposób wzajemnie jednoznaczny. Mogłoby się wydawać, że po prostu wszystkie zbiory nieskończone są równoliczne. Cantor dowiódł jednak, że zbiór liczb naturalnych {\mathbb N} jest wprawdzie tej samej mocy co zbiór liczb algebraicznych, ale już nie tej samej co zbiór liczb rzeczywistych {\mathbb R}. W związku z tą obserwacją Cantor sformułował następujący problem:

Zagadnienie continuum: Przypuśćmy, że A jest nieskończonym podzbiorem {\mathbb R}. Czy można wówczas znaleźć albo bijekcję pomiędzy {\mathbb N} a A, albo bijekcję pomiędzy {\mathbb R} a A? Innymi słowy, czy A jest równoliczny albo z {\mathbb N} albo z {\mathbb R}?

David Hilbert, w swojej liście 23 problemów przedstawionych na kongresie w Paryżu w 1900, jako pierwszy problem postawił zagadnienie continuum Cantora.

Ernst Zermelo w 1908 przedstawił pierwszą próbę aksjomatyzacji teorii mnogości[2]. Lista aksjomatów zaproponowana przez Zermelo była poprawiona niezależnie przez Thoralfa Skolema i Abrahama Fraenkela około roku 1922. Dzisiaj aksjomaty te znane są jako aksjomaty Zermelo-Fraenkela. Wkład do aksjomatyzacji miał także John von Neumann, i jego nazwisko też czasem jest zaznaczane w tym kontekście.

W 1939/40 Kurt Gödel dowiódł, że jeśli ZF jest niesprzeczne, to także niesprzeczne jest ZF z dołączonym aksjomatem wyboru i uogólnioną hipotezą continuum (GCH)[3][4]. Wynik ten oznaczał, że nie można dać odpowiedzi negatywnej na pierwszy problem Hilberta, ale problemu tego jeszcze nie rozstrzygał.

Problem continuum został rozstrzygnięty przez Paula Cohena w 1963/64[5][6][7]. Okazało się, że nie można udowodnić CH. Zgodnie z wcześniejszym wynikiem Gödla, hipotezy tej nie można też zaprzeczyć (na gruncie ZFC), a więc jest ona niezależna od standardowych aksjomatów teorii mnogości. Ważną także stała się, użyta w dowodzie, odkryta przez Cohena, metoda forsingu.

Naiwna teoria mnogości[edytuj | edytuj kod]

Pojęcie naiwna teoria mnogości jest używane dla określenia metod stosowanych w początkowym okresie rozwoju tej dyscypliny matematycznej i oznacza podejście oparte na intuicyjnym (nieformalnym) traktowaniu zbiorów. Na przykład w naiwnej teorii mnogości istnienie zbioru będącego sumą dwóch danych zbiorów jest „oczywiste”, podczas gdy obecnie wymagane jest przyjęcie aksjomatu sumy. Tym niemniej dla wielu zastosowań teorii mnogości podejście takie jest wystarczające.

Odkrycie przez Bertranda Russella paradoksów logicznych związanych z pojęciem zbioru sprowokowało Ernsta Zermelo do sformułowania w 1908 roku aksjomatycznej teorii zbiorów. Aksjomaty, które wyłoniły się z wielu podejść do aksjomatyzacji matematyki i są obecnie najczęściej używane, noszą nazwę aksjomatów Zermelo-Fraenkela. Początkowo ustalenie listy obowiązujących aksjomatów nie zmieniło charakteru rozważań i badań, ale rozwój metod stosowanych w teorii mnogości i zwiększająca się liczba nieintuicyjnych wyników spowodowały zwiększone wyczulenie matematyków na sposób, w jaki używają aksjomatów. Seria twierdzeń wykorzystujących aksjomat wyboru (AC) i godzących w tak zwany zdrowy rozsądek (np. wynik Hausdorffa i potem dalej idący paradoksalny rozkład kuli podany przez polskich matematyków Stefana Banacha i Alfreda Tarskiego w 1924) spowodowała zwracanie zwiększonej uwagi na aksjomaty potrzebne dla przeprowadzanych dowodów.

Aksjomatyczna teoria mnogości[edytuj | edytuj kod]

Aksjomatyzacja teorii mnogości była częściowo motywowana potrzebą uniknięcia paradoksów formułowanych w początkowym okresie rozwoju teorii. Później, wraz z pewnym dążeniem do formalizacji całej matematyki na gruncie teorii mnogości i z odkryciami Gödela i Cohena dotyczącymi niezależności pewnych stwierdzeń matematycznych, formalne podejście do teorii mnogości stało się koniecznością.

Elementami uniwersum dowolnego modelu teorii mnogości są zbiory, a jedyną relacją w jej języku jest relacja należenia. W języku tym swoją interpretację posiadają wszystkie „sensowne” obiekty matematyczne. Na przykład funkcje to pewne zbiory par uporządkowanych (które oczywiście również są zbiorami); a według von Neumanna liczba 0 to zbiór pusty; liczba 1 to zbiór, którego jedynym elementem jest zbiór pusty; liczba 2 to zbiór, którego jedynymi elementami są liczba 1 i zbiór pusty i tak dalej. Podobnie można zakodować również bardziej skomplikowane byty (na przykład liczby rzeczywiste, rozmaite struktury algebraiczne czy przestrzenie topologiczne) oraz zapisywać twierdzenia ich dotyczące. Tak naprawdę potrzeba do tego jedynie zbioru pustego, relacji należenia i aksjomatów teorii mnogości[8].

Standardowym zestawem aksjomatów teorii mnogości przyjmowanym dzisiaj w matematyce jest system Zermelo-Fraenkla z aksjomatem wyboru, czyli ZFC.

W pierwszej połowie XX wieku używanie aksjomatu wyboru było uznawane za kontrowersyjne, ale i tak akceptowane. W praktyce wszyscy w zasadzie używali i używają aksjomatu wyboru, ale większość matematyków nie jest tego w pełni świadoma. W teorii mnogości ciągle istnieje zainteresowanie dowodami na gruncie tylko ZF. Jednym z tego powodów jest rozwój aksjomatów sprzecznych z aksjomatem wyboru, jak na przykład AD.

Po odkryciu twierdzeń o niezupełności[9] oraz w wyniku późniejszych prac Gödla i Cohena, zmienił się charakter badań w teorii mnogości. Dowody niezależności pewnych zdań od aksjomatów ZF(C) i szczegółowa analiza istotności założeń twierdzeń są typowym zjawiskiem we współczesnej, aksjomatycznej teorii mnogości. Wśród zdań niezależnych od aksjomatów ZFC, czyli takich, że ani one, ani ich negacje nie wynikają z aksjomatów ZFC, rozważa się na przykład:

i wiele innych. Założenie jednego z tych zdań (lub ich kombinacji) jako dodatkowej przesłanki może pomóc matematykowi w wykazaniu, że jakieś stwierdzenie nie jest sprzeczne z aksjomatami ZFC.

Inne teorie[edytuj | edytuj kod]

Warto zauważyć, że ZFC nie jest jedyną możliwą formalizacją teorii mnogości. Istnieje szereg pokrewnych systemów, ale po prostu nie zyskały one tak wielkiej popularności jak ZFC. Ponadto rozważane też są aksjomatyzacje teorii mnogości całkowicie odmienne od ZFC. Najbardziej znanymi przykładami są

  • system nazywany New Foundations (NF), zapoczątkowany przez amerykańskiego logika Willard Van Orman Quine'a, oraz jego modyfikacja NFU[10],
  • system ZFA, który jest otrzymany z ZFC przez zastąpienie aksjomatu regularności przez jego silne zaprzeczenie[11].

Systemy te są jednak traktowane bardziej jako ciekawostki niż główne narzędzie dla matematyków.

Należy także wspomnieć, że miały miejsce również inne próby stworzenia teorii stanowiącej podstawy matematyki – jak intuicjonizm postulujący jako fundament matematyki teorie liczb, bliski mu konstruktywizm postulujący oparcie podstaw matematyki na koncepcjach finitystycznych jak rekurencja czy obliczalność, a z bardziej współczesnych – teoria kategorii.

Współczesne badania w teorii mnogości[edytuj | edytuj kod]

Zgodnie z klasyfikacją badań naukowych w matematyce prowadzoną przez Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne, teoria mnogości (oznaczona kodem 03Exx) jest traktowana jako część logiki matematycznej (razem z teorią dowodu, teorią modeli, teorią rekursji i logiką algebraiczną). Aktualne badania w teorii mnogości są opisywane za pomocą kolejnego podziału na 21 poddziały. Poniżej przedstawiono kilka współczesnych dziedzin teorii mnogości.

Relacje podziałowe (03E02)[edytuj | edytuj kod]

Twierdzenia podziałowe mają swoje korzenie w początkach teorii mnogości i kombinatoryki. Następujące dwa twierdzenia (należące do klasycznych rezultatów w teorii mnogości) oddają charakter badań w tej poddziedzinie:

  • Twierdzenie Ramseya mówiące, że jeśli zabarwić wszystkie pary nieuporządkowane liczb naturalnych używając dwóch kolorów, białego i czerwonego, to można znaleźć nieskończony zbiór liczb naturalnych, taki że wszystkie pary z tego zbioru mają ten sam kolor.
  • Twierdzenie Erdősa–Rado stwierdzające, że jeśli |A|\geqslant (2^\kappa)^+ i wszystkie dwuelementowe podzbiory zbioru I pokolorujemu używając dwóch kolorów, to można znaleźć zbiór B\subseteq A taki, że |B|=\kappa^+ oraz wszystkie pary elementów B mają ten sam kolor.

Jedną z pierwszych lektur dla zainteresowanych w tej tematyce może być monografia Erdösa, Hajnala, Máté i Rado[12].

Zbiory uporządkowane i ich współkońcowość; teoria PCF (03E04)[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Osobny artykuł: Teoria PCF.

Ta tematyka badań była stworzona przez Saharona Shelaha w latach 90. XX wieku[13]. Głównym odkryciem Shelaha było, że pomimo dużej kolekcji wyników niezależnościowych w arytmetyce liczb kardynalnych, wciąż można dowieść wielu twierdzeń w ZFC, o ile zostanie zadane właściwe pytanie. Przez analizowanie zbioru możliwych współkońcowości zredukowanych porządków produktowych stworzył on teorię PCF z której wywnioskował nowe prawa klasycznej arytmetyki liczb kardynalnych. Do najbardziej znanych wyników Shelaha należy następujący.

  • Twierdzenie Shelaha: \aleph_\omega^{\aleph_0}\leqslant 2^{\aleph_0}+\aleph_{\omega_4}

Powszechnie znaną (choć niekoniecznie popieraną) tezą Shelaha jest, że jeśli zinterpretować właściwie pierwszy problem Hilberta (używając podejścia motywowanego przez teorię PCF), to ma on odpowiedź pozytywną[14].

Opisowa teoria mnogości (03E15)[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Osobny artykuł: Opisowa teoria mnogości.

Głównym zainteresowaniem matematyków są tutaj definiowalne obiekty w przestrzeniach polskich. Zbiory borelowskie czy też zbiory rzutowe oraz ich własności są uznane za warte badania nawet przez matematyków nastawionych na skrajną konstruowalność. Ponieważ wszystkie przestrzenie polskie są borelowsko izomorficzne (a nawet więcej), to każdą z nich traktuje się jak prostą rzeczywistą. To podejście pozwala zawsze ustalić taką przestrzeń, dla której nasz dowód jest najbardziej elegancki, a także pozwala formułować twierdzenia tak, że mówią o najbardziej popularnym obiekcie w matematyce: prostej. Wyniki uzyskiwane w opisowej teorii mnogości mają często duże znaczenia dla teorii miary, topologii czy też systemów dynamicznych. W ostatnich latach kluczowe badania dotyczą borelowskich relacji równoważności oraz działań grup (przede wszystkim grup polskich, tzn. grup topologicznych będących przestrzeniami polskimi).

Współczynniki kardynalne prostej rzeczywistej (03E17)[edytuj | edytuj kod]

Głównym obiektem zainteresowań tutaj są różne funkcje kardynalne określane na przestrzeniach polskich. Jak już wspomniano powyżej, każda z doskonałych przestrzeni polskich jest traktowana jako jedna z możliwych realizacji prostej. Większość (choć nie wszystkie) z funkcji kardynalnych tłumaczy się z jednej przestrzeni na drugą, a przykładowymi funkcjami kardynalnymi są współczynniki występujące w diagramie Cichonia. Studia współczynników kardynalnych mają dwa oblicza: z jednej strony związane są one z pogłębianiem naszych metod kombinatorycznych (w celu uzyskania wyników w ZFC), z drugiej strony mają one duży wpływ na rozwój forsingu (w celu uzyskania dowodów niezależnościowych).

Dowody niesprzeczności i niezależności (03E35)[edytuj | edytuj kod]

Ten dział obejmuje wszystkie dowody forsingowe wykazujące niesprzeczność pewnych stwierdzeń. Wyniki które można zbiorowo opisać stwierdzeniem, że każde rozmieszczenie wartości \aleph_1 i \aleph_2 w diagramie Cichonia, które jest zgodne z nierównościami diagramu i dwoma dodatkowymi równościami jest niesprzeczne z ZFC są częścią prac w tej tematyce. Innym przykładami zastosowania forsingu (niemającymi nic wspólnego z funkcjami kardynalnymi) są następujące dwa wyniki.

  • Jest niesprzeczne z ZFC, że dla każdej funkcji f\colon \mathbb R \to \mathbb R można znaleźć zbiór A \subseteq \mathbb R, który nie jest pierwszej kategorii i taki, że obcięcie f|_A jest ciągłe[15].
  • Jest niesprzeczne z ZFC, że dla każdej funkcji f\colon \mathbb R \to \mathbb R można znaleźć zbiór A \subseteq \mathbb R, który nie jest miary zero i taki, że obcięcie f|_A jest ciągłe[16].

Inne aspekty forsingu i modeli boole’owskich (03E40)[edytuj | edytuj kod]

Ta tematyka jest blisko związana z uzyskiwaniem dowodów niezależnościowych dyskutowanym powyżej. Różnica pomiędzy tymi dwoma działami jest taka, że tutaj matematycy są bardziej zainteresowani w rozwoju teorii forsingu niż udowodnieniem niesprzeczności szczególnego zdania. Zwykle jednak te badania idą w parze i rozważany szczególny problem jest często punktem wyjściowym do rozwoju ogólnej teorii. Klasycznym przykładem monografii w tej dziedzinie jest książka Shelaha[17].

Hipoteza continuum i aksjomat Martina (03E50)[edytuj | edytuj kod]

Hipoteza continuum i jej konsekwencje od samego zarania teorii mnogości były w centrum zainteresowań matematyków. Jednym z powodów tego stanu rzeczy było, że CH ma ciekawe konsekwencje. Wiele z tych konsekwencji było odkrytych przez polskiego matematyka Wacława Sierpińskiego[18].

Wśród ciekawych wyników związanych z CH można wspomnieć następujące twierdzenie wrocławskiego matematyka Michała Moraynego[19]

Twierdzenie: CH jest równoważne ze stwierdzeniem, że istnieje funkcja f=(f_1, f_2)\colon \mathbb R \to \mathbb R \times \mathbb R taka, że f(\mathbb R)=\mathbb R\times \mathbb R oraz dla każdego x \in \mathbb R, albo istnieje pochodna f'_1(x) lub istnieje pochodna f'_2(x).

Ponieważ aksjomat Martina jest wygodnym narzędziem uogólniającym CH, zaczyna on zajmować rolę wcześniej okupowaną przez hipotezę continuum. Znaczna część konsekwencji CH ma swoje odpowiedniki przy założeniu MA+CH.

Duże liczby kardynalne (03E55)[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Osobny artykuł: Duże liczby kardynalne.

Duże liczby kardynalne to liczby kardynalne mające własności wykluczające możliwość udowodnienia niesprzeczności ich istnienia na gruncie ZFC. Przykładami takich liczb są liczby nieosiągalne czy też dużo większe liczby mierzalne czy też liczby Woodina. Badania tych obiektów są ściśle związane z badaniami aksjomatów determinacji oraz forsingiem dla niesprzeczności naruszeń hipotezy liczb singularnych SCH.

Aksjomaty determinacji (03E60)[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Osobny artykuł: Aksjomat determinacji.

Pierwsza gra nieskończona, tzw. gra Banacha-Mazura była wprowadzona przez polskiego matematyka Stanisława Mazura. Aksjomaty determinacji związane z pewnymi grami nieskończonymi i postulujące, że te gry są zdeterminowane (tzn. jeden z graczy ma strategię zwycięską), były rozważane po raz pierwszy przez polskich matematyków Jana Mycielskiego, Hugo Steinhuasa i Stanisława Świerczkowskiego[20][21]. Kiedy w latach 70. XX wieku Donald A. Martin udowodnił, że gry na zbiory borelowskie są zdeterminowane (w ZFC) a istnienie liczby mierzalnej implikuje determinację gier na zbiory analityczne[22][23], wzrosło zainteresowanie aksjomatami determinacji (zarówno w pełnej formie, jak i ograniczonych do pewnych klas zbiorów). Badania te są zwykle powiązane z badaniami dużych liczb kardynalnych. Rekomendowanym źródłem w tej dziedzinie jest monografia Hugh Woodina[24].

Polscy matematycy w teorii mnogości[edytuj | edytuj kod]

Teoria mnogości, podobnie jak topologia, jest jedną z tych dziedzin matematyki, w których wkład polskich matematyków był i jest bardzo istotny. Matematycy związani zarówno z warszawską szkołą matematyczną, jak i ze szkołą lwowską, byli zainteresowani problemami w teorii mnogości, choć często zainteresowania te były motywowane ich pracami w topologii czy też analizie funkcjonalnej. Tradycje te są kontynuowane współcześnie przez wielu polskich matematyków pracujących w kraju, jak i poza jego granicami.

Wśród polskich matematyków powszechnie uznanych za wybitnych, ważny wkład w rozwój teorii mnogości mieli:

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Wikibooks-logo.svg
Zobacz publikację na Wikibooks:
Teoria mnogości

Przypisy

  1. Galileo Galilei, Discorsi e dimostrazioni matematiche, intorno à due nuove scienze, 1638.
  2. Zermelo, Ernst: Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre. I. „Math. Ann.” 65 (1908), s. 261-281.
  3. Gödel, Kurt: Consistency-proof for the generalized continuum-hypothesis. Proc. nat. Acad. Sci. USA 25 (1939), s. 220-224.
  4. Gödel, Kurt: The consistency of the continuum hypothesis. „Annals of Mathematical Studies.” 3, Princeton, N.J.: Princeton University Press, 1940.
  5. Cohen, Paul: The independence of the continuum hypothesis. „Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A.” 50 (1963), s. 1143-1148.
  6. Cohen, Paul J.: The independence of the continuum hypothesis. II. „Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A.” 51 (1964), s. 105-110.
  7. Cohen, Paul J.: Set theory and the continuum hypothesis. W.A. Benjamin, Inc., New York-Amsterdam, 1966.
  8. Matematyków interesuje tu jedynie fakt, że można w ten sposób (używając zbioru jako pojęcia pierwotnego) sformalizować matematykę. Nikt nie uprawia np. geometrii, posługując się jedynie pojęciem zbioru, relacją należenia i wywodząc wszystkie twierdzenia wprost z aksjomatów teorii mnogości. Wcześniej, przed powstaniem aksjomatycznej teorii mnogości, próbowano oprzeć matematykę na pojęciach liczby i wielkości.
  9. Gödel, Kurt: Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme. I. „Monatshefte f. Math.” 38 (1931), s. 173-198.
  10. Holmes, M.R.: Elementary Set Theory with a Universal Set, „Cahiers du Centre de logique”, 10, Academia, Louvain-la-Neuve (Belgium), 1998. ISBN 2-87209-488-1.
  11. Aczel, Peter: Non-well-founded sets. „CSLI Lecture Notes”, 14. Stanford University, Center for the Study of Language and Information, Stanford, CA, 1988. ISBN 0-937073-22-9.
  12. Erdös, Paul; Hajnal, András; Máté, Attila; Rado, Richard: Combinatorial set theory: partition relations for cardinals. „Studies in Logic and the Foundations of Mathematics”, 106. North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 1984. ISBN 0-444-86157-2.
  13. Shelah, Saharon: Cardinal arithmetic. „Oxford Logic Guides”, 29. Oxford Science Publications. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1994. ISBN 0-19-853785-9.
  14. Shelah, Saharon: The generalized continuum hypothesis revisited. „Israel J. Math.” 116 (2000), s. 285-321.
  15. Shelah, Saharon: Possibly every real function is continuous on a non-meagre set. „Publ. Inst. Math. (Beograd)” (N.S.) 57(71) (1995), s. 47-60.
  16. Rosłanowski, Andrzej; Shelah, Saharon: Measured creatures. „Israel J. Math.” 151 (2006), s. 61-110.
  17. Shelah, Saharon: Proper and improper forcing. „Perspectives in Mathematical Logic.” Springer-Verlag, Berlin, 1998. ISBN 3-540-51700-6.
  18. Sierpiński, Wacław: Hypothèse du continu. Chelsea Publishing Company, New York, N.Y., 1956.
  19. Morayne, Michał: On differentiability of Peano type functions.Colloq. Math.” 48 (1984), nr 2, s. 261-264.
  20. Mycielski, Jan; Steinhaus, H.: A mathematical axiom contradicting the axiom of choice. „Bull. Acad. Polon. Sci. Sér. Sci. Math. Astronom. Phys.” 10 (1962), s. 1-3.
  21. J. Mycielski, S. Świerczkowski: On the Lebesgue measurability and the axiom of determinateness. „Fundamenta Mathematicae”. 54 (1964), s. 67-71.
  22. Martin, Donald A.: Borel determinacy. „Ann. of Math.” (2) 102 (1975), nr 2, s. 363-371.
  23. Martin, Donald A.: Measurable cardinals and analytic games. „Fund. Math.” 66 (1969/1970), s. 287-291.
  24. Woodin, W. Hugh: The axiom of determinacy, forcing axioms, and the nonstationary ideal. „de Gruyter Series in Logic and its Applications”, 1. Walter de Gruyter & Co., Berlin, 1999. ISBN 3-11-015708-X.

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]