Nierówność Muirheada

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

W matematyce nierówność Muirheada jest uogólnieniem nierówności między średnimi potęgowymi.

Jeżeli a_1, a_2, \dots, a_n, b_1, b_2, \dots, b_n są liczbami nieujemnymi, że:

a_1 \geqslant a_2 \geqslant \dots \geqslant a_n
b_1 \geqslant b_2 \geqslant \dots \geqslant b_n
a_1 + a_2 + \dots + a_k \geqslant b_1 + b_2 + \dots + b_k dla 1 \leqslant k < n
a_1 + a_2 + \dots + a_n = b_1 + b_2 + \dots + b_n

to mówimy, że ciąg (a_1, a_2, \dots, a_n) majoryzuje ciąg (b_1, b_2, \dots, b_n) i piszemy (a_1, a_2, \dots, a_n) \succ (b_1, b_2, \dots, b_n).

Sformułowanie nierówności: jeżeli ciąg (a_1, a_2, \dots, a_n) majoryzuje ciąg (b_1, b_2, \dots, b_n) to dla nieujemnych liczb x_1, x_2, \dots, x_n

\sum_{s \in S_n} x_1^{a_{s(1)}} x_2^{a_{s(2)}} \dots x_n^{a_{s(n)}} \geqslant \sum_{s \in S_n} x_1^{b_{s(1)}} x_2^{b_{s(2)}} \dots x_n^{b_{s(n)}},

gdzie \sum_{s \in S_n} oznacza sumę dla wszystkich permutacji s zbioru \{1,2,\dots,n\}.

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]