Nierówność Muirheada

W matematyce nierówność Muirheada jest uogólnieniem nierówności między średnimi potęgowymi.

Jeżeli $a_1, a_2, \dots, a_n, b_1, b_2, \dots, b_n$ są liczbami nieujemnymi, że:

$a_1 \geqslant a_2 \geqslant \dots \geqslant a_n$

$b_1 \geqslant b_2 \geqslant \dots \geqslant b_n$

$a_1 + a_2 + \dots + a_k \geqslant b_1 + b_2 + \dots + b_k$ dla $1 \leqslant k < n$

$a_1 + a_2 + \dots + a_n = b_1 + b_2 + \dots + b_n$

to mówimy, że ciąg $(a_1, a_2, \dots, a_n)$ majoryzuje ciąg $(b_1, b_2, \dots, b_n)$ i piszemy $(a_1, a_2, \dots, a_n) \succ (b_1, b_2, \dots, b_n)$.

Sformułowanie nierówności: jeżeli ciąg $(a_1, a_2, \dots, a_n)$ majoryzuje ciąg $(b_1, b_2, \dots, b_n)$ to dla nieujemnych liczb $x_1, x_2, \dots, x_n$

$\sum_{s \in S_n} x_1^{a_{s(1)}} x_2^{a_{s(2)}} \dots x_n^{a_{s(n)}} \geqslant \sum_{s \in S_n} x_1^{b_{s(1)}} x_2^{b_{s(2)}} \dots x_n^{b_{s(n)}}$,

gdzie $\sum_{s \in S_n}$ oznacza sumę dla wszystkich permutacji $s$ zbioru $\{1,2,\dots,n\}$.

Linki zewnętrzne

• PlanetMath