Permutacja

Niniejszy artykuł jest częścią cyklu kombinatoryka.

permutacja kombinacja bez powtórzeń kombinacja z powtórzeniami wariacja bez powtórzeń wariacja z powtórzeniami liczby Bella liczby Catalana liczby Stirlinga liczby Eulera zasada szufladkowa Dirichleta zasada włączeń i wyłączeń

Permutacja – wzajemnie jednoznaczne przekształcenie pewnego zbioru na siebie. Najczęściej termin ten oznacza funkcję na zbiorach skończonych.

Permutacje zbiorów skończonych mogą być utożsamiane z ustawianiem elementów zbioru w pewnej kolejności. W poniższym artykule zbiór wszystkich permutacji zbioru $X$ będzie oznaczany $S(X)$, jeżeli $X = \{1, 2, 3, \dots, n\}$, to zapisywany on będzie symbolem $S_n$ (zob. pozostałe oznaczenia w artykule o grupach permutacji).

Zapis

W celu skrócenia zapisu, szczególnie, gdy permutacji nie można zadać prostym wzorem, permutację $\pi \in S_n$ zapisuje się jako

$\pi = \begin{pmatrix} 1 & 2 & \ldots & n \\ a_1 & a_2 & \ldots & a_n \end{pmatrix}$,

gdy $\pi(i) = a_i$ dla $i = 1, \ldots, n$, czyli permutacja $\pi$ przypisuje liczbie $i$ wartość $a_i$.

Zapis macierzowy

Permutację można też zapisać jako macierz $A$, taką, że $A_{i,j} = \begin{cases} 1, & \mbox{jeśli } i \mbox{ przechodzi na } j, \\ 0, & \mbox{w przeciwnym wypadku. } \end{cases}$.

Na przykład permutację $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 4 & 2 & 5 & 3 \end{pmatrix}$ można zapisać jako $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}.$

Grupa permutacji

Zbiór $S(X)$ wszystkich permutacji zbioru $X$ wraz z działaniem składania funkcji stanowi grupę nazywaną grupą permutacji. Jeśli $X$ jest zbiorem $n$-elementowym, to grupa $S(X)$ jest izomorficzna z $S_n$: niech $f\colon \{1, \dots, n\} \to X$ będzie bijekcją. Wówczas odwzorowanie

$S(X) \to S_n; \pi \mapsto f^{-1} \circ \pi \circ f$

jest izomorfizmem grup. Podobnie można pokazać, że jeśli zbiory $X, Y$ są równoliczne, to grupy $S(X), S(Y)$ są izomorficzne, a więc nierozróżnialne na gruncie teorii grup.

Rząd grupy $S_n$, czyli moc zbioru wszystkich permutacji zbioru $n$-elementowego, to możliwa liczba uporządkowań tego zbioru równa $n!$, gdzie wykrzyknik oznacza silnię. W kombinatoryce na oznaczenie liczności tego zbioru stosuje się również symbol $P_n$.

Składanie permutacji

Złożeniem permutacji $\pi_1,\pi_2\in S(X)$ jest permutacja $\pi_2\circ\pi_1\in S(X)$ zadana wzorem

$(\pi_2\circ\pi_1)(x)=\pi_2(\pi_1(x))$ dla $x\in X$.

Przykład 

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}$.

Permutacja odwrotna

Permutacja odwrotna $\pi^{-1}$ do permutacji $\pi\in S_n$, która odwzorowuje w zapisie macierzowym wiersz górny na dolny, to permutacja odwzorowująca dolny wiersz na górny: aby uzyskać macierz w zapisie macierzowym należy zamienić porządek wierszy i (dla wygody) uporządkować rosnąco kolumny.

Przykład 

Jeśli $\pi=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}\in S_3$, to

$\pi^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}$.

Znak permutacji

Znak permutacji definiujemy jako znak wyznacznika macierzy tej permutacji. Można na to spojrzeć też w inny sposób: każdą permutację można otrzymać za pomocą złożenia różnych ilości przestawień (transpozycji) par elementów. Takie przedstawienie permutacji nie jest jednoznaczne i można zmienić ilość użytych transpozycji, niemniej jednak liczba transpozycji w takiej reprezentacji jest zawsze albo parzysta albo nieparzysta. Inaczej mówiąc, parzystość liczby transpozycji jest niezmiennikiem tej operacji. Wynika to z faktu, że każda transpozycja zmienia całkowitą liczbę inwersji o liczbę nieparzystą. Permutację, która ma parzystą liczbę inwersji nazywamy parzystą (lub dodatnią), zaś jeśli ma ona nieparzystą liczbę inwersji to nazywamy ją permutacją nieparzystą (lub ujemną).

Cykle

Cyklem nazywamy każdą permutację postaci:

$\begin{pmatrix} a_1 & a_2 & \ldots & a_{k-1} & a_k & a_{k+1} & a_{k+2} & \ldots & a_n\\ a_2 & a_3 & \ldots & a_k & a_1 & a_{k+1} & a_{k+2} & \ldots & a_n\ \end{pmatrix}$.

Zazwyczaj, gdy operujemy na cyklach opuszczamy część: $\begin{pmatrix} a_{k+1} & a_{k+2} & \ldots & a_n\\ a_{k+1} & a_{k+2} & \ldots & a_n\ \end{pmatrix}$, gdyż nie wnosi ona nic nowego.

Zapis cyklu możemy jeszcze uprościć. Wystarczy zauważyć że dolny wiersz naszego symbolu oznaczającego cykl można jednoznacznie odtworzyć z górnego. Zatem nasz ostateczny uproszczony symbol przybiera postać:

$\begin{pmatrix} a_1 & a_2 & \ldots & a_{k-1} & a_k \\ a_2 & a_3 & \ldots & a_k & a_1 \end{pmatrix}=(a_1,a_2,\ldots,a_k)$

Można udowodnić (choć jest to dość intuicyjne), że każdą permutację można przedstawić jako złożenie pewnej liczby cykli.

Składanie permutacji podobnie jak większości funkcji nie jest przemienne. Nie dotyczy to sytuacji, gdy składamy permutacje niezależne. Ponieważ permutacjami niezależnymi są rozłączne cykle to zachodzi następujące twierdzenie:

$\pi^n=p_1^n\circ p_2^n\circ \ldots \circ p_k^n$, gdzie $\pi=p_1\circ p_2\circ \ldots \circ p_k$ jest rozkładem permutacji $\pi$ na k rozłącznych cykli.

Przykłady

Cyklem jest permutacja:

$\begin{pmatrix} 1 & 3 & 5 & 8 & 2 & 4 & 6 & 7 \\ 3 & 5 & 8 & 1 & 2 & 4 & 6 & 7 \end{pmatrix}$ którą można zapisać jako $\begin{pmatrix} 1 & 3 & 5 & 8 \\ 3 & 5 & 8 & 1 \end{pmatrix}$

Rozkład na cykle

$\begin{matrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 3 & 4 & 8 & 6 & 7 & 2 & 1 & 5 \end{pmatrix} & = & \begin{pmatrix} 1 & 3 & 8 & 5 & 7 & 2 & 4 & 6 \\ 3 & 8 & 5 & 7 & 1 & 4 & 6 & 2 \end{pmatrix} \\ \ & = & \begin{pmatrix} 1 & 3 & 8 & 5 & 7 & 2 & 4 & 6 \\ 3 & 8 & 5 & 7 & 1 & 2 & 4 & 6 \end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix} 1 & 3 & 8 & 5 & 7 & 2 & 4 & 6 \\ 1 & 3 & 8 & 5 & 7 & 4 & 6 & 2 \end{pmatrix} \\ \ & = & \begin{pmatrix} 1 & 3 & 8 & 5 & 7 \\ 3 & 8 & 5 & 7 & 1 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 2 & 4 & 6 \\ 4 & 6 & 2 \end{pmatrix} \\ \ & = & (1,3,8,5,7)\circ (2,4,6) \end{matrix}$

Kombinatoryka

Permutacja bez powtórzeń

Permutacja jest szczególnym przypadkiem wariacji bez powtórzeń.

Definicja: Permutacją bez powtórzeń zbioru złożonego z n różnych elementów nazywamy każdy n wyrazowy ciąg utworzony ze wszystkich wyrazów zbioru. Wszystkich możliwych permutacji zbioru n-elementowego jest:

$P_n = n!$

Przykład: Elementy zbioru $A = \{a, b, c\}$ można ustawić w ciąg na $P_3 = 3! = 6$ sposobów: $abc, acb, bac, bca, cab, cba$.

Wyjaśnienie: W każdej z permutacji mamy do zapełnienia trzy wolne miejsca. W pierwszym z nich możemy umieścić dowolną z liter na trzy sposoby ($P_n=3 \cdot ...$), na drugim dowolną spośród pozostałych jeszcze dwóch liter na dwa sposoby ($P_n=3 \cdot 2 \cdot ...$), itd. Na ostatnim miejscu musi znaleźć się ostatnia dostępna litera (element zbioru), a zatem możemy to zrobić tylko na jeden sposób. Ostatecznie otrzymujemy: $P_n = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 3!$

Permutacja z powtórzeniami

Niech $A$ oznacza zbiór złożony z $k$ różnych elementów $A = \{a_1, a_2, ..., a_k\}$. Permutacją $n$ elementową z powtórzeniami, w której elementy $a_1, a_2, ..., a_k$ powtarzają się odpowiednio $n_1, n_2, ..., n_k$ razy, $n_1 + n_2 + ... + n_k = n$, jest każdy $n$-wyrazowy ciąg, w którym elementy $a_1, a_2, ..., a_k$ powtarzają się podaną liczbę razy.

Liczba takich permutacji z powtórzeniami wynosi $\frac{n!}{n_1! \cdot n_2! \cdot \ldots \cdot n_k!}$.

Przykład: Przestawiając litery $b, a, b, k, a$ można otrzymać $\begin{matrix}\frac{5!}{2! \cdot 2! \cdot 1!}\end{matrix}= 30$ różnych napisów.

Wyjaśnienie: "Zwykłe" przestawianie liter w słowie babka spowoduje kilkukrotne powstanie identycznych wyrazów, np. zamieniając miejscami pierwszą i trzecią literę znów otrzymamy słowo babka. Należy to uwzględnić przy zliczaniu, dlatego rezultat trzeba podzielić każdorazowo przez liczbę "zbędnych" permutacji, które nie prowadzą do powstania nowych słów (ciągów uporządkowanych).

Spostrzeżenie: Można wobec tego zapisać wzór na permutację bez powtórzeń następująco: $\! P_n=n!=\begin{matrix}\frac{n!}{1! \cdot 1! \cdot ... \cdot 1!}\end{matrix}$ (każdy z elementów występuje dokładnie raz).

Urządzenia do wyliczania permutacji matematycznych

Ciekawym urządzeniem do wyliczania cyklicznych permutacji był wynaleziony w połowie lat 30 tych przez polskiego matematyka i kryptologa Mariana Rejewskiego Cyklometr. Służył on polskiemu wywiadowi do łamania kodów niemieckiej maszyny szyfrującej Enigma.

Zobacz też

• transpozycja
• twierdzenie Cayleya