Płaty Béziera

Płaty Béziera – powierzchnie parametryczne stosowane w modelowaniu geometrycznym, uogólnienie krzywych Béziera.

Prostokątne płaty powierzchni Béziera

Prostokątne płaty powierzchni Béziera (rzadziej płaty tensorowe) są funkcjami dwóch zmiennych $u, v$ odwzorowującymi kwadrat jednostkowy w przestrzeń k-wymiarową (3, 4, rzadziej więcej wymiarów):

$[0,1] \times [0,1] \to \mathbb R^k$

Płat jest stopnia $n$ względem parametru $u$ i stopnia $m$ względem parametru $v$.

Kształt powierzchni, podobnie jak w przypadku krzywych Béziera, kontroluje się za pomocą punktów kontrolnych; aby opisać płat stopnia $(n,m)$ potrzebne jest $(n+1) \cdot (m+1)$ punktów kontrolnych dla wygody zapisanych w tablicy dwuwymiarowej – $p_{ij}$ to punkt w i-tym wierszu i j-tej kolumnie tej tablicy.

Analogicznie do łamanej kontrolnej krzywej, dla płatów używa się określenia siatki kontrolnej, którą jest zbiór linii łączących sąsiednie punkty kontrolne (sąsiednie, czyli $p_{ij}$ - $p_{i(j+1)}$, albo $p_{ij}$ - $p_{(i+1)j}$).

Łamana której wierzchołkami są punkty kontrolne o stałym indeksie $i$ nazywana jest wierszem, o stałym indeksie $j$ kolumną.

Dowolny punkt na powierzchni oblicza się zgodnie ze wzorem:

$p(u,v) = \sum_{i=0}^n \sum_{j=0}^m p_{ij} B_i^n(u) B_j^m(v)$ dla $u,v \in [0,1]$

$B_i^n$, $B_j^m$ - wielomiany bazowe Bernsteina

W praktyce obliczenie punktu $p(u,v)$ przeprowadza się zgodnie z jednym ze schematów:

1. $p(u,v) = \sum_{i=0}^n \left(\sum_{j=0}^m p_{ij} B_j^m(v)\right) B_i^n(u)$
2. $p(u,v) = \sum_{j=0}^m \left(\sum_{i=0}^n p_{ij} B_i^n(u)\right) B_j^m(v)$

Najpierw wyznaczane są punkty leżące na krzywych Béziera określonych na wierszach (kolumnach) siatki dla parametru $u$ ($v$). Te punkty są z kolei brane jako ciąg punktów kontrolnych krzywej Béziera, na której dla parametru $v$ ($u$) znajduje się szukany punkt.

Można również użyć wariantu dwu- lub więcej wymiarowego algorytmu de Casteljau.

Trójkątne płaty Béziera

Trójkątne płaty Béziera to funkcje odwzorowujące trójkątny obszar w przestrzeń $\mathbb R^n$. Wykorzystuje się tutaj wielomiany bazowe Bernsteina trzech zmiennych $B_{ijk}^n(r,s,t)$.

Zmienne $r$, $s$, $t$ przy założeniu, że $r+s+t = 1$ ($r,s,t \in [0,1]$) są współrzędnymi barycentrycznymi na płaszczyźnie - te trzy liczby jednoznacznie określają punkt w trójkącie, którego wierzchołkami są punkty $(r=1, s=0, t=0)$, $(r=0, s=1, t=0)$, $(r=0, s=0, t=1)$.

Punkt płata trójkątnego stopnia $n$ dany jest wzorem:

$p(r,s,t) = \sum p_{ijk} B_{ijk}^n (r,s,t)$, gdzie $i,j,k \geqslant 0$, $i,j,k = 0,1,2,\ldots$ oraz $i+j+k = n$

Sumowanie przebiega po wszystkich $i$, $j$, $k$ spełniających warunek $i+j+k = n$.

Do określenia płata stopnia $n$ potrzebne jest $(n+1)(n+2) \over 2$ punktów kontrolnych.

Analogicznie jak w przypadku płatów prostokątnych tutaj również mamy do czynienia z siatką kontrolną. Wierszem w siatce nazywamy łamaną, której wierzchołkami są punkty kontrolne o jednym stałym indeksie.

Również dla płatów trójkątnych istnieje wariant algorytmu de Casteljau.