Potęga punktu

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
Rys. 1. Potęga dla punktu na zewnątrz okręgu
Rys. 2. Potęga dla punktu wewnątrz okręgu

Potęga punktu A względem okręgu o (o środku w punkcie O i promieniu r) wyraża się wzorem: P(A,o)=|AO|^2-r^2[1].

  • P(A,o)>0\; dla punktu leżącego na zewnątrz okręgu. Jest wtedy równa kwadratowi długości stycznej poprowadzonej z punktu A do okręgu o (rys. 1).
  • P(A,o)<0\; dla punktu leżącego wewnątrz okręgu. Jest liczbą przeciwną do kwadratu połowy najkrótszej cięciwy okręgu o przechodzącej przez punkt A (rys. 2).
  • P(A,o)=0\; dla punktów A leżących na okręgu.

Punkty o stałej potędze względem danego okręgu leżą na jednym okręgu.

Z potęgą punktu względem dwóch okręgów ściśle wiąże się pojęcie prostej potęgowej.

Twierdzenie. Dla każdego punktu płaszczyzny A, jeśli punkty B i C są punktami przecięcia dowolnej prostej k przechodzącej przez punkt A z okręgiem o , to potęga punktu A względem okręgu o jest równa |AB| \cdot |AC|, jeśli A leży na zewnątrz okręgu, oraz jest równa -|AB| \cdot |AC|, jeśli A leży wewnątrz okręgu. W szczególności, jeśli punkt D jest punktem styczności prostej k z okręgiem, to P(A,o)=|AD|^2 [2].

Dowód. Dla dwóch dowolnych siecznych ABC i ADE, z podobieństwa trojkątów ACD i AEB wynika proporcja \frac{|AC|}{|AD|} = \frac{|AE|}{|AB|}, co po przekształceniu daje tezę: |AB| \cdot |AC| = |AD| \cdot |AE|. Widzimy, że dla siecznej AO (przechodzącej przez środek okręgu) P(A,o)=|AB| \cdot |AC|= (|AO|-r) \cdot (|AO|+r)=|AO|^2-r^2\;.

W przypadku punktu leżącego wewnątrz okręgu dowód jest analogiczny.

Przypisy

  1. П. С. Александров, А. И. Маркушевич, А. Я. Хинчин: Энциклопедия элементарной математики. Wyd. 1. T. 4: Геометрия. Москва. s. 454-458.
  2. H. S. M. Coxeter: Wstęp do geometrii dawnej i nowej. 1967, s. 97-98.