Sieczna

Sieczna s krzywej K jest to prosta przecinająca daną krzywą w co najmniej dwóch punktach P i Q.

Gdy dane są dwa punkty $(x_0,\,y_0)$ i $(x_1,\,y_1)$, przez które przechodzi prosta, jej równanie przedstawia się następująco:

$(y_1-y_0)(x-x_0)-(x_1-x_0)(y-y_0)=0$

Twierdzenie o siecznej okręgu przechodzącej przez punkt

Dla danego punktu P i okręgu o, dla każdej siecznej przechodzącej przez P i przecinającej o w punktach A i B wartość wyrażenia $|PA|\cdot|PB|$ jest ta sama. Twierdzenie to jest prawdziwe również dla zdegenerowanych siecznych, tzn. stycznych.

Dowód

Dla P na zewnątrz okręgu

Poprowadźmy z punktu P styczną i sieczną okręgu o. Punkt styczności nazwijmy T, a punkty przecięcia z sieczną A i B, gdzie |PA|<|PB|. Kąt PBT jest kątem wpisanym opartym na cięciwie TA, więc przystaje do kąta dopisanego ATP. Trójkąty ATP i TBP mają wspólny kąt TPB, a ich pozostałe kąty są przystające, więc są podobne.

Wobec tego prawdą jest, że: $\frac{|PT|}{|PA|}=\frac{|PB|}{|PT|}$. Po wymnożeniu obustronnie przez $|PA|\cdot|PT|$otrzymujemy

$|PT|^{2}=|PA|\cdot|PB|$.

Identyczne rozumowanie można przeprowadzić dla dowolnej innej siecznej, a dla drugiej stycznej wniosek jest trywialny, więc, ponieważ dla dowolnej siecznej $|PT|^{2}=|PA|\cdot|PB|$, a $|PT|$ jest stałe, to ${|PA|}\cdot|PB|$ też musi być stałe, co kończy dowód.

Dla P wewnątrz okręgu

Pary kątów DAB, DCB i ADC, ABC są parami kątów wpisanych opartych na tym samym łuku, więc są przystające, więc trójkąty DAP, BCP są podobne wg cechy kk. Stąd:

$\frac{|AP|}{|PD|}=\frac{|CP|}{|PB|}$

$|AP|\cdot |PB|=|DP|\cdot |PC|$

co kończy dowód.

Zobacz też

• styczna
• normalna
• metoda siecznych