Sieczna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
sieczna do krzywej

Sieczna s krzywej K jest to prosta przecinająca daną krzywą w co najmniej dwóch punktach P i Q.

Gdy dane są dwa punkty (x_0,\,y_0) i (x_1,\,y_1), przez które przechodzi prosta, jej równanie przedstawia się następująco:

(y_1-y_0)(x-x_0)-(x_1-x_0)(y-y_0)=0

Twierdzenie o siecznej okręgu przechodzącej przez punkt[edytuj | edytuj kod]

Dla danego punktu P i okręgu o, dla każdej siecznej przechodzącej przez P i przecinającej o w punktach A i B wartość wyrażenia |PA|\cdot|PB| jest ta sama. Twierdzenie to jest prawdziwe również dla zdegenerowanych siecznych, tzn. stycznych.

Dowód[edytuj | edytuj kod]

Secant line-proof.svg

Dla P na zewnątrz okręgu[edytuj | edytuj kod]

Poprowadźmy z punktu P styczną i sieczną okręgu o. Punkt styczności nazwijmy T, a punkty przecięcia z sieczną A i B, gdzie |PA|<|PB|. Kąt PBT jest kątem wpisanym opartym na cięciwie TA, więc przystaje do kąta dopisanego ATP. Trójkąty ATP i TBP mają wspólny kąt TPB, a ich pozostałe kąty są przystające, więc są podobne.

Wobec tego prawdą jest, że: \frac{|PT|}{|PA|}=\frac{|PB|}{|PT|}. Po wymnożeniu obustronnie przez |PA|\cdot|PT|otrzymujemy

|PT|^{2}=|PA|\cdot|PB|.

Identyczne rozumowanie można przeprowadzić dla dowolnej innej siecznej, a dla drugiej stycznej wniosek jest trywialny, więc, ponieważ dla dowolnej siecznej |PT|^{2}=|PA|\cdot|PB|, a |PT| jest stałe, to {|PA|}\cdot|PB| też musi być stałe, co kończy dowód.

Secsecl.png

Dla P wewnątrz okręgu[edytuj | edytuj kod]

Pary kątów DAB, DCB i ADC, ABC są parami kątów wpisanych opartych na tym samym łuku, więc są przystające, więc trójkąty DAP, BCP są podobne wg cechy kk. Stąd:

\frac{|AP|}{|PD|}=\frac{|CP|}{|PB|}
|AP|\cdot |PB|=|DP|\cdot |PC|

co kończy dowód.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]