Prawo podwójnego przeczenia

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Prawo podwójnego przeczenia – prawo logiki formalnej. Występuje w formie silnego prawa podwójnego przeczenia:

\lnot\lnot p \to p\,\!,

oraz słabego prawa podwójnego przeczenia:

p \to \lnot\lnot p\,\!.

Silne prawo podwójnego przeczenia dodane do aksjomatów intuicjonistycznego rachunku zdań tworzy aksjomatykę klasycznego rachunku zdań. Skąd też niejawnie wynika, iż w rachunku intuicjonistycznym jest ono niedowodliwe.

Natomiast Słabe prawo podwójnego przeczenia z kolei jest tezą rachunku intuicjonistycznego:

1. (\neg p\to \neg\neg p) \to \neg\neg p prawo redukcji do absurdu
2. [(\neg p\to \neg\neg p) \to \neg\neg p]\to\{p\to[(\neg p\to \neg\neg p) \to \neg\neg p]\} prawo poprzedzania
3. p\to[(\neg p\to \neg\neg p) \to \neg\neg p reguła odrywania: 1,3
4. \{p\to[(\neg p\to \neg\neg p) \to \neg\neg p\}\to\{[p\to(\neg p\to\neg\neg p)]\to[p\to\neg\neg p]\} sylogizm Fregego
5. [p\to(\neg p\to\neg\neg p)]\to[p\to\neg\neg p] reguła odrywania: 3,4
6. p\to(\neg p\to\neg\neg p) prawo przepełnienia
7. p\to\neg\neg p reguła odrywania: 5,6

Jawny dowód niewyprowadzalności silnego prawa podwójnego przeczenia dostajemy z jednego spośród twierdzeń o pełności dla intuicjonistycznego rachunku zdań, zgodnie z którym formuła zdaniowa jest tezą rachunku intuicjonistycznego wtedy i tylko wtedy, gdy jest ona prawdziwa w dowolnej algebrze Heytinga. Poniżej widzimy algebrę Heytinga (H=\{0,1\}\times\{0,1,2\} z porządkiem "po współrzędnych"), w której silne prawo podwójnego przeczenia nie zachodzi:


Heyting-kontr CNNpp.svg

Mianowicie w algebrze tej: \neg\neg c=d\ne c.

W algebrze tej nie zachodzi także prawo wyłączonego środka (tertium non datur): p\vee\neg p.

W rzeczy samej, w algebrze tej c\vee\neg c=c\vee a=b.

Jest to o tyle naturalne, że w intuicjonistycznym rachunku zdań dowodliwa jest formuła (p\vee\neg p)\to(\neg\neg p\to p):

1. \neg p\to(\neg\neg p\to p) prawo redukcji do absurdu
2. p\to(\neg\neg p\to p) prawo poprzedzania
3. \big(p\to(\neg\neg p\to p)\big)\to\Big[\Big(\neg p\to(\neg\neg p\to p)\Big)\to\Big(p\vee\neg p\to(\neg\neg p\to p)\Big)\Big] prawo łączenia implikacji
4. \Big(\neg p\to(\neg\neg p\to p)\Big)\to\Big(p\vee\neg p\to(\neg\neg p\to p)\Big) reguła odrywania: 2,3
5. p\vee\neg p\to(\neg\neg p\to p) reguła odrywania: 1,4

Natomiast w algebrze tej prawdziwe jest słabe prawo wyłączonego środka: \neg p\vee\neg\neg p.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Marciszewski, Witold (red.) [1987]. Logika formalna. Zarys encyklopedyczny z zastosowaniem do informatyki i lingwistyki, PWN, Warszawa.
  • Marciszewski, Witold (red.) [1988]. Mała encyklopedia logiki, wyd. 2 rozszerzone, Ossolineum, Wrocław ( 1sze wyd. 1970).
  • Pogorzelski, Witold [1992] Elementarny słownik logiki formalnej, wyd. Filii UW, Białystok.