Punkt Fermata

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
Konstrukcja punktu Fermata

Punkt Fermata (punkt Torricellego) to punkt w trójkącie, którego suma odległości od wierzchołków trójkąta jest najmniejsza z możliwych. Pierwszy raz problem konstrukcji takiego punktu został rozwiązany przez Fermata w prywatnym liście.

Konstrukcja[edytuj | edytuj kod]

W przypadku, gdy wszystkie kąty trójkąta mają miary mniejsze niż 120^\circ, punkt Fermata jest punktem przecięcia odcinków łączących wierzchołki trójkąta z tymi wierzchołkami trójkątów równobocznych zbudowanych na przeciwległych bokach, które nie są wierzchołkami wyjściowego trójkąta.

Gdy jeden z kątów ma miarę co najmniej 120^\circ, łatwo zauważyć (z nierówności trójkąta), że wierzchołek przy kącie rozwartym ma mniejszą sumę odległości od wierzchołków, niż punkt otrzymany w powyższej konstrukcji. Wierzchołek ten ma wtedy najmniejszą możliwą z takich sum.

Dowód[edytuj | edytuj kod]

Fermat Point Derivation.svg

Dla dowolnego punktu F wewnątrz \Delta ABC, gdy obrócimy \Delta BFC wokół punktu B zgodnie z ruchem wskazówek zegara o kąt 60^\circ, to otrzymamy \Delta BGD (według oznaczeń na rysunku obok), gdzie G jest punktem wewnątrz \Delta BCD spełniającym

|GD|=|FC|, |GB|=|FB| oraz \angle FBG=60^\circ,

więc \Delta GBF jest równoboczny, czyli |BF|=|GF|.

Stąd |AF|+|BF|+|CF|=|AF|+|FG|+|GD|. Zatem wartość sumy |AF|+|BF|+|CF| najmniejsza, gdy punkty A, F, G, D są współliniowe.

Prowadząc analogiczne rozumowanie obracając \Delta CFA i \Delta AFB wokół odpowiednich punktów otrzymujemy, że punkt F o minimalnej wartości sumy |AF|+|BF|+|CF| leży na pozostałych dwóch odcinkach łączących wierzchołki trójkąta wyjściowego z odpowiednimi wierzchołkami trójkątów równobocznych. Jest to jednocześnie dowód na współpękowość tych trzech odcinków.

Właściwości[edytuj | edytuj kod]

Fermat Point Proof.svg
  • Punkt Fermata jest jednocześnie punktem przecięcia okręgów opisanych na trójkątach równobocznych
  • Z punktu Fermata każdy bok widać pod tym samym kątem 120^\circ.
  • Odcinki zaznaczone na górnym rysunku na czerwono mają równe długości.

Dowód[edytuj | edytuj kod]

Oznaczenia jak na najniższym rysunku. Gdy obrócimy \Delta BAQ wokół punktu A zgodnie z ruchem wskazówek zegara o kąt 60^\circ, to otrzymamy \Delta RAC. Stąd |BQ|=|CR|. Analogicznie |BQ|=|AP|=|CR|.

Z przystawania tych trójkątów wynika też, że \angle ARC=\angle ABQ, oraz \angle ACR=\angle AQB. Stąd

\angle RFB=180^\circ -\angle FRB-\angle FBR=60^\circ.

Podobnie \angle RFA=\angle AFQ=\angle QFC=\angle CFP=\angle PFB=60^\circ

Zatem \angle AFB=\angle AFC=120^\circ, czyli sumy przeciwległych kątów w tych czworokątach wynoszą 180^\circ. Stąd na czworokątach AFBR oraz AFCQ można opisać okręgi. Podobnie pokazujemy, że przez punkt Fermata przechodzi okrąg opisany na \Delta BCP.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]