Trójkąt

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
Ujednoznacznienie Ten artykuł dotyczy figury geometrycznej. Zobacz też: inne znaczenia tego słowa.
Ilustracja przedstawiająca trójkąt i proste zawierąjace jego boki

Trójkątwielokąt o trzech bokach. Trójkąt to najmniejsza (w sensie inkluzji) figura wypukła i domknięta, zawierająca pewne trzy ustalone i niewspółliniowe punkty płaszczyzny (otoczka wypukła wspomnianych trzech punktów).

Odcinki tworzące łamaną nazywamy bokami, punkty wspólne sąsiednich boków nazywamy wierzchołkami trójkąta. Każdy trójkąt jest jednoznacznie wyznaczony przez swoje wierzchołki.

Często dla wygody jeden z boków trójkąta nazywa się podstawą, a pozostałe – ramionami.

W każdym trójkącie suma miar kątów wewnętrznych między bokami wynosi 180°, zaś długości boków muszą spełniać pewne zależności (patrz dalej).

Rodzaje[edytuj | edytuj kod]

A, B, C – wierzchołki
a, b, c – boki
α, β, γ – kąty

Trójkąty można dzielić ze względu na długości ich boków oraz ze względu na miary ich kątów.

Przy podziale ze względu na boki wyróżnia się:

  • trójkąt różnoboczny ma każdy bok innej długości;
  • trójkąt równoramienny ma przynajmniej dwa boki tej samej długości;
  • trójkąt równoboczny ma wszystkie trzy boki tej samej długości; w tym przypadku też wszystkie jego kąty są tej samej miary.
różnoboczny równoramienny równoboczny
różnoboczny równoramienny równoboczny

Przy podziale ze względu na kąty wyróżnia się:

  • trójkąt ostrokątny, którego wszystkie kąty wewnętrzne są ostre;
  • trójkąt prostokątny to taki, w którym jeden z kątów wewnętrznych jest prosty (a więc pozostałe sumują się do kąta prostego); boki tworzące kąt prosty nazywa się przyprostokątnymi, pozostały bok nosi nazwę przeciwprostokątnej; przeciwprostokątna zawsze jest dłuższa od każdej przyprostokątnej;
  • trójkąt rozwartokątny, którego jeden kąt wewnętrzny jest rozwarty.
ostrokątny prostokątny rozwartokątny
ostrokątny prostokątny rozwartokątny

Trójkąty można dzielić również ze względu na inne relacje równoważności, np. podobieństwo, przystawanie.

Ważne elementy[edytuj | edytuj kod]

Wysokość trójkąta to prosta zawierająca jego wierzchołek i prostopadła do prostej zawierającej przeciwległy bok. Słowem "wysokość" często też nazywany jest odcinek wysokości, łączący wierzchołek z punktem na prostej zawierającej przeciwległy bok; długość tego odcinka też nazywa się wysokością. Każdy trójkąt ma trzy wysokości, które przecinają się w punkcie zwanym ortocentrum tego trójkąta.

Środkowa trójkąta to prosta zawierająca wierzchołek trójkąta i środek przeciwległego boku. Każdy trójkąt ma trzy środkowe, które przecinają się w jednym punkcie, będącym środkiem geometrycznym (barycentrum, lub błędnie środkiem masy lub środkiem ciężkości) trójkąta. Punkt ten dzieli każdą ze środkowych na dwie części, przy czym odcinek łączący barycentrum z wierzchołkiem jest dwa razy dłuższy od odcinka łączącego barycentrum ze środkiem boku.

Symetralna boku trójkąta to prosta prostopadła do tego boku i przechodząca przez jego środek. Każdy trójkąt ma trzy symetralne boków, przecinające się w punkcie będącym środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie.

Dwusieczne kątów wewnętrznych trójkąta przecinają się w punkcie, który jest środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt.

Symediana jest odbiciem środkowej w dwusiecznej wychodzącej z tego samego wierzchołka trójkąta.

Punkt Nagela - punkt w którym przecinają się proste łączące wierzchołki z punktami styczności przeciwległych boków z odpowiednimi okręgami dopisanymi.

Punkt Gergonne'a - punkt przecięcia prostych łączących wierzchołki z punktami styczności przeciwległych boków do okręgu wpisanego w trójkąt.

Punkty Brocarda - w trójkącie ABC o bokach a, b, c znajduje się dokładnie jeden taki punkt P, że proste AP, BP, CP z bokami odpowiednio c, a, b tworzą równe kąty.

Punkt Fermata - punkt, którego suma odległości od wierzchołków trójkąta jest najmniejsza z możliwych.

Triangle.Orthocenter.svg Triangle.Centroid.svg Triangle.Circumcenter.svg Triangle.Incircle.svg
wysokości i ortocentrum środkowe i barycentrum symetralne i okrąg opisany dwusieczne i okrąg wpisany
Prosta Eulera (czerwona) oraz symetralne (zielone), środkowe (pomarańczowe) i wysokości (niebieskie) w trójkącie

W każdym trójkącie punkty przecięcia: środkowych boków S_1\,, symetralnych boków S_2\,, wysokości S_3\, (odpowiednio: barycentrum, środek okręgu opisanego, ortocentrum) leżą na jednej prostej, zwanej prostą Eulera. Ponadto, |S_1 S_3|=2|S_1 S_2|\,.

Pole powierzchni[edytuj | edytuj kod]

Trojkat-Liczenie pola.svg

Przyjmując dla trójkąta ABC następujące oznaczenia:

a,\ b,\ c\, — długości boków;
h_a,\ h_b,\ h_c\, — wysokości opuszczone na boki odpowiednio a,\ b,\ c\,;
\alpha,\ \beta,\ \gamma\, — kąty leżące naprzeciw boków odpowiednio a,\ b,\ c\,;
S\, — pole powierzchni;
R\, — promień okręgu opisanego;
r\, — promień okręgu wpisanego;
p\, — połowa obwodu; p=\frac{a+b+c}{2};

dostaniemy następujące wzory na pole powierzchni:

Poglądowy dowód wzoru na pole powierzchni trójkąta wynoszącego połowę iloczynu podstawy i opadającej na nią wysokości.
S = \frac{ah_a}{2} = \frac{b h_b}{2} = \frac{c h_c}{2};
S = \frac{ab\sin\gamma}{2} = \frac{bc\sin\alpha}{2} = \frac{ca\sin\beta}{2};
S = pr = \frac{abc}{4R};
S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} (wzór Herona);
S = \frac{1}{4}\sqrt{-\begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & a^2 & b^2 \\ 1 & a^2 & 0 & c^2 \\ 1 & b^2 & c^2 & 0 \end{vmatrix}} (postać wyznacznikowa).

Z powyższych wzorów można wyprowadzić również następujące:

S = \frac{a^2 \sin\beta \sin\gamma}{2 \sin\alpha} = \tfrac{1}{4} \sqrt{\left((a + b)^2 - c^2\right)\left(c^2 - (a - b)^2\right)}  =
 = 2R^2 \sin\alpha \sin\beta \sin\gamma.\;

W geometrii analitycznej przyjmując dla wierzchołków trójkąta

A = (a_1, a_2),\;
B = (b_1, b_2),\;
C = (c_1, c_2),\;

dostaniemy także następujące wzory:

S = \left| \frac{1}{2}\begin{vmatrix} a_1 & a_2 & 1 \\ b_1 & b_2 & 1 \\ c_1 & c_2 & 1 \end{vmatrix}\right| , czyli
S =\frac{1}{2}\left|\det\begin{bmatrix} a_1 & a_2 & 1 \\ b_1 & b_2 & 1 \\ c_1 & c_2 & 1 \end{bmatrix}\right|= \frac{1}{2}\left|\vec{AB}\times\vec{AC}\right|= \frac{1}{2}|a_1 b_2  + b_1 c_2  + c_1 a_2  - c_1 b_2  - a_1 c_2  - b_1 a_2 |;
S  = \frac{1}{2}\left|\det \begin{bmatrix}b_1 - a_1 & b_2 - a_2 \\ c_1 - a_1 & c_2 - a_2\end{bmatrix}\right|.

Środek geometryczny[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Zobacz więcej w artykule Środek masy, w sekcji Środek geometryczny.

Trójkąt, którego wierzchołki mają współrzędne kartezjańskie:

A=(a_1,a_2),\,
B=(b_1,b_2),\,
C=(c_1,c_2),\,

ma środek geometryczny (barycentrum) w punkcie:

Q=\left(\frac{a_1+b_1+c_1} 3,\ \frac{a_2+b_2+c_2} 3\right).

Nierówność trójkąta[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Osobny artykuł: Nierówność trójkąta.
Wizualizacja "działania" nierówności trójkąta

W każdym trójkącie o bokach, których długości wynoszą a\,, b\, i c\, zachodzi następująca nierówność, zwana nierównością trójkąta:

a < b+c,\;

i analogicznie

b < c+a,\;
c < a+b.\;

Trójkąt o bokach, których długości wynoszą a\,, b\, i c\, istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są te trzy nierówności. Można je zapisać w równoważnej postaci:

|b-c|<a<b+c.\;

Geometrie nieeuklidesowe[edytuj | edytuj kod]

Na płaszczyźnie euklidesowej suma miar kątów wewnętrznych trójkąta jest równa kątowi półpełnemu, czyli 180^\circ = \pi.

W geometriach innych niż euklidesowa suma kątów wewnętrznych nie musi wynosić 180°. Na przykład osoba, która pójdzie z bieguna północnego 10 tys. km na południe, 10 tys. km na zachód a potem 10 tys. km na północ znajdzie się z powrotem na biegunie, choć dwukrotnie skręciła o 90°, więc trójkąt przez nią zakreślony ma sumę kątów większą niż 180°, a dokładnie 270°. Dzieje się tak, gdyż na sferze (dobre przybliżenie powierzchni geoidy) obowiązuje geometria eliptyczna, a nie euklidesowa. Dowód własności, że w przestrzeni euklidesowej suma kątów w trójkącie wynosi 180°, opiera się na piątym aksjomacie Euklidesa, który wyróżnia geometrię euklidesową spośród innych geometrii.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Wikimedia Commons
Wikiquote-logo.svg
Zobacz w Wikicytatach kolekcję cytatów
o trójkącie