Twierdzenie Napoleona

Ilustracja Twierdzenia Napoleona

Twierdzenie Napoleona – twierdzenie geometryczne orzekające, że ortocentra trójkątów równobocznych zbudowanych na bokach dowolnego trójkąta są wierzchołkami trójkąta równobocznego.

Tradycyjnie przypisuje się je Napoleonowi Bonaparte, choć nie ma żadnych dowodów na jego wkład w sformułowanie bądź udowodnienie twierdzenia.

Dowód

Niebieskie odcinki leżą jednocześnie na wysokościach i dwusiecznych trójkątów równobocznych

Ponieważ trójkąty zbudowane na bokach trójkąta $\triangle ABC$ są równoboczne, to kąty zaznaczone na rysunku na czerwono mają miarę 60° oraz

${\frac {|AM|}{|AC|}}={\frac {|AN|}{|AB|}}={\frac {|CL|}{|BC|}}={\frac {\sqrt {3}}{3}}.$

Stąd

$\sphericalangle MAN=\sphericalangle CAZ.$

Ponieważ

${\frac {|AM|}{|AC|}}={\frac {|AN|}{|AB|}},$

więc $\triangle AMN$ i $\triangle ACZ$ są podobne. Zatem

$|MN|=|CZ|\cdot {\frac {\sqrt {3}}{3}}.$

Analogicznie pokazujemy, że $\triangle BLN$ i $\triangle BCZ$ są podobne, więc

$|LN|=|CZ|\cdot {\frac {\sqrt {3}}{3}}.$

Stąd $|LN|=|MN|.$ Analogicznie pokazujemy, że $|LN|=|LM|,$ więc $\triangle LMN$ jest równoboczny.

Zobacz też

• punkt Fermata
• problem Napoleona
• twierdzenie van Aubela