Twierdzenie Napoleona

Ilustracja Twierdzenia Napoleona

Twierdzenie Napoleona – twierdzenie geometryczne orzekające, że:

ortocentra trójkątów równobocznych zbudowanych na bokach dowolnego trójkąta są wierzchołkami trójkąta równobocznego.

Tradycyjnie przypisuje się je Napoleonowi Bonaparte, choć nie ma żadnych dowodów na jego wkład w sformułowanie bądź udowodnienie twierdzenia.

Dowód [edytuj]

Niebieskie odcinki leżą jednocześnie na wysokościach i dwusiecznych trójkątów równobocznych

Ponieważ trójkąty zbudowane na bokach trójkąta $\triangle ABC$ są równoboczne, to kąty zaznaczone na rysunku na czerwono mają miarę 60° oraz

$\frac{|AM|}{|AC|} = \frac{|AN|}{|AB|} = \frac{|CL|}{|BC|} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Stąd

$\sphericalangle MAN = \sphericalangle CAZ$ .

Ponieważ

$\frac{|AM|}{|AC|} = \frac{|AN|}{|AB|}$ ,

więc $\triangle AMN$ i $\triangle ACZ$ są podobne. Zatem

$|MN| = |CZ| \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}$

Analogicznie pokazujemy, że $\triangle BLN$ i $\triangle BCZ$ są podobne, więc

$|LN| = |CZ| \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}$

Stąd $|LN|=|MN|$ . Analogicznie pokazujemy, że $|LN|=|LM|$ , więc $\triangle LMN$ jest równoboczny.