Twierdzenie Napoleona

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Ilustracja Twierdzenia Napoleona

Twierdzenie Napoleonatwierdzenie geometryczne orzekające, że:

ortocentra trójkątów równobocznych zbudowanych na bokach dowolnego trójkąta są wierzchołkami trójkąta równobocznego.

Tradycyjnie przypisuje się je Napoleonowi Bonaparte, choć nie ma żadnych dowodów na jego wkład w sformułowanie bądź udowodnienie twierdzenia.

Dowód[edytuj | edytuj kod]

Niebieskie odcinki leżą jednocześnie na wysokościach i dwusiecznych trójkątów równobocznych

Ponieważ trójkąty zbudowane na bokach trójkąta \triangle ABC są równoboczne, to kąty zaznaczone na rysunku na czerwono mają miarę 60° oraz

\frac{|AM|}{|AC|} = \frac{|AN|}{|AB|} = \frac{|CL|}{|BC|} = \frac{\sqrt{3}}{3}.

Stąd

\sphericalangle MAN = \sphericalangle CAZ.

Ponieważ

\frac{|AM|}{|AC|} = \frac{|AN|}{|AB|},

więc \triangle AMN i \triangle ACZpodobne. Zatem

|MN| = |CZ| \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}

Analogicznie pokazujemy, że \triangle BLN i  \triangle BCZ są podobne, więc

|LN| = |CZ| \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}

Stąd |LN|=|MN|. Analogicznie pokazujemy, że |LN|=|LM|, więc \triangle LMN jest równoboczny.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]