Równania Chapmana-Kołmogorowa

Równanie Chapmana – Kołmogorowa – odnosi się do jednorodnych procesów Markowa i wyraża się wzorem:

$P_{ij}(t+s)=\sum _{k=0}^{n}{P_{ik}(t)P_{kj}(s)},$

gdzie $P_{ij}(t)=P(\xi (t)=j|\xi (0)=i)$ jest prawdopodobieństwem przejścia ze stanu $i$ do $j$ w czasie $t,$ a $\xi$ jest zmienną losową.

Równanie Chapmana-Kołmogorowa oznacza, iż prawdopodobieństwo przejścia ze stanu $i$ do $j$ w czasie $t+s$ może być realizowane w ten sposób, że najpierw zachodzi przejście ze stanu $i$ do $k$ w czasie $t,$ a następnie ze stanu $k$ do stanu $j$ w czasie $s.$ Takie przejścia mogą się odbywać na $n+1$ sposobów w zależności od wyboru stanu pośredniego $k=0,1,\dots ,n.$

Równanie to jest jednak prawdziwe tylko dla procesów Markowa, ponieważ tylko one mają własność zwaną brakiem pamięci, co oznacza, że prawdopodobieństwo $P_{kj}(s)$ nie zależy od stanu $i,$ czyli od historii procesu.

Dokonując odpowiednich przekształceń tego wzoru otrzymamy równania Kołmogorowa.

Zobacz też

• łańcuch Markowa