Równanie

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
Ujednoznacznienie Ten artykuł dotyczy pojęcia matematycznego. Zobacz też: równanie reakcji w chemii.

Równanieforma zdaniowa postaci t_1=t_2, gdzie t_1, t_2termami i przynajmniej jeden z nich zawiera pewną zmienną. Równanie jest więc formułą atomową z co najmniej jedną zmienną wolną. Term po lewej stronie znaku równości nazywa się lewą stroną równania, a term po prawej – prawą stroną równania. Szczególnym przypadkiem równania jest forma, w której jeden z termów jest stałą np. 0, czyli gdy jest postaci t_1=0.

Zmienne równania oznacza się zwykle symbolami literowymi i nazywa niewiadomymi.

Dziedzina i rozwiązania równania[edytuj | edytuj kod]

Zbiór wszystkich wartości, które po podstawieniu pod niewiadome czynią z formuły zdanie logiczne, nazywa się dziedziną równości.

Dany ciąg wartości spełnia równanie, jeżeli po podstawieniu ich w miejsce niewiadomych otrzymamy zdanie logiczne prawdziwe. Ciąg tych wartości nazywa się rozwiązaniem równania.

Rozwiązywaniem równania nazywa się proces wyznaczania wszystkich jego rozwiązań. Równanie, które nie ma rozwiązań, nazywa się sprzecznym, jeżeli ma ono skończoną lub przeliczalną liczbę rozwiązań, to nazywa się je oznaczonym, jeżeli ma ich nieprzeliczalną liczbę, to jest nazywane nieoznaczonym. Równanie, które dla dowolnych wartości z dziedziny podstawionych w miejsce nierówności ma rozwiązanie nazywa się równaniem tożsamościowym lub tożsamością.

Przypadkami szczególnymi równań są równania postaci f(x) = 0, gdzie f jest dowolną funkcją. Wówczas pierwiastki tego równania z definicji są miejscami zerowymi tej funkcji. Jeżeli f jest wielomianem, to twierdzenie Bézouta mówi, iż pierwiastek wielomianu jest zarazem miejscem zerowym, czyli rozwiązaniem odpowiedniego równania algebraicznego.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • x=x+1\,

równanie sprzeczne – nigdy nie jest spełnione.

  • 1-\sin^2 x=\cos^2 x

równanie tożsamościowe.

  • \sin x=1   dla   x\in {\mathbb R}

równanie oznaczone o nieskończonej, ale przeliczalnej liczbie rozwiązań.

  • \mathbf 1_\mathbb Q(x) = 0  dla  x\in {\mathbb R}  gdzie  \mathbf 1_\mathbb Q(x)  jest funkcją Dirichleta

równanie nieoznaczone.

  • a=\frac{2a+5}{a^2}   dla x\in {\mathbb R}

równanie jest sprzeczne.

  • 2+3=5\,

równanie bez niewiadomych – równość prawdziwa, równanie tożsamościowe.

  • 2+3=6\,

równanie bez niewiadomych – równość nieprawdziwa, równanie sprzeczne.

  • x+y=3\,

równanie z dwiema niewiadomymi. Równanie to jest spełnione przez nieskończenie wiele par liczb, czyli ma nieskończenie wiele rozwiązań. Każde rozwiązanie dane jest regułą: x dowolne, y=3-x. Biorąc za x dowolne liczby rzeczywiste i wyliczając y z podanego wzoru, można otrzymać każde rozwiązanie badanego równania. Dla x=2 otrzymujemy y=1; dla x=-1 mamy y=4 itd. Liczba rozwiązań równania jest nieprzeliczalna więc równanie jest nieoznaczone.

Rodzaje[edytuj | edytuj kod]

Metody rozwiązywania[edytuj | edytuj kod]

Przed rozwiązanie jakiegokolwiek równania należy je uporządkować, tzn. „ustawić” zmienne w porządku malejącym, czyli według malejącej potęgi. Ważne, aby w przypadku układów równań zachowywać kolejność zmiennych. Ułatwia to późniejsze rozwiązywanie. Na samym początku należy zastanowić się, czy dane równanie da się w jakiś sposób uprościć (Metoda równań równoważnych, np. zwinąć wzór, wyłączyć wspólny czynnik przed nawias, pogrupować wyrazy). Warto na to poświęcić kilka chwil, gdyż może to oszczędzić konieczności żmudnego liczenia. Następnym etapem jest wybór sposobu rozwiązania. Co do samych sposobów rozwiązywania to, jeżeli nie udało się uprościć równania, trzeba się zdać na wzory i twierdzenia lub rozwiązać równanie geometrycznie, rysując odpowiednie wykresy. Przy tej okazji należy badać dziedzinę równania, aby przy ostatecznym rozwiązaniu uniknąć wyników nie należących do zbioru argumentów. Można to zrobić na dwa sposoby:

  • wypisywanie założeń przy każdym przekształceniu (np. podnoszenie do kwadratu, dzielenie przez zmienną),
  • sprawdzenie wszystkich otrzymanych wyników przez podstawienie (tzw. Metoda analizy starożytnych).

Jest kilka metod rozwiązywania układów równań. Można stosować tylko jedną albo wszystkie naraz – panuje tu pełna dowolność. Sposoby rozwiązywania układów równań:

  • przez podstawianie (trzeba z jednego równania wyznaczyć jedną zmienną, wstawić ją do drugiego równania i ewentualnie powtarzać te operacje, aż do otrzymania jednego równania z jedną niewiadomą),
  • przeciwnych współczynników (ustalanie współczynników tak, aby po dodaniu stronami niektóre zmienne się skróciły),
  • wzory Cramera,
  • metoda Gaussa.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Fritz Reinhardt, Heinrich Soeder: Atlas matematyki. Prószyński i S-ka, s. 97. ISBN 83-7469-189-1.