Redukcja wielomianu według modułu

Redukcja wielomianu według modułu – dla ustalonych $m,n\in \mathbb {N}$ i ustalonego $F(X_{1},\dots ,X_{n})\in \mathbb {Z} [X_{1},\dots ,X_{n}],$ redukcją wielomianu $F$ według modułu $m$ nazywamy wielomian ${\stackrel {\sim }{F}}(X_{1},\dots ,X_{n})\in \mathbb {Z} _{m}[X_{1},\dots ,X_{n}],$ który można otrzymać z wielomianu $F$ poprzez zastąpienie każdego ze współczynników wielomianu $F$ jego resztą z dzielenia przez $m$ oraz zastąpienie działań $+$ i $-$ odpowiednio działaniami: ${\stackrel {+}{m}}$ i ${\stackrel {\cdot }{m}}$ (dodawanie i mnożenie modulo m).

Redukcja według modułu $m$ równania $F(x_{1},\dots ,x_{n})=0$ o niewiadomych z pierścienia $\mathbb {Z}$ – równanie ${\stackrel {\sim }{F}}(x_{1},\dots ,x_{n})=0$ o niewiadomych z pierścienia $\mathbb {Z} _{m},$ gdzie ${\stackrel {\sim }{F}}$ jest redukcją wielomianu $F$ według modułu $m$.

Jeżeli równanie $F(x_{1},\dots ,x_{n})=0$ ma rozwiązanie w pierścieniu $\mathbb {Z} ,$ to równanie ${\stackrel {\sim }{F}}(x_{1},\dots ,x_{n})=0$ ma rozwiązanie w pierścieniu $\mathbb {Z} _{m}$. Jeżeli równanie ${\stackrel {\sim }{F}}(x_{1},\dots ,x_{n})=0$ nie ma rozwiązań w pierścieniu $\mathbb {Z} _{m},$ to równanie $F(x_{1},\dots ,x_{n})=0$ nie ma rozwiązań w pierścieniu $\mathbb {Z}$.

Przykład

Równanie $x^{2}+y^{2}=31z^{2}+15$ nie ma rozwiązań w pierścieniu $\mathbb {Z} .$ Aby to pokazać, wystarczy dokonać redukcji tego równania według modułu 8. Otrzymamy wtedy równanie $x^{2}+y^{2}=7z^{2}+7,$ gdzie wszystkie działania są działaniami modulo 8. Wszystkimi kwadratami w pierścieniu $\mathbb {Z} _{8}$ są liczby $0,1,4.$ Zatem wszystkie możliwe wartości wyrażenia $7z^{2}+7$ to $3,6,7.$ Jednak żadna z tych liczb nie może być sumą modulo 8 kwadratów liczb modulo 8. Zatem redukcja danego równania według modułu 8 nie ma rozwiązania w pierścieniu $\mathbb {Z} _{8},$ a stąd wynika, że wyjściowe równanie nie ma rozwiązania w pierścieniu $\mathbb {Z}$.