Rozmaitość różniczkowalna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj


Przestrzeń topologiczną \mathbb{X}^{n}, n=0,1,\ldots , nazywamy rozmaitością n-\ wymiarową, jeśli dla każdego punktu x\in \mathbb{X}^{n} istnieje otwarte i spójne otoczenie U\ , x\in U \subset \mathbb{X}^{n}, oraz homeomorfizm \phi \colon U \to \phi(U) tego otoczenia U\ na otwarty zbiór \phi(U)\ przestrzeni wektorowej n-wymiarowej \mathbb{R}^{n} nad ciałem \mathbb{R} liczb rzeczywistych. Homeomorfizm taki nazywamy mapą rozmaitości \mathbb{X}^{n}. Rodzina \Phi=\{\phi_l\}_{l \in I} map nazywa się atlasem rozmaitości \mathbb{X}^{n}, gdy dziedziny U_l\ homeomorfizmów \phi_l\ pokrywają rozmaitość \mathbb{X}^{n}:

\mathbb{X}^{n}=\bigcup_{l \in I}U_l.
(1)

Zbiór wszystkich map rozmaitości \mathbb{X}^{n} nazywamy atlasem zupełnym \Phi_0\ rozmaitości \mathbb{X}^{n}\ . Zawsze będziemy zakładali, że dla l\neq\chi również \phi_l \neq \phi_{\chi}; tak więc każdy atlas można uważać za podzbiór atlasu \Phi_0\ , natomiast wskaźniki służą jedynie do rozróżniania map.

Dopuszczenie przypadku n=0\ jest celowe. Każda dyskretna przestrzeń topologiczna jest rozmaitością zerowymiarową.

Niech a_i\ , i=0,1,\ldots,n, będzie bazą \mathbb{R}^{n}, którą używamy jako ustaloną raz na zawsze. Każdy wektor \kappa\in \mathbb{R}^n można utożsamić z uporządkowanym n-\ elementowym ciągiem (\xi^i)\ jego współrzędnych względem bazy a_i\ . Dla mapy \phi\colon U\to \mathbb{R}^n otrzymujemy w tej bazie następujący opis:

\phi\colon x\in U\to \phi(x)=x^i(x)a_{i}\in \mathbb{R}^n,
(2)

który każdemu punktowi x\in U\ przyporządkowuje uporządkowany ciąg n\ liczb rzeczywistych (x^i(x))\ , czyli tzw. współrzędnych punktu x\ względem mapy \phi\ . Rozważmy dwie mapy \phi_l\ , \phi_\chi\ rozmaitości \mathbb{X}^n, dla których przekrój U_l\cap U_\chi\neq\emptyset. Wtedy punktowi x\in U_l\cap U_\chi odpowiadają współrzędne x^i(x)\ w mapie \phi_l\ oraz x^{i'}(x)\ w mapie \phi_\chi\ . Oba te układy współrzędnych na przekroju U_l\cap U_\chi\ wzajemnie wiąże przekształcenie współrzędnych:

\phi_{\chi l}\colon (x^i)\in \phi_l (U_l \cap U_\chi) \to (x^{i'})=\phi_\chi\circ \phi_l^{-1}(x^i)\in\phi_\chi(U_l \cap U_\chi).
(3)

Samo \phi_{\chi l}\ jako złożenie homeomorfizmów jest również homeomorfizmem zbiorów otwartych przestrzeni \mathbb{R}^n. Przechodząc do współrzędnych \mathbb{R}^n w bazie a_i\ zapisujemy \phi_{\chi l}\ za pomocą układu n\ funkcji rzeczywistych n\ zmiennych

x^{i'}=x^{i'}(x^i).\
(4)

Każdemu atlasowi odpowiada zbiór przekształceń współrzędnych \{\phi_{\chi l}\}\ , dla którego zachodzi

\phi_{l \chi}=\phi_{\chi l}^{-1},\qquad U_l \cap U_\chi \neq\emptyset),
(5)
\phi_{\lambda l}=\phi_{\lambda \chi}\circ\phi_{\chi l},\qquad U_\lambda \cap U_\chi \cap U_l \neq\emptyset).
(6)

Niech f\colon\mathbb{X}^n\to\mathbb{R}\ będzie funkcją o wartościach rzeczywistych, określoną dla rozmaitości \mathbb{X}^n\ . Każdej mapie \phi_l\ jest przyporządkowane odpowiednie przedstawienie f_l\ funkcji f\ w tej mapie

(x^i) \in \phi_l (U_l) \to f_l(x^i)=f \circ \phi_l^{-1}(x^i) \in \mathbb{R}.
(7)

Dla x\in U_l \cap U_\chi\ mamy dwa przedstawienia f_l(x^i)\ , f_\chi(x^{i'})\ funkcji f\ w mapach \phi_l\ , \phi_\chi\ , które wiąże wzajemnie reguła transformacyjna

f_\chi(x^{i'})=f_l\circ \phi_{l \chi}(x^{i'}), (x^{i'})\in \phi_\chi(U_l \cap U_\chi).
(8)

Zatem, każdej funkcji rzeczywistej f odpowiada rodzina \{f_l\}_{l\in I}\ jej przedstawień w mapach; odwrotnie, gdy dana jest rodzina \{f_l\}_{l\in I}\ funkcji rzeczywistych n\ zmiennych rzeczywistych (x^i)\in \phi_l(U_l)\ , dla której zachodzi (7), wtedy przyjmując f(x)=f_l\circ \phi_l(x)\ , x\in U_l\ otrzymamy poprawnie określoną funkcję rzeczywistą na rozmaitości \mathbb{X}^n\ . Niech x\in U_l \cap U_\chi\ , wtedy na mocy (3), (8) będzie

f_\chi\circ\phi_\chi=f_l\circ\phi_{l \chi}\circ\phi_\chi=f_l\circ\phi_l
(9)

tak, że definicja funkcji f(x)\ nie zależy od wyboru mapy \phi_l\ (x\in U_l)\ . Zauważmy od razu f\ jest ciągła na \mathbb{X}^n\ wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie jej przedstawienia f_l\ w mapach są funkcjami ciągłymi. Analogicznie będziemy także badać różniczkowalność funkcji f\ na \mathbb{X}^n za pomocą jej przedstawień w mapach niech x_0\in U_l; można powiedzieć, że f\ jest różniczkowalna w punkcie x_0\ , gdy f_l\ jest różniczkowalna w punkcie (x_0^i)=\phi_l(x_0)\in\mathbb{R}^n. Dla x_0\in U_l \cap U_\chi nie wynika na ogół z (8) różniczkowalność {f_\chi}\ w punkcie (x_0^{i'})=\phi_\chi(x_0), bo wprawdzie przekształcenia współrzędnych \phi_{l \chi}\ są homeomorfizmami, lecz wcale nie muszą być różniczkowalne. Jeśli pojęcie różniczkowalności ma mieć sens niezależny od mapy, czyli od wyboru układu współrzędnych, trzeba zawęzić pojęcie rozmaitości i zażądać, aby wszystkie przekształcenia współrzędnych \phi_{l \chi}\ były dostatecznie wiele razy różniczkowalne w sposób ciagły. Wtedy różniczkowalność f_\chi\ będzie wynikała z różniczkowalności f_l\ oraz \phi_{l \chi}\ na mocy (8) i reguły łańcuchowej dla pochodnych funkcji złożonych.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  1. Przestrzeń \mathbb{R}^n\ (\mathbb{C}^n)\ jest n\ -krotnym iloczynem kartezjańskim prostych liczbowych (względnie płaszczyzn zmiennej zespolonej).
  2. Iloczyn n\ -krotny okręgu \mathbb{S}^1 nazywamy n\ -wymiarowym torusem \mathbb{T}^n\ ; jest to rozmaitość różniczkowalna klasy C_\omega\ .
  3. Niech \mathbb{Y} będzie otwartym podzbiorem rozmaitości \mathbb{X}^n. Wówczas ograniczenie atlasu \Phi\ tej rozmaitości do podzbioru określa w naturalny sposób strukturę różniczkowalną na \mathbb{Y}, względem której \mathbb{Y} jest n\ -wymiarową podrozmaitością rozmaitości \mathbb{X}^n. \mathbb{Y} nazywamy podrozmaitością otwartą.
  4. Niech \mathbb{X}^2 oraz \hat{\mathbb{X}}^2 będą dwoma egzemplarzami płaszczyzny \mathbb{R}^2. Utożsamiamy półpłaszczyzny y<0\ , \hat{y}<0\colon (\hat{x}, \hat{y})\equiv (x,y) wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi \hat{x}=x oraz y=\hat{y}<0. Powstaje wówczas rozmaitość analityczna \mathbb{Y}^2, która nie jest rozmaitością Hausdorffa. Przykładowo otoczenia punktów (\hat{0}, \hat{0}) oraz (0, 0)\ nigdy nie maja pustego przekroju. Natomiast przestrzeń \mathbb{Y}^2 jest przestrzenią T_1\ .