Homeomorfizm

Z Wikipedii

Skocz do: nawigacji, szukaj
Kubek i torus są homeomorficzne – można przekształcić jeden w drugi bez rozrywania i sklejania

Homeomorfizm – jedno z fundamentalnych pojęć topologii. Intuicyjnie - przekształcenie, które dowolnie ściska, rozciąga, wygina lub skręca figurę, nie robi jednak w niej dziur, nie rozrywa jej ani nie skleja jej fragmentów. Inaczej mówiąc, przekształcenie to na ogół zmienia pierwotny kształt i rozmiar figury, zawsze jednak zachowuje potocznie rozumianą ciągłość i spoistość.

Jest dalekim uogólnieniem typowych geometrycznych przekształceń geometrycznych takich jak przekształcenie afiniczne.

Spis treści

[edytuj] Definicja

Niech (X, \tau_X)\, oraz (Y, \tau_Y)\, będą dwiema przestrzeniami topologicznymi.

Funkcję f: X \to Y nazywamy homeomorfizmem, gdy:

  1. f\, jest funkcją różnowartościową,
  2. f(X) = Y\,, czyli f\, jest funkcją "na",
  3. f\, jest funkcją ciągłą.
  4. f^{-1}: Y \to X jest funkcją ciągłą.

O przestrzeniach (X, \tau_X)\,, (Y, \tau_Y)\, mówimy wówczas, że są przestrzeniami homeomorficznymi.

Homeomorfizm jest więc obustronnie ciągłą bijekcją między dwiema przestrzeniami topologicznymi.

[edytuj] Uwaga

Założenie obustronnej ciągłości jest konieczne, ponieważ funkcja odwrotna do ciągłej bijekcji może nie być ciągła.

[edytuj] Zastosowanie

Ponieważ z definicji łatwo wywnioskować, że:

  • złożenie homeomorfizmów jest homeomorfizmem.
  • funkcja odwrotna do homeomorfizmu też jest homeomorfizmem.
  • każda funkcja tożsamościowa jest homeomorfizmem

więc w dowolnej rodzinie (zbiorze) przestrzeni topologicznych relacja homeomorficzności dwóch przestrzeni topologicznych jest relacją równoważności. Klasę abstrakcji tej relacji czasami nazywa się typem topologicznym.

Dwie przestrzenie topologiczne homeomorficzne czyli należące do jednego typu topologicznego są z punktu widzenia topologii nierozróżnialne.

Topologia bada m.in. niezmienniki homeomorfizmów, czyli te własności przestrzeni topologicznych, które są zachowywane przy przekształceniach homeomorficznych. Wśród nich można wymienić domkniętość, otwartość, zwartość, spójność.

[edytuj] Przykłady

  • okrąg jest homeomorficzny z dowolną łamaną zamkniętą zwyczajną , ale nie z odcinkiem otwartym,
  • koło jest homeomorficzne z dowolnym wielokątem, ale nie z kołem pozbawionym środka,
  • sfera jest homeomorficzna z powierzchnią dowolnego wielościanu ale nie z powierzchnią torusa ani z kołem,
  • dowolne dwa odcinki otwarte są homeomorficzne ze sobą, każdy z nich jest homeomorficzny z całą prostą,
  • żaden odcinek otwarto-domknięty nie jest homeomorficzny z żadnym odcinkiem otwartym ani domkniętym
  • typy topologiczne wśród krzywych na płaszczyźnie można zilustrować zestawieniem, w którym krzywe przedstawiające litery lub cyfry pogrupowane są wg swoich typów:
Homeomorphism-letters.svg


[edytuj] Zanurzenie homeomorficzne

Przekształcenie f\colon X\to Y nazywamy zanurzeniem homeomorficznym, jeśli jest złożeniem homeomorfizmu i zanurzenia, tj. jeśli istnieją podprzestrzeń L przestrzeni Y oraz homeomorfizm f^\prime\colon X\to L taki, że f=\mbox{id}_L\circ f^{\prime}. Jeśli istnieje zanurzenie homeomorficzne przestrzeni X w Y, to mówimy, że X jest zanurzalna w Y.

[edytuj] Sprzężenie topologiczne

Dwa homeomorfizmy \varphi,\; \psi: X \to X nazwiemy topologicznie sprzężonymi wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taki homeomorfizm \varrho: X \to X, nazywany homeomorfizmem sprzęgającym, że

\varphi \circ \varrho = \varrho \circ \psi

[edytuj] Zobacz też

Źródło „http://pl.wikipedia.org/wiki/Homeomorfizm”