Homeomorfizm

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Kubek i torus są homeomorficzne – można przekształcić jeden w drugi bez rozrywania i sklejania

Homeomorfizm, izomorfizm topologicznybijekcja pomiędzy przestrzeniami topologicznymi, która jest ciągła oraz której funkcja odwrotna również jest ciągła[1]. O przestrzeniach, pomiędzy którymi istnieje homeomorfizm, mówi się, że są homeomorficzne. Z punktu widzenia topologii, przestrzenie takie są nierozróżnialne.

Homeomorfizmy są izomorfizmami w kategorii przestrzeni topologicznych[potrzebny przypis].

Nazwę tę wprowadził najpóźniej Henri Poincaré w 1892 roku, w pracy Analysis Situs, jednak używał węższego znaczenia. Powyższa definicja ugruntowała się i rozpowszechniła w latach 30. XX wieku[2].

Definicja homeomorfizmu[edytuj | edytuj kod]

Niech oraz będą dwiema przestrzeniami topologicznymi. Funkcję

nazywa się homeomorfizmem, gdy:

  1. jest funkcją różnowartościową,
  2. czyli jest funkcją „na”,
  3. jest funkcją ciągłą,
  4. jest funkcją ciągłą.

Uwaga[edytuj | edytuj kod]

Założenie ciągłości funkcji odwrotnej w powyższej definicji jest konieczne, ponieważ istnieją nieciągłe funkcje odwrotne do ciągłych bijekcji.

Niech będzie okręgiem jednostkowym z topologią dziedziczoną z płaszczyzny oraz niech

będzie funkcją daną wzorem

Funkcja jest ciągła i bijektywna. Jednak jej funkcja odwrotna nie jest ciągła w punkcie (1,0), gdyż ale obraz żadnego otwartego łuku otaczającego punkt (1,0) nie jest zawarty w otoczeniu punktu [3].

Homeomorfizm a dyfeomorfizm[edytuj | edytuj kod]

Szczególnym przypadkiem homeomorfizmu jest dyfeomorfizm, który można rozpatrywać jeśli dziedzina i przeciwdziedzina są rozmaitościami różniczkowymi. Dyfeomorfizm jest homeomorfizmem klasy którego odwrotność również jest funkcją klasy W szczególności istnieją rozmaitości, które są homeomorficzne, ale nie dyfeomorficzne.

Homeomorfizm a izometria[edytuj | edytuj kod]

Homeomorfizm w ogólności nie zachowuje odległości między punktami (gdyż dopuszcza dowolne rozciąganie i ściskanie), w odróżnieniu od izometrii. Izometria jest więc szczególnym przypadkiem homeomorfizmu.

Przykłady:

1) Przekształcenie płaskiej kartki w rulon jest homeomorfizmem. Jednocześnie jest to izometria, gdyż odległości między punktami rulona – mierzone wzdłuż linii leżących na rulonie – są identyczne jak w rozwiniętej kartce.

2) Wgniecenie płaskiej membrany bębna jest homeomorfizmem, ale nie jest izometrią.

Twierdzenia o homeomorfizmach[edytuj | edytuj kod]

Wprost z definicji homeomorfizmu wynikają twierdzenia:

  • Złożenie homeomorfizmów jest homeomorfizmem.
  • Funkcja odwrotna do homeomorfizmu jest homeomorfizmem.
  • Każda funkcja tożsamościowa jest homeomorfizmem, o ile na dziedzinie i przeciwdziedzinie rozważana jest ta sama topologia.

Niezmienniki topologiczne[edytuj | edytuj kod]

Niezmienniki topologiczne to własności przestrzeni topologicznych, które są zachowywane przy przekształceniach homeomorficznych.

Do niezmienników należą m.in. domkniętość, otwartość, zwartość, ośrodkowość, spójność, charakterystyka Eulera.

Niezmienniki służą jako narzędzie do badania rozmaitości topologicznych. Np.

  • jeżeli rozmaitości mają różne charakterystyki Eulera, to są topologicznie różne,
  • jeżeli rozmaitości mają taką samą charakterystykę Eulera, to nie przesądza, czy są homeomorficzne czy nie (np. butelka Kleina i wstęga Möbiusa mają charakterystykę Eulera równą 0, ale nie są równoważne topologicznie).

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  1. Okrąg jest homeomorficzny z dowolną łamaną zamkniętą zwyczajną. Koło jest homeomorficzne z dowolnym wielokątem.
  2. Okrąg nie jest homeomorficzny z żadnym odcinkiem (przedziałem domkniętym).
    Dowód. Jeżeli jest homeomorfizmem pomiędzy odcinkiem a okręgiem to restrykcja
    jest funkcją ciągłą. Przedział jest spójny, więc z ciągłości obraz zbioru poprzez jest również spójny. Funkcja jest różnowartościowa, więc a okrąg po usunięciu dwóch punktów przestaje być przestrzenią spójną, sprzeczność.
  3. Dowolne dwa odcinki otwarte są homeomorficzne ze sobą.
  4. Przedział jest homeomorficzny z całą prostą rzeczywistą. Z powyższego wynika zatem, każdy przedział otwarty jest homeomorficzny z całą prostą.
    Dowód. Funkcja dana wzorem
    jest ciągłą bijekcją, której funkcja odwrotna jest również ciągła.
  5. Sfera (powierzchnia trójwymiarowej kuli) jest homeomorficzna z powierzchnią dowolnego wielościanu.
  6. Żadne dwie powierzchnie spośród następujących nie są homeomorficzne: koło, sfera, pierścień kołowy, powierzchnia torusa.
  7. Żaden przedział jednostronnie domknięty nie jest homeomorficzny z żadnym przedziałem obustronnie otwartym ani obustronnie domkniętym.
    Dowód. Przedział domknięty jest zwarty. Gdy przedział nie zawiera jednego ze swoich końców nie jest on zwarty, a więc nie może być homeomorficzny ze zbiorem zwartym, jakim jest przedział domknięty.

Uwaga:

Intuicyjnie można sprawdzić, czy dwie przestrzenie są homeomorficzne, próbując (lub wyobrażając sobie) deformować jedną figurę tak, by otrzymać drugą. Deformacje zachowują niezmienniki topologiczne, dlatego istnienie takiej deformacji jest jednoznaczne z istnieniem homeomorfizmu, a jej brak – z brakiem homeomorfizmu (zobacz animację u góry strony). Sferę można zdeformować w wielościan. Ale nie da się sfery zdeformować w torus.

Zanurzenie homeomorficzne[edytuj | edytuj kod]

Zanurzeniem homeomorficznym przestrzeni w przestrzeń nazywa się homeomorfizm przestrzeni z podprzestrzenią przestrzeni

Jeśli istnieje zanurzenie homeomorficzne przestrzeni w to mówi się, że jest ' w

Przykład:

Okrąg (lub inną krzywą zamkniętą) można „zanurzyć” w dowolną powierzchnię 2-wymiarową poprzez rzutowanie go tak, by rzut był krzywą zamkniętą w postaci pojedynczej „pętli”. Taki rzut jest homeomorfizmem

Sprzężenie topologiczne homeomorfizmów[edytuj | edytuj kod]

Dwa homeomorfizmy nazywane są topologicznie sprzężonymi wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taki homeomorfizm że

Przykład – typy topologiczne[edytuj | edytuj kod]

Zbiór liter i cyfr (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, F, G, H, I, J, K, L, Ł, M, N, O, P, Q, R, S, T, U, V, W, X, Y, Z) stanowi rodzinę przestrzeni topologicznych; każda litera stanowi inną przestrzeń topologiczną. Zbiór ten można podzielić na podzbiory – typy topologiczne:

  • 1, 2, 3, 5, 7, I, C, G, J, L, M, N, S, U, V, W, Z – 1 gałąź,
  • E, F, T, Y – 3 gałęzie,
  • Ł, X – 4 gałęzie,
  • H – 5 gałęzi,
  • O, D – 0 gałęzi, 1 pętla,
  • 8 – 0 gałęzi, 2 pętle, 1 wierzchołek,
  • B – 0 gałęzi, 2 pętle, 2 wierzchołki,
  • P, Q, 6, 9 – 1 gałąź, 1 pętla,
  • 4 – 2 gałęzie, 1 pętla, 1 wierzchołek,
  • A, R – 2 gałęzie, 1 pętla, 2 wierzchołki.

Każdą z liter danego typu można przekształcić w inną literę tego samego typu przez odpowiednie wyginanie i wyciąganie, np. wyginając I uzyskamy C, G, J itd. Natomiast nie da się za pomocą takiego przekształcenia dokonać przejścia od I do E itd. Każda z operacji przekształcania jednej litery w inną w danym typie jest homeomorfizmem. Homeomorfizmy zachowują niezmienniki topologiczne – dlatego za ich pomocą otrzymuje się litery tego samego typu.

Uwaga: Litery i cyfry traktujemy tu jako krzywe jednowymiarowe – grafy. Gdyby traktować je jako wycinki powierzchni (np. wykonane z elastycznego materiału), to podział byłby inny, np. I dałoby się przekształcić w E przez odpowiednie rozciąganie. Wtedy mielibyśmy 3 typy topologiczne: litery mające 0 pętli, 1 lub 2 pętle.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Inne rodzaje odwzorowań:

Na temat niezmienników topologicznych:

Uwagi[edytuj | edytuj kod]

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. Homeomorfizm, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2021-07-28].
  2. publikacja w otwartym dostępie – możesz ją przeczytać Jeff Miller i John Aldrich, Homeomorphism [w:] Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (H), MacTutor History of Mathematics archive, mathshistory.st-andrews.ac.uk [dostęp 2022-02-14].
  3. Waldmann 2014 ↓, s. 36–37.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Stefan Waldmann: Topology: An Introduction. New York: Springer International Publishing, 2014. ISBN 978-3-319-09679-7.

Literatura dodatkowa[edytuj | edytuj kod]

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]

  • Michał Krych, Homeomorfizm, [w:] pismo „Delta” [online], deltami.edu.pl, kwiecień 2019, ISSN 0137-3005 [dostęp 2022-07-19] (pol.).