Spontaniczne namagnesowanie

Namagnesowanie spontaniczne zwane jest również pozostałością magnetyczną, a jest to wartość namagnesowania przy zerowym polu zewnętrznym magnetycznym (ale uprzednio po jego nasyceniu).

Analiza matematyczna zjawiska

Przybliżenie pola średniego polega na zaniedbaniu fluktuacji kwantowych:

$\delta A = \langle A^2 \rangle - \langle A \rangle ^2 \sim 0.$

W ten sposób mamy <A²> = <A>² i wtedy operator A² można zastąpić przez 2<A>A. Model Heisenberga można w przybliżeniu średniego pola zapisać jako

$H_{mf} = - \mu B^i \sum_n S^i_n + \sum_{n, g} J_g \langle S^i_{n + g} \rangle S^i_n = - \mu L^i \sum_n S^i_n$

gdzie Lⁱ jest polem molekularnym

$L^i = B^i - \frac{1}{\mu} \sum_g J_g \langle S^i_{n + g} \rangle$

Gdy J_g < 0 istnieje rozwiązanie nawet gdy zewnętrzne pole magnetyczne Bⁱ = 0

$L^3 = \frac{z|J_g |}{\mu} \sigma ( x ) = \frac{z|J_g |}{2 \mu} \, \hbar \, \tanh( x )$

ze średnim namagnesowaniem

$\sigma = \langle S^3\rangle =\frac{1}{2}\hbar \tanh(x)$

gdzie

$x = \frac{\mu \hbar L^3}{2 k_B T}$

Jest to samouzgodnione równanie na pole molekularne L³ które można zapisać w postaci

$t\ x = \frac{T}{T_0} x = \tanh( x )$

T₀ określa temperaturę przejścia fazowego

$T_0 = \frac{z|J_g | \hbar^2}{4 k_B}$

Rozwiązaniem jest przecięcie prostej ( T / T₀ )·x z funkcją tanh(x). Funkcja tanh(x) ma rozwinięcie w szereg

$\tanh(x) = 1 - \frac{1}{3} x^{3} + \dots$

Samouzgodnione równanie t·x = tanh(x) daje w tym przybliżeniu wynik teorii przejść fazowych Landaua

$\left ( \frac{T}{T_0} - 1 \right ) x + \frac{1}{3} x^3 = 0$

Równanie to wyznacza minimum (dokładniej ekstremum) energii swobodnej

$F(t,x)\sim \frac{1}{2}(t - 1 ) x^2 + \frac{1}{12}x^4$

Literatura

• C. Kittel, Wstęp do fizyki ciała stałego, PWN, Warszawa 1999