Funkcje hiperboliczne

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Funkcje hiperbolicznefunkcje zmiennej rzeczywistej lub zespolonej określone następująco:

  • sinus hiperboliczny:
\sinh x = {e^x - e^{-x}\over 2}
(oznaczany również \operatorname{sh} x )
  • cosinus hiperboliczny:
\cosh x = {e^x + e^{-x}\over2}
(oznaczany również \operatorname{ch} x)
  • tangens hiperboliczny:
\operatorname{tgh} x = {\sinh x \over\cosh x} = {{e^x - e^{-x}}\over{e^x + e^{-x}}}
(oznaczany również \operatorname{th} x lub \operatorname{tanh} x)
  • cotangens hiperboliczny:
\operatorname{ctgh} x = {\cosh x \over\sinh x} = {{e^x + e^{-x}}\over{e^x - e^{-x}}}
(oznaczany również \operatorname{cth} x lub \operatorname{coth} x)
  • secans hiperboliczny:
\operatorname{sech} x = {1\over\cosh x} = {\frac{2}{e^x+e^{-x}}}
  • cosecans hiperboliczny:
\operatorname{csch} x = {1\over\sinh x} = {\frac{2}{e^x-e^{-x}}}

Związek z funkcjami trygonometrycznymi[edytuj | edytuj kod]

Zbiór punktów płaszczyzny o współrzędnych postaci (cos x, sin x) jest okręgiem, analogicznie zbiór punktów o współrzędnych postaci (cosh(x), sinh(x)) wyznacza hiperbolę. Wynika to z następującej tożsamości, znanej jako jedynka hiperboliczna:

(\cosh t)^2 - (\sinh t)^2 = 1 \,

Prawdziwe są również wzory:

\sinh{(2t)}= 2 \sinh t \cosh t \,
\cosh{(2t)}= (\cosh t)^2 + (\sinh t)^2 \,
\sinh x + \cosh x = e^x \,

Ponadto, korzystając ze wzoru Eulera

e^{ix} = \cos x + i\;\sin x

można przedstawić związek funkcji hiperbolicznych z trygonometrycznymi, z zastosowaniem liczb zespolonych:

\sinh(ix) = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2} = i \sin(x)
\cosh(ix) = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} = \cos(x)
\operatorname{tgh}(ix) = i \operatorname{tg}(x) \,
\sinh x = -i \sin(ix) \,
\cosh x = \cos(ix) \,
\operatorname{tgh} x = -i \operatorname{tg}(ix) \,
\operatorname{ctgh}(ix) = \frac{\operatorname{ctg}(x)}{i} = -i \operatorname{ctg}(x)

Ponieważ funkcje trygonometryczne są okresowe wzdłuż osi liczb rzeczywistych, to funkcje hiperboliczne są okresowe wzdłuż osi liczb urojonych z okresem 2πi (sinh, cosh, sech, csech), albo πi (tgh, ctgh).

Właściwości funkcji hiperbolicznych[edytuj | edytuj kod]

Związki pomiędzy funkcjami hiperbolicznymi[edytuj | edytuj kod]

Odpowiednikiem wzoru jedynkowego \sin^{2} x+\cos^{2} x=1 jest \cosh^2(z)-\sinh^2(z)=1. Z każdej tożsamości trygonometrycznej można otrzymać tożsamość hiperboliczną przez użycie związku pomiędzy funkcjami trygonometrycznymi i hiperbolicznymi.

Pochodne funkcji hiperbolicznych[edytuj | edytuj kod]

\operatorname{sinh}'(x) = \operatorname{cosh}(x)
\operatorname{cosh}'(x) = \operatorname{sinh}(x)
\operatorname{tgh}'(x) = {1\over{\cosh^2(x)}} = 1 - {\operatorname{tgh}^2(x)}
\operatorname{ctgh}'(x) = {{-1}\over{\sinh^2(x)}} = 1 - {\operatorname{ctgh}^2(x)}

Rozwinięcia w szeregi potęgowe[edytuj | edytuj kod]

\sinh z=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}=z+\frac{1}{3!}z^3+\frac{1}{5!}z^5+\frac{1}{7!}z^7+\cdots
\cosh z=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^{2n}}{(2n)!}=1+\frac{1}{2!}z^2+\frac{1}{4!}z^4+\frac{1}{6!}z^6+\cdots

Rozwinięcia w iloczyny nieskończone[edytuj | edytuj kod]

\sinh x = x \prod_{n = 1}^\infty\left(1 + \frac{x^2}{\pi^2 n^2}\right)
\cosh x = \prod_{n = 1}^\infty\left(1 + \frac{x^2}{\pi^2(n - \frac{1}{2})^2}\right)

Funkcje odwrotne[edytuj | edytuj kod]

Funkcje hiperboliczne posiadają funkcje odwrotne zwane funkcjami area. Są one wyrażone przez logarytmy. Funkcją odwrotną do sinh jest area sinus hiperboliczny, do cosh area cosinus hiperboliczny itd.

Wykresy[edytuj | edytuj kod]

Oto wykres funkcji sinh:

Hyperbolic Sine.svg

Wykres funkcji cosh ma kształt krzywej łańcuchowej:

Cosh.svg

Wykresy funkcji sinus, cosinus i tangens hiperboliczny

Wykresy funkcji cotangens, secans i cosecans hiperboliczny

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]