Szereg (matematyka)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Szereg – konstrukcja umożliwiająca wykonanie uogólnionego dodawania przeliczalnej liczby składników. Przykładem znanego szeregu jest dychotomia Zenona z Elei

\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n} = \frac{1}{2}+ \frac{1}{4}+ \frac{1}{8} + \dots + \frac{1}{2^n} + \dots.

Wyrazy szeregu często powstają w wyniku zastosowania pewnej reguły, takiej jak np. wzór, czy algorytm. W przeciwieństwie do sumowania, do pełnego zrozumienia i manipulowania nimi szeregi wymagają narzędzi analizy matematycznej. Poza ich wszechobecnością w samej matematyce szeregi szeroko stosuje się w innych dyscyplinach ilościowych takich jak fizyka, czy informatyka; szczególnie ważne są rozmaite szeregi funkcyjne, w tym trygonometryczne, na czele z szeregiem Fouriera, czy potęgowe (za pomocą których można przybliżać z dowolną dokładnością wiele funkcji).

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Szeregi mogą składać się z elementów z dowolnego zbioru, w tym z liczb rzeczywistych, liczb zespolonych czy funkcji (wtedy mówi się o szeregach funkcyjnych). Poniższa definicja podana będzie dla liczb rzeczywistych, lecz można ją uogólniać.

Dla danego nieskończonego ciągu liczb rzeczywistych (a_n) definiuje się N-tą sumę częściową ciągu (a_n) bądź sumą częściową szeregu wzorem

s_N = \sum_{n=0}^N a_n =a_0 + a_1 + a_2 + \dots + a_N.

Szeregiem nazywa się ciąg (s_N) sum częściowych. Formalnie szereg należy więc traktować jako parę uporządkowaną \bigl((a_n), (s_N)\bigr)[1].

Sumą szeregu nazywa się liczbę S = \lim_{N \rightarrow \infty }s_N, o ile granica ta istnieje i jest właściwa. W przeciwnym przypadku szereg nie ma sumy. Szereg, który ma sumę nazywa się zbieżnym, który jej nie ma − rozbieżnym[2].

Zarówno szereg, jak i jego sumę oznacza się na jeden z następujących sposobów:

\sum_{n = 0}^\infty a_n = a_0 + a_1 + a_2 + a_3 + \dots.

To, które z tych pojęć jest odpowiednie wynika zwykle z kontekstu. Oddzielenie tych dwóch całkowicie różnych obiektów (ciągu i jego granicy) osiąga się niekiedy przez pominięcie granic (oznaczeń nad i pod symbolem sumy), np.

\sum_n a_n;

symbol ten służy wtedy odnoszeniu się do szeregu formalnego, który może, lecz nie musi mieć określonej sumy.

Szeregiem, w zależności od autora, a czasem także od kontekstu, bywa też nazywana suma wszystkich elementów danego ciągu nieskończonego[3].

Niżej stosowany będzie również symbol \sum a_n na oznaczenie obu rodzajów obiektów, o ile nie będzie prowadzić to do nieporozumień.

Zbieżność i rozbieżność[edytuj | edytuj kod]

O szeregu \sum a_n mówi się, że jest zbieżny, jeżeli ciąg (s_N) sum częściowych ma skończoną granicę, wtedy

\sum_{n = 0}^\infty a_n = \lim_{N \to \infty} s_N = \lim_{N \to \infty} \sum_{n = 0}^N a_n.

Jeżeli granica (s_N) jest nieskończona lub nie istnieje, to szereg nazywa się rozbieżnym.

Szereg \sum a_n jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy ciąg (s_N) sum częściowych spełnia warunek Cauchy'ego. Zmiana (również opuszczenie, czy dodanie) skończenie wielu wyrazów szeregu zbieżnego nie wpływa na jego zbieżność.

Należy zaznaczyć, że suma szeregu nie jest tym samym, co suma jego składników. Niektóre szeregi można jednak traktować jako sumę, tzn. zmieniać kolejność składników (wyrazów w ciągu). Szereg \sum a_n nazywa się

  • zbieżnym bezwzględnie/absolutnie, jeśli
    \sum |a_n| < \infty;
  • zbieżnym względnie/nieabsolutnie, jeśli jest zbieżny, ale nie bezwzględnie, tzn.
    \sum a_n < \infty, lecz \sum |a_n| = \infty.

Twierdzenie Riemanna wyróżnia dodatkowe dwa rodzaje zbieżności szeregów, mianowicie szereg \sum a_n jest

  • zbieżny bezwarunkowo, jeżeli dla każdej permutacji \sigma zachodzi
    \sum a_{\sigma(n)} = \sum a_n;
  • zbieżny warunkowo, jeżeli dla każdej liczby s \in \overline{\mathbb R} istnieje permutacja \sigma taka, że
    \sum a_{\sigma(n)} = s.

Oznacza to, że wyrazy szeregów zbieżnych bezwarunkowo można dowolnie przestawiać nie zmieniając przy tym sumy szeregu, z kolei przestawiając wyrazy szeregu zbieżnego warunkowo można otrzymać jako sumę nowego szeregu dowolną, z góry zadaną liczbę, bądź otrzymać szereg rozbieżny - z tego powodu operacje na nich należy wykonywać ze szczególną uwagą.

Wspomniane twierdzenie gwarantuje, że szereg \sum a_n jest bezwzględnie zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżne są szeregi \sum a_n^+ złożony z jego wyrazów dodatnich i \sum a_n^- złożony z jego wyrazów ujemnych; wówczas jego suma wynosi \sum a_n^+ + \sum a_n^-. Jeżeli jeden z tych ciągów jest rozbieżny, to szereg jest rozbieżny, lecz jeśli rozbieżne są oba, to szereg może być albo zbieżny warunkowo albo rozbieżny.

Każdy z powyższych rodzajów zbieżności pociąga zbieżność w zwykłym sensie. Dla szeregów liczbowych pojęcia zbieżności bezwzględnej i bezwarunkowej pokrywają się, lecz w ogólności (w nieskończenie wymiarowej przestrzeni Banacha, gdzie wartość bezwzględną zastępuje się normą) tylko zbieżność absolutna pociąga zbieżność bezwarunkową szeregu.

Działania[edytuj | edytuj kod]

Ponieważ szereg jest definiowany jako ciąg, to wszelkie działania na ciągach takie jak ich dodawanie, czy mnożenie przez skalar można stosować dla szeregów; szeregi tworzą więc przestrzeń liniową nad ciałem, z którego pochodzą jego wyrazy. Suma szeregów zbieżnych jest szeregiem zbieżnym. Mnożenie szeregu przez niezerowy skalar nie wpływa na jego zbieżność.

Można również określić mnożenie dwóch szeregów, jednym ze sposobów jest przedstawiony niżej iloczyn Cauchy'ego. Iloczynem szeregów \sum a_n oraz \sum b_n nazywa się szereg \sum c_n, gdzie

c_n = \sum_{k = 0}^n a_{n-k} b_k = a_0 b_n + a_1 b_{n-1} + \dots + a_{n-1} b_1 + a_n b_0.
Twierdzenie Mertensa (o mnożeniu szeregów) 
Jeżeli szeregi \sum a_n oraz \sum b_n są zbieżne i co najmniej jeden z nich jest zbieżny bezwzględnie, to zbieżny jest ich iloczyn (Cauchy'ego), którego suma wynosi \left(\sum a_n\right)\left(\sum b_n\right).

Pewnym uogólnieniem powyższego twierdzenia jest

Twierdzenie Abela 
Jeżeli iloczyn (Cauchy'ego) zbieżnych szeregów \sum a_n oraz \sum b_n jest zbieżny, to ma on sumę równą \left(\sum a_n\right)\left(\sum b_n\right).

Uwaga : Jeśli oba szeregi są zbieżne bezwzględnie, to suma dowolnego szeregu \sum c_n, który za wyrazy ma wszystkie liczby postaci a_i b_j (każda występuje dokładnie raz, ich kolejność jest dowolna) jest równa \left(\sum a_n\right)\left(\sum b_n\right).

Dowód : Ograniczoność szeregu \sum |c_n|, a co za tym idzie bezwzględna zbieżność szeregu \sum c_n wynika z nierówności:

\sum_{k=0}^n |c_k| \leq (\sum_{i=0}^p |a_i|)(\sum_{j=0}^r |b_j|) \leq (\sum_{i=0}^{\infty} |a_i|)(\sum_{j=0}^{\infty} |b_j|)

gdzie p i r to maksymalne indeksy przy a i b w pierwszych n wyrazach ciągu c_n i założenia o bezwzględnej zbieżności szeregów (\sum_{i=0}^{\infty} |a_i|<\infty,\sum_{j=0}^{\infty} |b_j|<\infty). Zatem można przestawiać kolejność wyrazów, w szczególności do postaci iloczynu Cauchy'ego.

Przykład[edytuj | edytuj kod]

Niech dany będzie szereg \sum x^n; jego iloczyn przez siebie wynosi (n + 1)x^n. Ponieważ szereg geometryczny \sum x^n jest zbieżny dla |x| < 1 i ma sumę \tfrac{1}{1 - x}, to z twierdzenia Mertensa otrzymuje się, iż \left(\sum x^n\right)^2 = \sum (n + 1)x^n = \left(\tfrac{1}{1-x}\right)^2.

Rodzaje[edytuj | edytuj kod]

Ważnymi rodzajami szeregów są

Uogólnienia[edytuj | edytuj kod]

Definicja szeregu nie musi ograniczać się do szeregów liczbowych, gdyż ciąg (a_n) nie musi być ciągiem liczb rzeczywistych, czy zespolonych. Do poprawnego określenia szeregu potrzebujemy przestrzeni, w której określone jest działanie dodawania (by określić a_1+a_2+\dots+a_n) oraz topologia (by określić wartość granicy \lim_{n\to\infty}(a_1+a_2+\dots+a_n), czyli granicę szeregu \sum_{n=1}^\infty a_n). Dlatego też definicja ta bez zmian przenosi się na przykład na przestrzenie liniowo-topologiczne.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. Krzysztof Maurin: Analiza cz 1. Elementy. Warszawa: PWN, 1991, seria: BM 69. ISBN 83-01-09940-2.
  2. Ewa Łobos, Beata Sikora: Advanced calculus : selected topics. Gliwice: Wydawnictwo Politechniki Śląskiej, 2009, s. 198. ISBN 978-83-7335-625-2.
  3. Franciszek Leja: Rachunek różniczkowy i całkowy. Warszawa: PWN, 2010, seria: BM 3. ISBN 978-83-01-15479-0.