Sumator (układ logiczny)

Sumator – cyfrowy układ kombinacyjny, który wykonuje operacje dodawania dwóch (lub więcej) liczb dwójkowych. Sumator dzielimy na:

• szeregowe (ang. serial adder): podczas każdej operacji dodają dwa bity składników oraz bit przeniesienia;
• równoległe (and. paralel adder): wielopozycyjne, dodają do siebie jednocześnie bity ze wszystkich pozycji, a przeniesienie realizowane jest w zależności od sposobu połączenia sumatorów jednobitowych

Są dwa główne rodzaje sumatorów równoległych:

• z przeniesieniami szeregowymi (ang. ripple-carry adder)
• z przeniesieniami równoległymi (ang. carry look-ahead adder)

Teoria

Tabela prawdy dla sumatora 1-bitowego:

ai	bi	ci-1	si	ci
0	0	0	0	0
0	1	0	1	0
1	0	0	1	0
1	1	0	0	1
0	0	1	1	0
0	1	1	0	1
1	0	1	0	1
1	1	1	1	1

gdzie:

• a_i – pierwszy składnik sumy
• b_i – drugi składnik sumy
• c_i−1 – przeniesienie z poprzedniej pozycji
• s_i – suma
• c_i – przeniesienie

Wyrażenia boolowskie opisujące sumę i przeniesienie:

$s_i = c_{i-1} \oplus a_i \oplus b_i$

$c_i = a_i b_i + c_{i-1} (a_i \oplus b_i)$

Wprowadza się jeszcze oznaczenia:

$g_i = a_i b_i$ – grupa generacyjna

$p_i = a_i + b_i$ – grupa propagacyjna

Można wówczas zapisać:

$c_i = g_i + c_{i-1} p_i$

Sumator z przeniesieniami szeregowymi

Sumator ten zbudowany jest z bloków funkcjonalnych, które realizują funkcje $s_i$ i $c_i$. Bloki są połączone kaskadowo (ripple), tzn. wyjście $c_i$ jest łączone z wejściem $c_{i+1}$ bloku następnego.

Aby np. otrzymać bit sumy $s_4$ uprzednio muszą zostać wyznaczone sygnały przeniesień $c_1$, $c_2$ oraz $c_3$ ($c_3$ zależy od $c_2$, a ten zależy od $c_1$).

Czas otrzymania ostatecznego wyniku jest więc ograniczony do dołu przez $n$ × czas generacji przeniesienia $c$, gdzie $n$ to liczba elementarnych bloków z których zbudowanych jest sumator.

Sumator z przeniesieniami równoległymi

W sumatorze z przeniesieniami równoległymi bity przeniesień są wyznaczane równolegle. Wyrażenia opisujące $c_i$ są [rekursywnie] rozwijane, tzn. występujący w nich składnik $c_{i-1}$ jest zastępowany stosownym wyrażeniem, np.:

$c_0 = \textrm{const}$

$c_1 = g_1 + c_{1-1} p_1 = g_1 + c_0 p_1$

$c_2 = g_2 + c_{2-1} p_2 = g_2 + c_1 p_2 = g_2 + (g_1 + c_0 p_1) p_2$

Układ buduje się z dwóch głównych części:

1. bloków wyznaczających sumę $s_i$ oraz grupy generacyjne $g_i$ i propagacyjne $p_i$ (które są liczone niezależnie!)
2. bloku generującego przeniesienia, zgodnie z rozwiniętymi wyrażeniami

W praktyce buduje się 4-bitowe sumatory tego typu, ze względu na znaczne skomplikowanie wyrażeń (a więc obwodów elektrycznych bloku nr 2).

Sumator z przeniesieniami równoległymi jest ok. 20-40% szybszy niż sumator z przeniesieniami szeregowymi