Tabele współczynników Clebscha-Gordana używa się do dodawania stanów kwantowych operatora momentu pędu. Znak współczynników dla danego zestawy liczb
jest do pewnego stopnia dowolny i został ustalony zgodnie z konwencją Condona-Shortlego i Wignera.
Sprzężenie stanów
[edytuj | edytuj kod]
Omówimy tu sposób wykorzystania tabel ze współczynnikami C-G na podstawie przypadku sprzęgania stanów o liczbach kwantowych
(1) W kolejnych wierszach tabel podane są możliwe wartości
(2) Współczynniki C-G dla danych wartości
i wartości
są na skrzyżowaniu kolumny z wartościami
oraz wiersza w wartościami
– podano je wytłuszczonym drukiem. Przy czym z podanych wartości liczbowych należy wyciągnąć pierwiastek kwadratowy, zostawiając ewentualny znak – przed pierwiastkiem.
|
j
|
1
|
|
m
|
1
|
m1, m2
|
+1/2, +1/2
|
1
|
cd.
|
j
|
1
|
|
m
|
−1
|
m1, m2
|
−1/2, −1/2
|
1
|
cd.
|
j
|
1
|
0
|
|
m
|
0
|
0
|
m1, m2
|
1/2, −1/2
|
1/2
|
1/2
|
m1, m2
|
−1/2, 1/2
|
1/2
|
−1/2
|
Sprzężenie stanów
– dowolna liczba,
[edytuj | edytuj kod]
|
j
|
j
|
|
m
|
m1
|
m1, m2
|
m1, 0
|
1
|
czyli mamy:
![{\displaystyle |j_{1},m_{1}\rangle |0,0\rangle =|j_{1},m_{1}\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7be48da5418cd7bfa662bc5710b2ab0d892f7d69)
Sprzężenie stanów
[edytuj | edytuj kod]
|
j
|
3/2
|
|
m
|
+3/2
|
m1, m2
|
+1, +1/2
|
1
|
cd.
|
j
|
3/2
|
1/2
|
|
m
|
+1/2
|
+1/2
|
m1, m2
|
1, −1/2
|
1/3
|
2/3
|
m1, m2
|
0, +1/2
|
2/3
|
−1/3
|
cd.
|
j
|
3/2
|
1/2
|
|
m
|
−1/2
|
−1/2
|
m1, m2
|
0, −1/2
|
2/3
|
1/3
|
m1, m2
|
−1, +1/2
|
1/3
|
−2/3
|
cd.
|
j
|
3/2
|
|
m
|
−3/2
|
m1, m2
|
−1, −1/2
|
1
|
Sprzężenie stanów
[edytuj | edytuj kod]
|
j
|
2
|
|
m
|
2
|
m1, m2
|
+1, +1
|
1
|
cd.
|
j
|
2
|
1
|
|
m
|
+1
|
+1
|
m1, m2
|
+1, 0
|
1/2
|
1/2
|
m1, m2
|
0, +1
|
1/2
|
−1/2
|
cd.
|
j
|
2
|
1
|
0
|
|
m
|
0
|
0
|
0
|
m1, m2
|
+1, −1
|
1/6
|
1/2
|
1/3
|
m1, m2
|
0, 0
|
2/3
|
0
|
−1/3
|
m1, m2
|
−1, +1
|
1/6
|
−1/2
|
1/3
|
cd.
|
j
|
2
|
1
|
|
m
|
−1
|
−1
|
m1, m2
|
0, −1
|
1/2
|
1/2
|
m1, m2
|
−1, 0
|
1/2
|
−1/2
|
cd.
|
j
|
2
|
|
m
|
−2
|
m1, m2
|
−1, −1
|
1
|
Sprzężenie stanów
[edytuj | edytuj kod]
|
j
|
5/2
|
|
m
|
+5/2
|
m1, m2
|
+2, +1/2
|
1
|
cd.
|
j
|
5/2
|
3/2
|
|
m
|
+3/2
|
+3/2
|
m1, m2
|
+2, −1/2
|
1/5
|
4/5
|
m1, m2
|
+1, +1/2
|
4/5
|
−1/5
|
cd.
|
j
|
5/2
|
3/2
|
|
m
|
+1/2
|
+1/2
|
m1, m2
|
1, −1/2
|
2/5
|
3/5
|
m1, m2
|
0, +1/2
|
3/5
|
−2/5
|
cd.
|
j
|
5/2
|
3/2
|
|
m
|
−1/2
|
−1/2
|
m1, m2
|
0, −1/2
|
3/5
|
2/5
|
m1, m2
|
−1, +1/2
|
2/5
|
−3/5
|
cd.
|
j
|
5/2
|
3/2
|
|
m
|
−3/2
|
−3/2
|
m1, m2
|
−1, −1/2
|
4/5
|
1/5
|
m1, m2
|
−2, +1/2
|
1/5
|
−4/5
|
cd.
|
j
|
5/2
|
|
m
|
−5/2
|
m1, m2
|
−2, −1/2
|
1
|
Sprzężenie stanów
[edytuj | edytuj kod]
|
j
|
3
|
|
m
|
+3
|
m1, m2
|
+2, +1
|
1
|
cd.
|
j
|
3
|
2
|
|
m
|
+2
|
+2
|
m1, m2
|
+2, 0
|
1/3
|
2/3
|
m1, m2
|
+1, +1
|
2/3
|
−1/3
|
cd.
|
j
|
3
|
2
|
1
|
|
m
|
+1
|
+1
|
+1
|
m1, m2
|
+2, −1
|
1/15
|
1/3
|
3/5
|
m1, m2
|
+1, 0
|
8/15
|
1/6
|
−3/10
|
m1, m2
|
0, +1
|
2/5
|
−1/2
|
1/10
|
cd.
|
j
|
3
|
2
|
1
|
|
m
|
0
|
0
|
0
|
m1, m2
|
+1, −1
|
1/5
|
1/2
|
3/10
|
m1, m2
|
0, 0
|
3/5
|
0
|
−2/5
|
m1, m2
|
−1, +1
|
1/5
|
−1/2
|
3/10
|
cd.
|
j
|
3
|
2
|
1
|
|
m
|
−1
|
−1
|
−1
|
m1, m2
|
0, −1
|
2/5
|
1/2
|
1/10
|
m1, m2
|
−1, 0
|
8/15
|
−1/6
|
−3/10
|
m1, m2
|
−2, +1
|
1/15
|
−1/3
|
3/5
|
cd.
|
j
|
3
|
2
|
|
m
|
−2
|
−2
|
m1, m2
|
−1, −1
|
2/3
|
1/3
|
m1, m2
|
−2, 0
|
1/3
|
−2/3
|
cd.
|
j
|
3
|
|
m
|
−3
|
m1, m2
|
−2, −1
|
1
|
Sprzężenie stanów
[edytuj | edytuj kod]
|
j
|
2
|
|
m
|
+2
|
m1, m2
|
+3/2, +1/2
|
1
|
cd.
|
j
|
2
|
1
|
|
m
|
+1
|
+1
|
m1, m2
|
+3/2, −1/2
|
1/4
|
3/4
|
m1, m2
|
+1/2, +1/2
|
3/4
|
−1/4
|
cd.
|
j
|
2
|
1
|
|
m
|
0
|
0
|
m1, m2
|
+1/2, −1/2
|
1/2
|
1/2
|
m1, m2
|
−1/2, +1/2
|
1/2
|
−1/2
|
cd.
|
j
|
2
|
1
|
|
m
|
−1
|
−1
|
m1, m2
|
−1/2, −1/2
|
3/4
|
1/4
|
m1, m2
|
−3/2, +1/2
|
1/4
|
−3/4
|
cd.
|
j
|
2
|
|
m
|
−2
|
m1, m2
|
−3/2, −1/2
|
1
|
Sprzężenie stanów
[edytuj | edytuj kod]
|
j
|
5/2
|
|
m
|
+5/2
|
m1, m2
|
+3/2, +1
|
1
|
cd.
|
j
|
5/2
|
3/2
|
|
m
|
+3/2
|
+3/2
|
m1, m2
|
+3/2, 0
|
2/5
|
3/5
|
m1, m2
|
+1/2, +1
|
3/5
|
−2/5
|
cd.
|
j
|
5/2
|
3/2
|
1/2
|
|
m
|
+1/2
|
+1/2
|
+1/2
|
m1, m2
|
+3/2, −1
|
1/10
|
2/5
|
1/2
|
m1, m2
|
+1/2, 0
|
3/5
|
1/15
|
−1/3
|
m1, m2
|
−1/2, +1
|
3/10
|
−8/15
|
1/6
|
cd.
|
j
|
5/2
|
3/2
|
1/2
|
|
m
|
−1/2
|
−1/2
|
−1/2
|
m1, m2
|
+1/2, −1
|
3/10
|
8/15
|
1/6
|
m1, m2
|
−1/2, 0
|
3/5
|
−1/15
|
−1/3
|
m1, m2
|
−3/2, +1
|
1/10
|
−2/5
|
1/2
|
cd.
|
j
|
5/2
|
3/2
|
|
m
|
−3/2
|
−3/2
|
m1, m2
|
−1/2, −1
|
3/5
|
2/5
|
m1, m2
|
−3/2, 0
|
2/5
|
−3/5
|
cd.
|
j
|
5/2
|
|
m
|
−5/2
|
m1, m2
|
−3/2, −1
|
1
|
Współczynniki Clebscha-Gordana są rozwiązaniami równań
czyli
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\langle j_{1},j_{2};m_{1},m_{2}\mid j_{1},j_{2};J,M\rangle \\[6pt]=\ &\delta _{M,m_{1}+m_{2}}{\sqrt {\frac {(2J+1)(J+j_{1}-j_{2})!(J-j_{1}+j_{2})!(j_{1}+j_{2}-J)!}{(j_{1}+j_{2}+J+1)!}}}\\[6pt]\times \ &{\sqrt {(J+M)!(J-M)!(j_{1}-m_{1})!(j_{1}+m_{1})!(j_{2}-m_{2})!(j_{2}+m_{2})!}}\\[6pt]\times \ &\sum _{k}{\frac {(-1)^{k}}{k!(j_{1}+j_{2}-J-k)!(j_{1}-m_{1}-k)!(j_{2}+m_{2}-k)!(J-j_{2}+m_{1}+k)!(J-j_{1}-m_{2}+k)!}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a58557f14f7899b0a0209f7413d16b6077a2830)
Sumowanie przebiega dla liczb k dla których każdy składnik jest nieujemny.
Dla skrócenia zapisu rozwiązania z
oraz
można obliczyć na podstawie prostych zależności
![{\displaystyle \langle j_{1},j_{2};m_{1},m_{2}\mid j_{1},j_{2};J,M\rangle =(-1)^{J-j_{1}-j_{2}}\langle j_{1},j_{2};-m_{1},-m_{2}\mid j_{1},j_{2};J,-M\rangle .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89862d6bb54924b649f886627aa3ebab06e5ef2a)
oraz
![{\displaystyle \langle j_{1},j_{2};m_{1},m_{2}\mid j_{1},j_{2};J,M\rangle =(-1)^{J-j_{1}-j_{2}}\langle j_{2},j_{1};m_{2},m_{1}\mid j_{2},j_{1};J,M\rangle .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/979e3cca91d98030a63ac353ec51b8822a69de03)
- David J. Griffiths, Introduction to Elementary particles, Cambridge University Press, 2008.