Spin (fizyka)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Artystyczna wizja możliwych ustawień wektora spinu względem kierunku pola magnetycznego (tu pole ma kierunek pionowy) dla cząstek o spinie s=5/2 (niebieski) i s=2 (różowy). Na skutek nieoznaczoności kwantowej określone są jedynie stożki możliwych usytuowań wektora spinu

Spinmoment pędu cząstki wynikający z jej natury kwantowej. W klasycznej fizyce moment pędu jest związany z ruchem obrotowym ciał w przestrzeni, spin natomiast nie jest związany z ruchem obrotowym wokół jakiegokolwiek układu w przestrzeni, np. z obrotem cząstki wokół własnej osi. Istnienie spinu wynika z symetrii obrotowej funkcji falowej cząstki obdarzonej spinem względem odpowiedniej grupy obrotów.

Każdy rodzaj cząstek elementarnych ma właściwy siebie spin. Cząstki złożone (np. jądra atomów) mają spin będący sumą wektorową spinów wchodzących w skład jego cząstek elementarnych.

Moment pędu w fizyce klasycznej[edytuj | edytuj kod]

W fizyce klasycznej moment pędu ciała jest związany z jego ruchem obrotowym względem innych ciał lub wokół własnej osi. Np. Ziemia obracając się wokół Słońca ma związany z tym moment pędu. Podobnie, z ruchu obrotowego Ziemi wokół własnej osi wynika istnienie momentu pędu. Początkowo w ten sam sposób wyobrażano sobie spin cząstek. Według klasycznej fizyki, jeżeli cząstka spoczywa i nie obraca się, to musi mieć zerowy moment pędu.

Moment pędu w fizyce kwantowej[edytuj | edytuj kod]

Mechanika kwantowa odkryła, że cząstkom elementarnym trzeba przypisać oprócz zwykłego momentu pędu, znanego w fizyce klasycznej, również inny rodzaj momentu pędu, który jest związany z obrotem w abstrakcyjnej przestrzeni spinowej. Cząstki mające spin mogą więc być w spoczynku i nie obracać się, a jednak zawsze mają spin.

Spin całkowity i połówkowy[edytuj | edytuj kod]

Spin jest opisywany liczbowo za pomocą kwantowych liczb spinowych. Mogą one przyjmować wartości z zakresu \scriptstyle 0,\ \frac{1}{2},\ 1,\ 1\frac{1}{2},\ 2 itd. Cząstki o liczbie spinowej z zakresu 0, 1, 2 itd. przyjęto nazywać cząstkami o spinie całkowitym lub bozonami. Cząstki o liczbie spinowej \scriptstyle \frac{1}{2}, 1\scriptstyle \frac{1}{2}, 2\scriptstyle \frac{1}{2} itd. przyjęto nazywać cząstkami o spinie połówkowym lub fermionami. Termin „cząstka o spinie \scriptstyle \frac{1}{2}” jest skrótem myślowym oznaczającym „cząstkę o liczbie spinowej \scriptstyle \frac{1}{2}”.

Spin neutronu przedstawiony jako czarna strzałka oraz pole magnetyczne związane z momentem magnetycznym neutronu. Neutron ma ujemny moment magnetyczny. Gdy spin neutronu jest skierowany w górę, to linie pola magnetycznego w środku dipola są skierowane w dół

Bozonami są np. bozony W+ i W, bozony Z0 i fotony. Fermionami są np. elektrony, protony i neutrony.

Ściany domen magnetycznych przesuwające się pod wpływem zewnętrznego pola magnetycznego – efekt kolektywnego oddziaływania spinów z polem

Związek spinu ze statystyką[edytuj | edytuj kod]

W dużym zbiorze cząstek tego samego rodzaju wykazują one ciekawe własności statystyczne, wynikające z identyczności cząstek kwantowych. Własności te zależą od spinu.

Np. Gaz złożony z bozonów tego samego rodzaju (np. fotony promieniowania we wnęce pieca) podlega statystyce Bosego-Einsteina. Cząsteczki gazu złożonego z fermionów podlegają statystyce Fermiego-Diraca. Związek ten jest szczególnym przypadkiem ogólnego związku spinu ze statystyką.

W ciele stałym lub cieczy (tj. w fazie skondensowanej) oddziaływanie spinów może prowadzić do zjawiska ferromagnetyzmu. Jest tak dlatego, że cząsteczki mające spin mają jednocześnie różny od zera moment magnetyczny, co oznacza że wytwarzają wokół siebie słabe pole magnetyczne, za pomocą którego oddziałują ze sobą.

Spin fotonu[edytuj | edytuj kod]

Foton jest kwantem energii fali elektromagnetycznej. Z optyki klasycznej wynika, że fale te wykazują zjawisko polaryzacji. W opisie mechaniki kwantowej polaryzacja jest wynikiem spinu fotonu. Wartość liczby spinowej dla fotonu wynosi s=1. Rzut wektora spinu fotonu na kierunek jego propagacji jest równy zeru. Oznacza to, że wektor ten leży w płaszczyźnie prostopadłej do wektora falowego k propagacji fali elektromagnetycznej. Taka własność spinu tłumaczy, dlaczego fale elektromagnetyczne są falami poprzecznymi.

Opis matematyczny spinu 1/2[edytuj | edytuj kod]

Doświadczenie Sterna-Gerlacha pokazało, że pewne cząstki (np. elektrony) w polu magnetycznym przyjmują tylko dwa stany – zgodnie z polem lub przeciwnie do niego. Wynik ten jest sprzeczny z mechaniką klasyczną

Matematycznie spin jest wielkością tensorową wprowadzoną przez mechanikę kwantową. Istnienie spinu wynika z symetrii funkcji falowej danej cząstki względem grupy obrotów. Np. funkcja falowa pionów jest skalarem (ma tylko jedną składową), funkcja falowa elektronów jest spinorem o rzędzie \scriptstyle \frac{1}{2} (zapisuje się ją w postaci wektora o dwóch składowych), zaś funkcja falowa hipotetycznych grawitonów jest tensorem drugiego rzędu (zapisuje się go w postaci macierzy 3×3, ma 9 składowych).

Poniżej omówiony jest przypadek spinu \scriptstyle \frac{1}{2}.

Doświadczalny dowód kwantowania spinu[edytuj | edytuj kod]

Z doświadczeń (analogicznych do doświadczenia Sterna-Gerlacha) wykonanych dla elektronu, protonu czy neutronu otrzymuje się zawsze dwa możliwe stany spinowe – zgodne ze zwrotem pola magnetycznego (stan "w górę") lub przeciwnie (stan "w dół") (zobacz rysunek obok). Wynik ten jest zawsze taki sam, niezależnie od ustawienia kierunku pola magnetycznego. Według przewidywań klasycznej fizyki w doświadczeniu tego typu powinno się otrzymać na wyjęciu z urządzenia pomiarowego rozmytą w miarę jednorodnie plamę, odpowiadającą continuum możliwych ustawień wektora spinu względem pola magnetycznego.

Operatory pomiary spinu w kierunkach x, y, z[edytuj | edytuj kod]

Aby uzasadnić teoretycznie powyżej omówione wyniku eksperymentu Pauli wprowadził operatory spinu S_x, S_y, S_z odpowiadające pomiarom spinu wzdłuż osi x, y, z wybranego układu współrzędnych

S_{i}=\frac{\hbar}{2} \sigma_{i},\, i=x,y,z,

gdzie \sigma_{i}macierzami Pauliego, czyli:

S_x=\frac{\hbar}{2}\begin{pmatrix}0&1\\ 1&0 \end{pmatrix}, S_y=\frac{\hbar}{2}\begin{pmatrix}0&\!\!\!-i\\ i&0 \end{pmatrix}, S_z=\frac{\hbar}{2}\begin{pmatrix}1&0\\ 0&\!\!\!-1 \end{pmatrix}

Zgodnie z formalizmem matematycznym mechaniki kwantowej możliwe wyniki pomiaru oblicza się jako wartości własne operatora, odpowiadającego danemu pomiarowi, działającego na funkcję falową mierzonego układu.

W przypadku pomiaru spinu wynik pomiaru wzdłuż osi z jest jedną z możliwych wartości własnych, obliczoną z działania operatora S_z na spinową funkcję falową |\sigma\rangle (jest to tzw. równanie na wartości własne operatora spinu)

S_z |\sigma\rangle=s_z|\sigma\rangle

gdzie s_z – szukana wartość rzutu spinu na oś z.

Wektor spinu \vec S leży na jednym z dwóch stożków, takich że rzuty spinu \vec S na kierunek pola magnetycznego \vec B mają ściśle określone wartości. Tu pokazano sytuację dla pola \vec B= [0,0,B_z]

Równanie to ma dwa rozwiązania s_z= \scriptstyle -\frac{1}{2} \textstyle \hbar oraz s_z=  \scriptstyle \frac{1}{2} \textstyle \hbar, co oznacza, że rzut wektora spinu na oś z może przyjmować tylko dwie wartości – w górę osi z oraz w dół osi z (ustawienia wektora spinu odpowiadające powyższym rzutom nazywa się w skrócie stanami "w dół" oraz "w górę", mimo że sam wektor spinu nigdy nie ma ustalonego kierunku, lecz leży na stożku (patrz rysunek obok).

Identyczne wyniki pomiary spinu uzyska się dla operatorów S_x,S_y, odpowiadających pomiarom wzdłuż osi x oraz y. Wartość bezwzględna współczynnika stojąca przy wartości \hbar wynosi \scriptstyle \frac{1}{2} . Dlatego cząstki mające własność, że w oddziaływaniu z polem magnetycznym zachowują się jak wyżej opisano, są określane jako cząstki o spinie \scriptstyle \frac{1}{2}. Liczba s= \scriptstyle \frac{1}{2} nosi nazwę spinowej liczby kwantowej.

Operatory S_x,S_y,S_z spełniają reguły komutacyjne (analogicznie jak operatory momentu pędu L_x,L_y,L_z, mierzące składowe momentu pędu w przestrzeni fizycznej lub generatory grupy obrotów)

[ S_x, S_y] = i \hbar S_z
[ S_z, S_x] = i \hbar S_y
[ S_y, S_z] = i \hbar S_x

Operatory te nie komutują ze sobą (tzn. komutatory są \ne 0), co oznacza, że jest możliwe jednoczesne określenie jedynie jednej z tych składowych. Wynik ten jest zgodny z tym, co obserwuje się w doświadczeniach.

Operator pomiaru spinu wzdłuż dowolnego kierunku[edytuj | edytuj kod]

Pauli zdefiniował też operator pomiaru spinu wzdłuż dowolnego kierunku, związanego z dowolnym ustawieniem wektora indukcji pola magnetycznego \vec B . Niech \vec n=\frac{\vec B}{| \vec B|} oznacza wektor jednostkowy zgodny z wektorem\vec B . Wtedy operator pomiaru spinu ma postać:

S_{\vec n}=\vec n\cdot \vec S

gdzie

\vec S =[S_x,S_y,S_z]

jest operatorem wektorowym; jego współrzędnymi są operatory pomiaru spinu w kierunkach x, y, z; operator ten można zapisać w postaci

\vec S =\frac{1}{2}\hbar\vec\sigma

gdzie

\vec\sigma = [\sigma_x,\sigma_y,\sigma_z] jest wektorem złożonym z macierzy Pauliego.

Jeżeli zapisze się wektor \vec n za pomocą współrzędnych sferycznych \theta, \phi, to operator ten przyjmie postać macierzy 2 x 2

S_{\vec n}=\frac{\hbar}{2}\begin{pmatrix}
\text{cos}\,\theta& 
\text{sin}\,\theta\, e^{-i \phi}\\
\text{sin}\,\theta\, e^{i \phi}&
-\text{cos}\, \theta \end{pmatrix},

analogicznie jak operatory S_x,S_y,S_z. Operator ten ma także dwie wartości własne:

 s_{\vec n}=-\frac{1}{2} oraz s_{\vec n}=\frac{1}{2}\hbar .

Powyżej przedstawiony formalizm matematyczny, w którym wielkościom obserwowanym przypisuje się odpowiednie operatory, daje przewidywania teoretyczne zgodne z doświadczeniem, gdyż:

Wykonując pomiary w dowolnym kierunku \vec n (który jest kierunkiem pola magnetycznego) zawsze otrzymuje się tylko dwa różne rzuty spinu na mierzony kierunek. Ten sam wynik przewiduje teoria kwantowa.

Operator wartości spinu[edytuj | edytuj kod]

Oprócz wyżej zdefiniowanych operatorów, można zdefiniować operator kwadratu całkowitego wektora spinu:

S^2=\vec S \cdot\vec S=S_x^2+S_y^2+S_z^2

Podstawiając wyrażenia na operatory S_x,S_y,S_z otrzymuje się:

S^2=\frac{3\,\hbar^2}{4}\begin{pmatrix}1&0\\ 0&1\end{pmatrix}

Na podstawie tego operatora wyznacza się wartość mierzonego spinu - określa ją pierwiastek z średniej wartości operatora S^2 :

\sqrt{\langle S^2\rangle}=\frac{\sqrt{3}}{2}\hbar

Powyższy wynik jest zgodny z ogólnym wzorem na długość wektora momentu pędu o liczbie spinowej s

\sqrt{\langle S^2\rangle}=\hbar\sqrt{s(s+1)}

Podstawiając s=\scriptstyle \frac{1}{2} otrzymuje się wcześniej podany wynik.

Wielkości jednocześnie mierzalne[edytuj | edytuj kod]

Ponieważ operator S^2 wyraża się przez macierz jednostkową, to komutuje z dowolną ze składowych spinu, np.

[S^2,S_x]=0.

„Stożki wektorowe” momentów pędu: całkowitego J (fiolet), orbitalnego L (niebieski) i spinowego S (zielony). Stożki powstają na skutek nieoznaczoności kwantowej składowych tych momentów

Oznacza to, że możliwe jest w tym samym pomiarze zmierzenie długość wektora spinu cząstki wraz z długością jego rzutu na dowolny kierunek; jednak pozostałych dwóch składowych nie można wyznaczyć, gdyż składowe te nie komutują ze sobą. Wynik ten jest wyrazem nieoznaczoności kwantowej, jaka towarzyszy każdemu pomiarowi. W przypadku spinu pomiar pozwala jedynie na określenie stożka, na którym usytuowany jest wektor spinu. Oś tego stożka wyznacza kierunek zewnętrznego pola magnetycznego, a wysokość jest równa wielkości rzutu wektora spinu na kierunek pola.

Składowe operatora spinu \vec S=[S_x,S_y,S_z] komutują ze składowymi operatora pędu \vec p=[p_x,p_y,p_z]. Ponieważ składowe operatora pędu nie komutują ze sobą, podobnie jak składowe spinu, to powyższa własność oznacza, że można zmierzyć jednocześnie tylko jedną z składowych wektora spinu wraz z jedną ze składowych wektora pędu.

Własny moment magnetyczny elektronu[edytuj | edytuj kod]

Istnienie własnego momentu pędu elektronu (spinu) wiąże się z istnieniem własnego momentu magnetycznego elektronu, który jest proporcjonalny do wektora spinu i przeciwnie skierowany

 \vec\mathbf{\mu}_{spin} = -\frac{|e|}{m}\vec S\, ,

gdzie e – ładunek elektronu , m – masa elektronu.

To właśnie wewnętrzny moment magnetyczny elektronu jest odpowiedzialny za oddziaływanie z zewnętrznym polem magnetycznym, w wyniku czego następuje kwantowanie spinu.

Operator wypadkowego momentu pędu[edytuj | edytuj kod]

Każdy elektron w atomie ma dwa momenty magnetyczne: orbitalny \vec L i spinowy \vec S. Wektory te dodają się, tworząc wypadkowy moment pędu \vec J. Rzuty każdego z tych wektorów na odpowiednie osie są skwantowane.

Kwadrat operatora spinu S^2 nie jest niezmiennikiem relatywistycznym. Właściwym operatorem Casimira dla grupy Poincarégo jest kwadrat pseudowektora Pauliego-Lubańskiego, który jest związany z operatorem kwadratu całkowitego momentu pędu L^2. Zaś operator kwadratu spinu S^2 jest przykładem operatora Casimira w teorii algebr Liego, które są związane z grupą obrotów.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • R. L. Liboff: Wstęp do mechaniki kwantowej. Warszawa: PWN, 1987, s. 164–180. ISBN 8301065168.
  • Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu, Frank Laloë: Quantum Mechanics, vol. I. New-York: Wiley, 1991, s. 386–454. ISBN 0-471-16433-1.