Twierdzenie Kołmogorowa o trzech szeregach

Twierdzenie Kołmogorowa o trzech szeregach - twierdzenie w teorii prawdopodobieństwa dotyczące zbieżności szeregów niezależnych zmiennych losowych. Jest to warunek konieczny i dostateczny zbieżności. Twierdzenie to było opublikowane w 1925 w pracy autorstwa Andrieja Kołmogorowa i Aleksandra Chinczyna.

Twierdzenie

Niech $(X_n)_{n\in\mathbb{N}}$ będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych.

Szereg $\sum_{n=0}^{\infty}X_n$ jest zbieżny prawie wszędzie wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje $c\in\mathbb{R},c>0$ takie, że poniższe trzy szeregi są zbieżne:

1. $\sum_{n=0}^{\infty}\operatorname{P}(|X_n|>c)$
2. $\sum_{n=0}^{\infty}\operatorname{Var}(X_n^{(c)})$
3. $\sum_{n=0}^{\infty}\operatorname{E}(X_n^{(c)})$,

gdzie $X_n^{(c)}=\begin{cases}X_n & \text{, gdy } |X_n|\leqslant c \\ 0 & \text{, gdy } |X_n|> c\end{cases}$.

Ponadto, jeżeli szereg $\sum_{n=0}^{\infty}X_n$ jest zbieżny prawie wszędzie, to szeregi 1.,2.,3. są zbieżne dla każdego $c>0$. Zatem zbieżność szeregów 1.,2.,3. dla pewnego $c>0$ implikuje ich zbieżność dla wszystkich $c>0$.

Bibliografia

Jacek Jakubowski, Rafał Sztencel: Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Warszawa: Script, 2004, s. 151. ISBN 83-89716-01-1.