Twierdzenie Kołmogorowa o trzech szeregach

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Twierdzenie Kołmogorowa o trzech szeregach - twierdzenie w teorii prawdopodobieństwa dotyczące zbieżności szeregów niezależnych zmiennych losowych. Jest to warunek konieczny i dostateczny zbieżności. Twierdzenie to było opublikowane w 1925 w pracy autorstwa Andrieja Kołmogorowa i Aleksandra Chinczyna.

Twierdzenie[edytuj | edytuj kod]

Niech (X_n)_{n\in\mathbb{N}} będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych.

Szereg \sum_{n=0}^{\infty}X_n jest zbieżny prawie wszędzie wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje c\in\mathbb{R},c>0 takie, że poniższe trzy szeregi są zbieżne:

  1. \sum_{n=0}^{\infty}\operatorname{P}(|X_n|>c)
  2. \sum_{n=0}^{\infty}\operatorname{Var}(X_n^{(c)})
  3. \sum_{n=0}^{\infty}\operatorname{E}(X_n^{(c)}),

gdzie X_n^{(c)}=\begin{cases}X_n & \text{, gdy } |X_n|\leqslant c \\ 0 & \text{, gdy } |X_n|> c\end{cases}.

Ponadto, jeżeli szereg \sum_{n=0}^{\infty}X_n jest zbieżny prawie wszędzie, to szeregi 1.,2.,3. są zbieżne dla każdego c>0. Zatem zbieżność szeregów 1.,2.,3. dla pewnego c>0 implikuje ich zbieżność dla wszystkich c>0.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

Jacek Jakubowski, Rafał Sztencel: Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Warszawa: Script, 2004, s. 151. ISBN 83-89716-01-1.