Wielomian charakterystyczny układu

Niech dana będzie transmitancja

$G(s)={\frac {b_{n}s^{m}+\ldots +b_{1}s+b_{0}}{s^{n}+a_{n-1}s^{n-1}+\ldots +a_{1}s+a_{0}}}$

i odpowiadające jej równania stanu (dla modelu ciągłego) w postaci:

${\dot {\mathbf {x} }}(t)=\mathbf {Ax} (t)+\mathbf {Bu} (t),$

$\mathbf {y} (t)=\mathbf {Cx} (t)+\mathbf {Du} (t),$

gdzie:

${\dot {\mathbf {x} }}(t)={\frac {d\mathbf {x} (t)}{dt}}.$

Macierze stanu łączy z transmitancją następująca zależność:

$G(s)=\mathbf {C} (s\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1}\mathbf {B} +\mathbf {D} .$

Jeśli transmitancja ma mieć postać ilorazu dwóch wielomianów zmiennej $s,$ to, po pierwsze współczynnik $D$ różny od zera można otrzymać przez podzielenie wielomianów licznika i mianownika, wyłącznie przy równych stopniach tych wielomianów. Po wyłączeniu składnika $D$ (reprezentującego statyczną relację między wejściem a wyjściem) pozostaje część dynamiczna, w której podstawową rolę pełni człon $(s\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1}.$ Jest to macierz o wymiarach $n\times n,$ której wszystkie elementy są dzielone przez wyznacznik $\det(s\mathbf {I} -\mathbf {A} ).$

Wyznacznik macierzy $(s\mathbf {I} -\mathbf {A} )$ jest wielomianem stopnia $n,$ który identyfikujemy z wielomianem stopnia $n$ występującym w mianowniku transmitancji $G(s).$ Jest to właśnie wielomian charakterystyczny układu, a zarazem wielomian charakterystyczny macierzy $\mathbf {A} .$ Stopień wielomianu charakterystycznego równy $n$ jest równy rzędowi układu dynamicznego. Tak więc macierz $\mathbf {A}$ i wielomian charakterystyczny pełnią najważniejszą rolę przy określaniu właściwości dynamicznych układu. Od współczynników $\mathbf {B}$ i $\mathbf {C}$ zależy postać transmitancji, zwłaszcza jej licznika, nie mają one natomiast wpływu na wielomian charakterystyczny.

Zobacz też

• równanie charakterystyczne
• twierdzenie Cayleya-Hamiltona
• wartość własna układu
• wielomian charakterystyczny