Przestrzeń euklidesowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Ten artykuł dotyczy struktury algebraicznej. Zobacz też: przestrzeń euklidesowa w ujęciu geometrii syntetycznej.

Przestrzeń euklidesowaprzestrzeń opisywana przez geometrię euklidesową. Model ten stanowi dobre przybliżenie przestrzeni fizycznej, jeśli za jej pomocą opisuje się odległości makroskopowe.

Nie nadaje się do opisu przestrzeni fizycznej w odległościach bardzo małych, atomowych, gdy rolę zaczynają odgrywać efekty kwantowe lub w pobliżu masywnych obiektów astronomicznych, jak Słońce, czarne dziury - gdy rolę zaczynają grać efekty zakrzywienia przestrzeni i geometria staje się nieeuklidesowa.

Jednowymiarową przestrzeń euklidesową nazywa się prostą euklidesową, a dwuwymiarową – płaszczyzną euklidesową.

Przestrzenie euklidesowe nazywa się również afinicznymi przestrzeniami euklidesowymi, w odróżnieniu od liniowych przestrzeni euklidesowych, nazywanych też przestrzeniami unitarnymi.

Kluczową własnością przestrzeni euklidesowych jest ich „płaskość”. W geometrii wyróżnia się inne przestrzenie, które nie są euklidesowe. Np. sfera jest przestrzenią nieeuklidesową, gdyż kąty trójkąta na sferze sumują się do wartości większej niż 180 stopni, inaczej iż na płaszczyźnie euklidesowej.

Geometria rozważa przestrzenie wielowymiarowe. Dla danej liczby naturalnej n istnieje dokładnie jedna przestrzeń euklidesowa o wymiarze n, zaś przestrzeni nieeuklidesowych wymiaru n jest nieskończenie wiele. Te ostatnie można konstruować np. poprzez deformację przestrzeni euklidesowej.

Podejście klasyczne do geometrii[edytuj]

 Osobny artykuł: geometria euklidesowa.

Ok. 300 p.n.e. grecki matematyk Euklides badał własności geometryczne na płaszczyźnie (wyidealizowanej powierzchni) i w przestrzeni i stworzył podwaliny pod geometrię dwu- i trójwymiarową. Geometrie te nazwano z czasem geometriami euklidesowymi.

Euklides sformułował geometrię następującoː

(1) Niektóre pojęcia przyjął bez definicji, odwołując się do intuicji (są to tzw. pojęcia pierwotne geometrii)ː

(2) Wszystkie inne pojęcia, takie jak kąt, odcinek, półprosta, okrąg itp., zdefiniował odwołując się do pojęć pierwotnych i aksjomatów.

Euklides przyjął, że punkt, prosta, płaszczyzna i przestrzeń mają wymiar równy kolejno: zero, jeden, dwa, trzy. Geometrię można rozszerzać wprowadzając nowe pojęcia pierwotne (obok pojęć punktu, prostej i płaszczyzny) oraz wprowadzając relacje należenia obiektów „mniejszych” w „większych”, przy czym miarą jest tu wymiar obiektu.

Rozwijanie geometrii w powyżej omówiony sposób czasem okazuje się problematyczne - gdyż niekiedy trudno jest spójnie definiować kolejne pojęcia pierwotne i zależności między nimi. Z tego powodu dziś zamiast odwoływać się do niezupełnego systemu Euklidesa korzysta się z algebry i analizy (zobacz geometria syntetyczna, geometria analityczna).

Grupa przekształceń obiektów geometrycznych[edytuj]

W geometrii Euklidesa istnieją trzy zasadnicze przekształcenia płaszczyzny:

Dwie figury (tzn. podzbiory płaszczyzny) definiuje się jako równoważne (przystające), jeżeli jedna z nich może być przekształcona w drugą za pomocą przesunięć, obrotów i odbić.

Obroty, przesunięcia i translacje tworzą grupę przekształceń.

Aby uzyskać precyzyjną opis geometryczny powyżej omówionych przekształceń trzeba zdefiniować takie pojęcia jak: długość, odległość, równoległość (przesunięcie równoległe), prostopadłość, kąt, obrót, odbicie.

Współczesna definicja płaszczyzny euklidesowej[edytuj]

Współcześnie płaszczyznę euklidesową definiuje się jako dwuwymiarową rzeczywistą przestrzeń afiniczną uzupełnioną oiloczyn skalarny. W takim ujęciu płaszczyzna euklidesowa jest traktowana jako zbiór punktów, których wzajemnie zależności da się wyrazić jedynie za pomocą pojęć odległości i kąta. Przy tymː

  • punkty przestrzeni afinicznej odpowiadają punktom płaszczyzny euklidesowej,
  • wektory stowarzyszonej z przestrzenią afiniczną przestrzeni liniowej odpowiadają przesunięciom,
  • iloczyn skalarny wprowadza pojęcia kąta i odległości, które umożliwiają zdefiniowanie obrotu.

Opisanie płaszczyzny euklidesowej w ten sposób sprawia, że rozszerzenie geometrii na dowolne wymiary jest proste: definicje pojęć, wzory i obliczenia nie stają się wówczas znacząco trudniejsze (jedyną trudnością mogą być obroty w wyższych wymiarach oraz wizualizacja takich przestrzeni – trudna nawet dla doświadczonych matematyków).

Dzisiejsza matematyka umożliwia łatwe uogólnienie pojęć odległości i kąta na cztero-, pięcio-, a nawet więcej wymiarowe przestrzenie (nazywane hiperprzestrzeniami).

Często w rozważaniach geometrycznych pomija się mówienie o przestrzeni afinicznej, koncentrując opis na przestrzeni liniowej, która ma ustalony punkt początkowy. Np przedstawiony dalej model przestrzeni współrzędnych, prowadzący do modelu przestrzeni kartezjańskiej, ma naturalny wybór początku. Jednak przestrzeń afiniczną można zawsze wprowadzić w danej przestrzeni liniowej poprzez pominięcie wskazania jej punktu początkowego.

Dalsza część artykułu poświęcona jest współczesnemu ujęciu geometrii, niezbędnemu przy uogólnianiu geometrii Euklidesa na wyższe wymiary.

Definicja przestrzeni euklidesowej wymiaru n[edytuj]

Niech dana będzie przestrzeń liniowa wymiaru nad ciałem liczb rzeczywistych , w której określony jest standardowy iloczyn skalarny (nazwany euklidesowym). Przestrzeń afiniczną nazywa się wówczas przestrzenią euklidesową wymiaru

Definicja metryki euklidesowej[edytuj]

Skalarami nazywamy elementy ciała ; skalary będą oznaczane literami pochylonymi, np.

Punktami nazywamy elementy przestrzeni ; punkty będą oznaczane literami prostymi, np.

wektorami nazywamy elementy przestrzeni ; wektory będą oznaczane literami półtłustymi, np. lub dwoma literami prostymi ze strzałką nad nimi, np. lub literami prostymi połączonymi znakiem odejmowania; np. oznacza wektor łączący punkt z punktem .

Znak oznacza iloczyn skalarny wektorów.

Normą euklidesową wektora nazywamy pierwiastek z iloczynu skalarnego tego wektora, tj.

Metryką (odległością) euklidesową punktów przestrzeni nazywamy normę wektora łączącego te punkty, tj.

Metryką między podprzestrzeniami nazywamy najmniejszą odległość między punktami tych podprzestrzeni, tj.

Przestrzeń współrzędnych rzeczywistych[edytuj]

Każdy punkt trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej jest wyznaczony przez trzy współrzędne.

Niech oznacza ciało liczb rzeczywistych. Dla dowolnej liczby naturalnej przestrzeń wszystkich -elementowych ciągów liczb rzeczywistych jest przestrzenią liniową nad oznaczaną i nazywaną przestrzenią współrzędnych rzeczywistych. Co więcej, jest przestrzenią afiniczną nad samą sobą, dlatego wektory przestrzeni liniowej i punkty przestrzeni afinicznej utożsamia się zwykle w naturalny sposób. Jeżeli tak nie jest, punkty i wektory z należy odróżniać; wówczas punkty zapisuje się zwykle w nawiasach okrągłych,

[1],

a wektory w kwadratowych,

[1],

gdzie wszystkie współrzędne oraz są rzeczywiste.

Dodawanie wektorów, mnożenie przez skalar[edytuj]

Dodawanie wektorów w przestrzeni liniowej zdefiniowane jest wzorem

a mnożenie wektora przez skalar wzorem

Dodawanie wektora do punktu[edytuj]

Dodawanie wektora o punktu jest działaniem określonym w przestrzeni afinicznej . W wyniku tego działania otrzymuje się inny punkt. Działanie to definiuje się je następującoː

Baza przestrzeni liniowej [edytuj]

Przestrzeń liniowa ma naturalną bazę nazywaną standardową (lub kanoniczną):

w której dowolny wektor może być zapisany jednoznacznie w postaci

Przestrzeń jest w związku z tym przykładem szerszej klasy przestrzeni z układem współrzędnych kartezjańskich, w których dowolny punkt można jednoznacznie identyfikować z jego współrzędnymi.

Wybór punktu początkowego przestrzeni[edytuj]

Przestrzeń afiniczną można przekształcić w przestrzeń liniową poprzez wybór punktu początkowego takiego żeː

Z tego powodu współrzędne punktu

pokrywają się zwykle ze współrzędnymi odpowiadającego mu wektora

(Proszę zwrócić uwagę, iż symbolika punktu różni się - nieznacznie - od symboliki wektora ).

Przestrzeń z wyżej omówioną strukturą jest prototypem -wymiarowej rzeczywistej przestrzeni liniowej. Istotnie, każda -wymiarowa rzeczywista przestrzeń liniowa jest izomorficzna z Wspomniany izomorfizm nie jest jednak kanoniczny, jego wybór jest równoważny wyborowi bazy w Czasami jednak zamiast w wygodniej jest pracować w abstrakcyjnych przestrzeniach liniowych. Umożliwia to pracę w przestrzeni pozbawionej współrzędnych (tzn. bez wyboru bazy).

Konstrukcja przestrzeni euklidesowej [edytuj]

Przestrzeń euklidesowa jest strukturą bogatsza niż przestrzeń współrzędnych rzeczywistych. Mianowicie, przestrzeń euklidesową jest przestrzenią współrzędnych rzeczywistych wyposażoną dodatkowo w geometrię (geometrię euklidesową) poprzez zdefiniowanie odległości między punktami i kątów między prostymi czy wektorami.

Definicja iloczynu skalarnego w [edytuj]

Aby wprowadzić pojęcia długości i kątów najpierw definiuje się standardowy (euklidesowy) iloczyn skalarny w za pomocą wzoruː

Definicja długości wektora w [edytuj]

Iloczyn skalarny jest liczbą rzeczywistą. Co więcej, iloczyn skalarny wektora przez siebie jest zawsze nieujemny, co pozwala na zdefiniowanie długości wektora jako

Długość wektora spełnia własności normy i jest nazywana normą euklidesową wektora na

Definicja kąta w [edytuj]

Kąt wypukły tzn. między wektorami oraz definiuje się jako

gdzie oznacza funkcję arcus cosinus.

Definicja metryki w [edytuj]

Wreszcie można za pomocą normy zdefiniować na metrykę (funkcję odległości):

nazywaną metryką euklidesową. Może być ona postrzegana jako forma twierdzenia Pitagorasa i stanowi ona przypadek szczególny tzw. odległości Mahalanobisa. Metryka euklidesowa jest również przypadkiem szczególnym (z parametrem ) szerszej klasy metryk wyznaczanych przez tzw. metrykę Minkowskiego.

Przestrzeń kartezjańska[edytuj]

Podsumowując: przestrzeń współrzędnych rzeczywistych wraz ze strukturą euklidesową nazywana jest przestrzenią kartezjańską; oznacza się ją często symbolem lub Wielu autorów[2] oznacza ją jednak symbolem i nazywa przestrzenią euklidesową (choć jest to tylko jeden z jej modeli) definiując strukturę euklidesową lub nawet zakładając istnienie nie wspominając o innych przestrzeniach o geometrii euklidesowej. Przestrzeń kartezjańska jest wygodnym modelem przestrzeni euklidesowej – ułatwia ona zapis twierdzeń geometrycznych umożliwiając ich zapis jako działania na liczbach rzeczywistych i odejście od używania metod geometrycznych na rzecz metod algebry liniowej czy analizy matematycznej. Wspomniany sposób uprawiania geometrii nazywa się geometrią analityczną. Struktura euklidesowa czyni z przestrzeń unitarną (a nawet przestrzeń Hilberta), unormowaną przestrzeń liniową oraz przestrzeń metryczną. Ponadto jest ona rozmaitością riemannowską.

Każda przestrzeń kartezjańska jest przestrzenią ortogonalną z dodatnio określoną formą dwuliniową. Wygodnym narzędziem pozwalającym stwierdzić, czy daną przestrzeń ortogonalną można wyposażyć w strukturę euklidesową (zatem czy forma dwuliniowa jest iloczynem skalarnym) jest kryterium Sylvestera.

W szerszym znaczeniu przestrzeń kartezjańska - to przestrzeń będąca iloczynem kartezjańskim zbiorów (klas)[3].

Przykłady[edytuj]

Do najprostszych przykładów zaliczają się opisane wyżej przestrzenie kartezjańskie, wśród nich

  • prosta euklidesowa,
    w których punkty i wektory utożsamia się z liczbami rzeczywistymi, kąt między dowolnymi dwoma wektorami o początku w zerze jest równy (punkty je wyznaczające leżą po jednej stronie zera) lub (punkty te leżą po przeciwnej stronie zera, tzw. liczby przeciwne), a norma wektora to wartość bezwzględna liczby, zaś metryka to bezwzględna różnica dwóch liczb;
  • płaszczyzna euklidesowa
    • postrzegana jako dwuwymiarowa przestrzeń afiniczna nad liczbami rzeczywistymi z określoną analogicznie strukturą euklidesową lub
    • płaszczyzna zespolona, gdzie punkty i wektory to liczby zespolone, kąt między nimi dany jest jako różnica ich argumentów, długość (norma) to moduł liczby zespolonej z naturalnie określoną metryką (jako moduł różnicy).

Oprócz przestrzeni kartezjańskich istnieją również inne przestrzenie euklidesowe, np. przestrzeń wielomianów stopnia nie większego niż dwa zmiennej rzeczywistej z iloczynem skalarnym

Własności topologiczne[edytuj]

Ponieważ przestrzeń ma strukturę metryczną, to jest ona przestrzenią topologiczną z topologią indukowaną przez metrykę euklidesową. Topologia ta nazywana jest topologią euklidesową. Topologia ta jest równoważna z topologią produktową kopii prostej rzeczywistej ze standardową (a więc euklidesową) topologią.

Zbiór w jest otwarty wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera kulę otwartą wokół każdego swojego punktu. Rodzina wszystkich kul otwartych o wymiernych promieniach i środkach w punktach o wymiernych współrzędnych, tworzy bazę tej przestrzeni. Dlatego też jest przestrzenią o bazie przeliczalnej i ma ciężar

Przestrzeń jest zupełna i ośrodkowa, rolę ośrodka (przeliczalnego podzbioru gęstego) może pełnić np. zbiór punktów o współrzędnych wymiernych. Dodatkowo istnieje prosta charakteryzacja zbiorów zwartych – są to zbiory domknięte i ograniczone w tej przestrzeni. Dowolny otwarty zbiór spójny tej przestrzeni jest łukowo spójny.

Ważnym wynikiem dotyczącym topologii jest nietrywialne twierdzenie Brouwera o niezmienniczości obszaru: dowolny podzbiór (z topologią podprzestrzeni), który jest homeomorficzny z innym otwartym podzbiorem , jest otwarty. Konsekwencją tego jest, że przestrzeń nie jest homeomorficzna z o ile – jest to twierdzenie intuicyjnie „oczywiste”, jednak trudne do dowiedzenia w inny sposób.

Wiele własności przestrzeni euklidesowych zależy od ich wymiaru, np. w przestrzeni nietrójwymiarowej każdy węzeł jest trywialny (tzn. homeomorficzny z okręgiem).

Uogólnienia[edytuj]

Rozmaitość różniczkowa[edytuj]

Przestrzenie euklidesowe traktuje się we współczesnej matematyce jako prototypy bardziej skomplikowanych obiektów geometrycznych. Np. rozmaitość różniczkowa to przestrzeń topologiczna Hausdorffa, która jest lokalnie dyfeomorficzna z przestrzenią euklidesową. Dyfeomorfizmy nie zachowują odległości ani kątów, tak więc w rozmaitościach różniczkowych brak tych kluczowych pojęć geometrii euklidesowej.

Rozmaitość riemannowska[edytuj]

Jednak jeżeli dodatkowo zdefiniuje się na przestrzeni stycznej rozmaitości iloczyn skalarny, który zmienia się w sposób gładki, to uzyskaną przestrzeń nazywa się rozmaitością riemannowską. Rozmaitość riemannowską można otrzymać przez deformację i sklejanie fragmentów przestrzeni euklidesowej. Są więc tu obecne pojęcia odległości oraz kąta, choć przestrzeń ma zakrzywioną, nieeuklidesową naturę. Najprostsza rozmaitość riemannowska jest przestrzenią o stałym iloczynie skalarnym – czyli jest -wymiarową przestrzenią euklidesową.

Rozmaitość pseudoriemannowska[edytuj]

1) Jeżeli przekształcić iloczyn skalarny przestrzeni euklidesowej tak, by mógł on być ujemny w jednym lub większej liczbie kierunków, to taką przestrzeń nazywa się przestrzenią pseudoeuklidesową.

2) Rozmaitości różniczkowe homeomorficzne z takimi przestrzeniami nazywa się rozmaitościami pseudoriemannowskimi. Być może najsławniejsze ich zastosowanie jest w teoria względności: a) Pusta czasoprzestrzeń bez materii reprezentowana jest przez płaską przestrzeń pseudoeuklidesową, którą nazywa się przestrzenią Minkowskiego. b) Czasoprzestrzenie zawierające materię tworzą rozmaitości pseudoriemannowskie, mające lokalnie różne krzywizny (por. Przestrzeń euklidesowa a przestrzeń fizyczna poniżej).

Geometria różniczkowa[edytuj]

Dowolna przestrzeń euklidesowa jest rozmaitością riemannowską ze standardowym iloczynem skalarnym, a więc i jest rozmaitością różniczkową.

Prosta euklidesowa ma w każdym punkcie zerową krzywiznę oraz zerowe skręcenie. Płaszczyzna euklidesowa ma w każdym punkcie zerową krzywiznę Gaussa, co więcej: każdy punkt płaszczyzny euklidesowej jest punktem spłaszczenia. Krzywymi geodezyjnymi na płaszczyźnie euklidesowej są proste (euklidesowe).

Przestrzeń euklidesowa a przestrzeń fizyczna[edytuj]

Przestrzeń euklidesowa stanowi dobry model do opisu rzeczywistej przestrzeni fizycznej w warunkach makroskopowych, jednak nie nadaje się np. do opisu rzeczywistości w wielkich, astronomicznych odległościach. Fakt ten jest uwzględniany w modelach kosmologicznych, opisujących Wszechświat jako całość. Także przestrzeń fizyczna, opisywana przez ogólną teorię względności, nie jest euklidesowa w pobliżu obiektów astronomicznych o dużych masach jak Słońce czy czarne dziury - w pobliżu takich mas przestrzeń ulega zakrzywieniu, a geodezyjne w tej przestrzeni są wyznaczane przez tory promieni światła. Nieeuklidesowość musi być również uwzględniona w nawigacji satelitarnej czy nawigacji lotniczej.

Bibliografia[edytuj]

Zobacz też[edytuj]

Przypisy

  1. a b W algebrze liniowej punkty i wektory zapisuje się często w notacji macierzowej, tzn. w postaci wektorów kolumnowych, czyli macierzy postaci oraz lub poziomo, z wykorzystaniem transpozycji, oraz dla odpowiednio punktów i wektorów.
  2. Walter Rudin: Podstawy analizy matematycznej. Warszawa: 2005, s. 18-19.
  3. Alfred Tarski, Steven R. Givant: A formalization of set theory without variables. AMS Bookstore, 1987, s. 3. ISBN 0821810413, 9780821810415.