Aksjomat podzbiorów

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Aksjomat podzbiorów, aksjomat wyróżniania, aksjomat wycinania – jeden z aksjomatów teorii mnogości w ujęciu Zermela-Fraenkla[1]. Wprowadzony do pierwszej aksjomatyki teorii mnogości przez Zermela w roku 1908. W pierwotnej postaci wzbudzał wiele kontrowersji; współczesna postać pochodzi od Skolema.

Aksjomat stwierdza:

Dla danego predykatu P z jedną zmienną, niezawierającego symbolu B:

Czyli każde wskazanie elementów dowolnego zbioru A formułą P jest pewnym zbiorem (zawartym w A).

W istocie nie jest on jednym aksjomatem, lecz schematem aksjomatów, tzn. mamy do czynienia z nieskończonym zbiorem aksjomatów. Każdej formule odpowiada osobny aksjomat.

Zależność od pozostałych aksjomatów[edytuj | edytuj kod]

Zdefiniujmy predykat funkcyjny

Aksjomat pary potwierdza istnienie zbioru natomiast zbiór wynika wprost z aksjomatu zbioru pustego, co dowodzi słuszności definicji predykatu. Zgodnie z aksjomatem zastępowania każdy predykat funkcyjny posiada swój obraz, co dowodzi istnienia rodziny zbiorów z czego mocą aksjomatu sumy wynika istnienie zbioru

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. I. Dziubiński, T. Świątkowski: Poradnik matematyczny Część 1. Wyd. IV. s. 34. ISBN 83-01-04121-8. (pol.)