Analiza wymiarowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Ten artykuł dotyczy dotyczy fizyki. Zobacz też: analiza wymiarowa konstrukcji.

Analiza wymiarowa jest narzędziem powszechnie stosowanym w fizyce, chemii oraz inżynierii (głównie mechanicznej oraz chemicznej), opartym na teorii podobieństwa, stosowanym do wyznaczania warunków podobieństwa dynamicznego poprzez analizę wielkości fizycznych charakteryzujących dane zjawisko.

Przykład[edytuj]

Każdą zależność funkcyjną (nieznaną) można zapisać jako funkcję kilku parametrów fizycznych (niezależnych, np. temperatura, czas itp.), z których każdy posiada swój wymiar (w układzie SI będzie to np. metr lub sekunda). Najprostszy taki przypadek (spadek ciśnienia w przewodzie) można wyrazić jako funkcję długości przewodu (), średnicy przewodu (), prędkości płynu (), lepkości dynamicznej płynu () oraz gęstości płynu ():

Założone parametry mają następujące wymiary:

Każdą taką funkcję można wyrazić w postaci potęgowej:

gdzie litery od do oznaczają stałe.

Zgodnie z zasadą zgodności wymiarowej, wartość po lewej stronie równania musi równać się wartości po prawej stronie równania. Przyjmując, że wymiarem ciśnienia jest równanie przyjmuje postać:

Z porównania wykładników potęgowych wymiarów po lewej oraz po prawej stronie równania powstaje układ trzech równań:

dla

Jest to układ trzech równań z pięcioma niewiadomymi. Można go rozwiązać, przyjmując dwie z pięciu wartości za znane (np. oraz ).

Ostateczna postać wzoru:

gdzie Re – liczba Reynoldsa, Eu – liczba Eulera

Twierdzenie Buckinghama[edytuj]

Twierdzenie Buckinghama (znany również jako twierdzenie Π) mówi, że liczba modułów bezwymiarowych równa jest liczbie niezależnych parametrów fizycznych pomniejszonych o liczbę wymiarów podstawowych (metr, sekunda, kilogram, kelwin, amper, kandela).

Równanie o n zmiennych, można zapisać w postaci:

Jeżeli liczbę parametrów podstawowych występującym w tym równaniu oznaczymy przez r, to zgodnie z teorematem Π liczba modułów bezwymiarowych będzie równa n-r, co można zapisać:

W omówionym przykładzie liczba parametrów niezależnych (n) równa jest 6, liczba wartości podstawowych występującym w tym równaniu (r) jest równa 3 (m, kg, s) tak więc liczba modułów bezwymiarowych (Π) równa jest 3.

Zobacz też[edytuj]