Twierdzenie Buckinghama

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Twierdzenie Buckinghama znane też jako twierdzenie pi (twierdzenie Π) jest kluczowym prawem stosowanym w analizie wymiarowej. Twierdzenie wprowadził E. Buckingham w 1914 roku.

Stwierdza ono, że:

jeżeli mamy jakieś równanie opisane przez pewną liczbę niezależnych parametrów fizycznych (n) to równanie to możemy wyrazić przy pomocy modułów bezwymiarowych, których liczba równa jest liczbie tych parametrów fizycznych pomniejszonych o wymiary podstawowe.

Jeżeli mamy równanie będące funkcją n parametrów niezależnych to możemy je zapisać w postaci:

gdzie są zmiennymi niezależnymi.

Możemy je zapisać w postaci funkcji modułów bezwymiarowych:

gdzie są modułami bezwymiarowymi.

Jeżeli liczbę modułów bezwymiarowych oznaczymy m, a liczbę wymiarów podstawowych r to liczba modułów bezwymiarowych równa się m = n – r.

Każdy taki moduł może być przedstawiony w postaci:

gdzie – stałe

Interpretacja[edytuj]

Interpretacja twierdzenia pi opiera się na pojęciach przestrzeni metrycznej i przestrzeni wektorowej.

Twierdzenie to traktuje jednostki fizyczne (podstawowe i ich pochodne) jako wektory w przestrzeni wektorowej, a jednostki podstawowe jako wektory bazowe.

Jeżeli mamy układ złożony z n jednostek fizycznych, w tym m jednostek podstawowych, to otrzymamy macierz wymiarową złożoną z m wierszy i n kolumn, którą możemy zapisać jako układ:

Rząd tej macierzy (A) jest równy lub mniejszy niż m (rząd oznaczmy przez r):

Jeżeli r<n oznacza to, że układ ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od n-r parametrów. Układ taki można zapisać:

Zmienne są niezależne (to znaczy, że żadnej z nich nie da się wyrazić jako kombinacji liniowej innej), a to parametry.

Z algebry liniowej wiadomo, że dowolną kolumnę , gdzie r<k<n, można przedstawić jako kombinację liniową pierwszych r kolumn :

gdzie to stałe będące liczbami rzeczywistymi.

Z układu r równań można obliczyć r niewiadomych.

Pozostałe zmienne (, gdzie r<k<n) można przedstawić w postaci bezwymiarowej dzieląc każdą z nich przez kombinację r pierwszych zmiennych:

Wtedy układ równań przyjmuje postać:

W układzie tym jedynie zmienne posiadają wymiar. Nie da się ich przedstawić w postaci bezwymiarowej ponieważ z założenia są niezależne wymiarowo. Ponieważ każde równanie fizyczne musi być jednorodne wymiarowo zmienne te muszą zostać usunięte z równania.

Układ równań przyjmuje nową formę (wszystkie zmienne przedstawione są w nim w postaci bezwymiarowej):

Liczba modułów bezwymiarowych, przy pomocy której da się wyrazić równanie równa jest n-r

Zobacz też[edytuj]

Literatura[edytuj]

  • Buckingham E., On physically similar systems; illustrations of the use of dimensional equations. Phys. Rev. 4, 345-376 (1914).
  • Buckingham E., The principle of similitude. Nature 96, 396-397 (1915).
  • Buckingham E., Model experiments and the forms of empirical equations. Trans. A.S.M.E. 37, 263-296 (1915).