Twierdzenie Buckinghama

Twierdzenie Buckinghama znane też jako twierdzenie pi (twierdzenie Π) jest kluczowym prawem stosowanym w analizie wymiarowej. Twierdzenie wprowadził E. Buckingham w 1914 roku.

Stwierdza ono, że:

jeżeli mamy jakieś równanie opisane przez pewną liczbę niezależnych parametrów fizycznych (n) to równanie to możemy wyrazić przy pomocy modułów bezwymiarowych, których liczba równa jest liczbie tych parametrów fizycznych pomniejszonych o wymiary podstawowe.

Jeżeli mamy równanie będące funkcją n parametrów niezależnych to możemy je zapisać w postaci:

f(Q_{1},Q_{2},Q_{3},\ldots ,Q_{n})=0,

gdzie $Q_{1}\ldots Q_{n}$ są zmiennymi niezależnymi.

Możemy je zapisać w postaci funkcji modułów bezwymiarowych:

f(\pi _{1},\pi _{2},\ldots ,\pi _{m})=0,

gdzie $\pi _{1}\ldots \pi _{n-r}$ są modułami bezwymiarowymi.

Jeżeli liczbę modułów bezwymiarowych oznaczymy m, a liczbę wymiarów podstawowych r to liczba modułów bezwymiarowych równa się m = n – r.

Każdy taki moduł może być przedstawiony w postaci:

\pi =Q_{1}^{a_{1}}\,Q_{2}^{a_{2}}\ldots Q_{n}^{a_{n}},

gdzie $a_{1}\ldots a_{i}$ – stałe.

Interpretacja

Interpretacja twierdzenia pi opiera się na pojęciach przestrzeni metrycznej i przestrzeni wektorowej.

Twierdzenie to traktuje jednostki fizyczne (podstawowe i ich pochodne) jako wektory w przestrzeni wektorowej, a jednostki podstawowe jako wektory bazowe.

Jeżeli mamy układ złożony z n jednostek fizycznych, w tym m jednostek podstawowych, to otrzymamy macierz wymiarową złożoną z m wierszy i n kolumn, którą możemy zapisać jako układ:

f(Q_{1},Q_{2},Q_{3},\ldots ,Q_{n})=0.

Rząd tej macierzy (A) jest równy lub mniejszy niż m (rząd oznaczmy przez r):

R(A)=r\leqslant m.

Jeżeli r<n oznacza to, że układ ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od n-r parametrów. Układ taki można zapisać:

f(Q_{1},Q_{2},Q_{3},\ldots ,Q_{r},Q_{k_{1}},\ldots ,Q_{k_{n-r}})=0.

Zmienne $Q_{1}\ldots Q_{r}$ są niezależne (to znaczy, że żadnej z nich nie da się wyrazić jako kombinacji liniowej innej), a $Q_{k_{1}}\ldots Q_{k_{n-r}}$ to parametry.

Z algebry liniowej wiadomo, że dowolną kolumnę $Q_{k},$ gdzie r<k<n, można przedstawić jako kombinację liniową pierwszych r kolumn:

Q_{k}=Q_{1}^{b_{1}}\cdot Q_{2}^{b_{2}}\ldots Q_{r}^{b_{r}},

gdzie $b_{1}\ldots b_{r}$ to stałe będące liczbami rzeczywistymi.

Z układu r równań można obliczyć r niewiadomych.

Pozostałe zmienne ( $Q_{k},$ gdzie r<k<n) można przedstawić w postaci bezwymiarowej dzieląc każdą z nich przez kombinację r pierwszych zmiennych:

\pi _{i}={\frac {Q_{k_{i}}}{Q_{1}^{b_{1}}\cdot Q_{2}^{b_{2}}\ldots Q_{r}^{b_{r}}}}.

Wtedy układ równań przyjmuje postać:

f(Q_{1},Q_{2},Q_{3},\ldots ,Q_{r},\pi _{1},\ldots ,\pi _{n-r})=0.

W układzie tym jedynie zmienne $Q_{1}\ldots Q_{r}$ posiadają wymiar. Nie da się ich przedstawić w postaci bezwymiarowej ponieważ z założenia są niezależne wymiarowo. Ponieważ każde równanie fizyczne musi być jednorodne wymiarowo zmienne te muszą zostać usunięte z równania.

Układ równań przyjmuje nową formę (wszystkie zmienne przedstawione są w nim w postaci bezwymiarowej):

f(\pi _{1},\ldots ,\pi _{n-r})=0.

Liczba modułów bezwymiarowych, przy pomocy której da się wyrazić równanie równa jest n-r.

Zobacz też

Literatura

Buckingham E., On physically similar systems; illustrations of the use of dimensional equations. Phys. Rev. 4, 345-376 (1914).
Buckingham E., The principle of similitude. Nature 96, 396-397 (1915).
Buckingham E., Model experiments and the forms of empirical equations. Trans. A.S.M.E. 37, 263-296 (1915).