Zbiory rozłączne

Zbiory rozłączne – dwa zbiory niemające wspólnego elementu; innymi słowy ich część wspólna jest zbiorem pustym^[1]^[2]:

A)(B:\Leftrightarrow A\cap B=\emptyset .

Rozłączność to przykład relacji binarnej między zbiorami. Definiuje się nią dychotomie i wieloargumentową relację rozłączności parami opisaną dalej. Ta ostatnia definiuje rozbicie zbioru – uogólnienie dychotomii.

Przykłady

Pary zbiorów rozłącznych:

Pary zbiorów nierozłącznych, tj. przecinających się:

owoce i warzywa – pomidor przedstawia obie grupy;
humaniści i ścisłowcy – Mikołaj Kopernik zajmował się jednocześnie filologią i astronomią;
nobliści różnych dziedzin – Maria Skłodowska-Curie otrzymała nagrody z fizyki i chemii;
liczby parzyste i liczby pierwsze – liczba 2 należy do obydwu klas;
funkcje parzyste i nieparzyste – funkcja stała równa zeru ma obie własności;
rodziny zbiorów otwartych i domkniętych – zbiór pusty to przykład zbioru otwarto-domkniętego.

Rozłączność parami

W przypadku więcej niż dwóch zbiorów stosuje się pojęcie zbiorów rozłącznych parami. Rodzinę zbiorów $(A_{i})_{i\in I}$ nazywa się rodziną zbiorów parami rozłącznych, jeśli każde dwa różne zbiory tej rodziny są rozłączne:

i\neq j\implies A_{i}\cap A_{j}=\varnothing .

Przykłady takich rodzin:

rodzina przedziałów $\{[n,n+1):n\in N\}$ – żadne dwa przedziały z tej rodziny nie zawierają tej samej liczby;
rodzina prostych na płaszczyźnie równoległych do ustalonej prostej – żadne dwie różne proste równoległe nie mają punktu wspólnego;
rodzina zbiorów postaci $A_{p}=\{p^{i}:i=1,2\dots \}$ gdzie $p$ jest liczbą pierwszą – każde dwa zbiory $A_{p},A_{q}$ dla różnych liczb pierwszych $p,q$ są rozłączne.

Jeżeli $(A_{i})_{i\in I}$ jest rodziną zbiorów parami rozłącznych, to jej przekrój $\bigcap _{i\in I}A_{i}$ jest zbiorem pustym. Wynikanie w drugą stronę – czyli twierdzenie odwrotne – nie zachodzi; przykładem jest rodzina $\{[n,n+1]:n\in \mathbb {N} \}.$