Czworobok zupełny

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Czworobok zupełnyfigura geometryczna na płaszczyźnie złożona z czterech prostych, z których żadne trzy nie mają wspólnego punktu, ważna dla geometrii rzutowej.

Czworobok zupełny z zaznaczonymi prostymi przekątnymi (linie przerywane), punktami przekątnymi (białe kółka) i pomarańczową linią łączącą środki odcinków prostych przekątnych wyznaczonych przez wierzchołki czworoboku

Nazewnictwo[edytuj]

Proste, z których składa się czworobok zupełny, nazywamy jego bokami, a sześć punktów ich przecięcia – wierzchołkami. Trzy proste, które nie są bokami, a które przechodzą przez dwa wierzchołki czworoboku nazywamy prostymi przekątnymi, a punkty ich przecięcia to punkty przekątne.

Własności[edytuj]

  • Na każdej prostej przekątnej leżą dwa wierzchołki czworoboku i dwa jego punkty przekątne. Para wierzchołków i para punktów przekątnych dzielą się harmonicznie, tj. dwustosunek tych par wynosi .
  • Środki odcinków przekątnych wyznaczonych przez wierzchołki na nich leżące są współliniowe. Co więcej, Izaak Newton udowodnił, że na tej samej prostej leży ognisko krzywej stożkowej stycznej do wszystkich boków czworoboku.
  • Ortocentra czterech trójkątów wyznaczonych przez boki czworoboku zupełnego wszystkie leżą na jednej prostej prostopadłej do [1]. Plücker pokazał, że okręgi, których średnicami są odcinki przekątnych wyznaczone przez wierzchołki czworoboku mają dwa wspólne punkty, które również leżą na tej prostej.
  • Okręgi opisane na trójkątach wyznaczonych przez trójki boków czworoboku mają punkt wspólny.

Zobacz też[edytuj]

Przypisy

  1. Patrz pomarańczowa prosta na rysunku.

Bibliografia[edytuj]

  • Weisstein, Eric W. – "Complete Quadrilateral." na MathWorld [1]
  • Stark, M. – "Geometria analityczna" w: Monografie matematyczne, t. 26, Warszawa-Wrocław 1951 [2], rozdział XVII, ss. 442—445