Okrąg

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Zobacz też: Okrąg w innych znaczeniach tego słowa.
Okrąg

Okrągzbiór wszystkich punktów płaszczyzny euklidesowej odległych od ustalonego punktu, nazywanego środkiem, o zadaną odległość, nazywaną promieniem.

Jest to szczególny przypadek elipsy o równych półosiach, jest to także 1-wymiarowa hipersfera.

Okrąg jest brzegiem pewnego koła.

Okrąg w układzie współrzędnych[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie ustalonym punktem, zaś ustaloną liczbą dodatnią. Okręgiem jest zbiorem punktów płaszczyzny euklidesowej spełniających równanie

Jest to wzór geometrii analitycznej obowiązujący w kartezjańskim układzie współrzędnych.

W tym samym układzie współrzędnych okrąg może być opisany również za pomocą równania parametrycznego

gdzie parametr

W układzie współrzędnych biegunowych, równanie okręgu o promieniu i środku znajdującym się w biegunie układu współrzędnych, przyjmuje postać dla dowolnego kąta

Powiązane pojęcia[edytuj | edytuj kod]

Okrąg z zaznaczonymi: styczną, cięciwą, średnicą i promieniem

Punkt nazywany jest środkiem okręgu, zaś każdy z odcinków o początku i końcu w jednym z punktów okręgu nazywany jest promieniem, również długość nazywana jest tym terminem.

Sieczna jest to prosta mająca z okręgiem dokładnie dwa punkty wspólne. Prostą mająca dokładnie jeden punkt wspólny nazywa się styczną do okręgu.

Cięciwą nazywa się odcinek wyznaczony przez punkty wspólne dowolnej siecznej i okręgu, czyli łączący dwa dowolne punkty okręgu.

Średnica okręgu jest to cięciwa przechodząca przez środek okręgu. Podobnie jak w przypadku promienia, tym pojęciem określa się też długość tej cięciwy. Średnica zwyczajowo oznaczana jest przez Zachodzi równość

Stosunek długości okręgu do jego średnicy jest stałą matematyczną oznaczaną literą

Stąd długość okręgu wyraża się wzorem:

Pole powierzchni koła ograniczonego okręgiem (sam okrąg ma puste wnętrze, a więc i zerową powierzchnię) wyraża się wzorem:

Wzajemne położenie dwóch okręgów[edytuj | edytuj kod]

Rozpatrywane są dwa okręgi o środkach i oraz promieniach odpowiednio i Przez rozumieć należy odległość między środkami okręgów.

Na płaszczyźnie[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli leżą one na jednej płaszczyźnie, to mogą być one:

  • identyczne – posiadają wspólny środek i mają równe promienie, należą do nich te same punkty:
  • współśrodkowe – mają ten sam środek:
  • styczne wewnętrznie – mają dokładnie jeden punkt wspólny, jeden z nich leży w kole ograniczonym przez drugi okrąg:
  • styczne zewnętrznie – mają dokładnie jeden punkt wspólny, żaden z nich nie leży w kole ograniczonym przez drugi okrąg:
  • rozłączne – nie mają punktów wspólnych, przy czym albo jeden z nich leży w kole ograniczonym przez drugi: albo leżą na zewnątrz swoich kół:
  • przecinające się – posiadają dwa punkty wspólne:

W przestrzeni trójwymiarowej[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli dwa okręgi leżą w przestrzeni o co najmniej trzech wymiarach, to mogą być m.in.:

  • współpłaszczyznowe – leżą na tej samej płaszczyźnie,
  • identyczne – są współpłaszczyznowe, posiadają wspólny środek i mają równe promienie,
  • styczne – mają dokładnie jeden punkt wspólny,
  • rozłączne i splecione – każdy z nich ma jeden punkt wspólny z wnętrzem koła drugiego okręgu,
  • rozłączne i nie splecione – żaden z nich nie ma punktu wspólnego z kołem drugiego okręgu.

Uogólnienie na przestrzenie metryczne[edytuj | edytuj kod]

Pojęcie okręgu może być uogólnione na dowolną przestrzeń metryczną w naturalny sposób. Odległością wg której definiuje się okrąg jest ustalona metryka. Tak więc, w dowolnej przestrzeni metrycznej okrąg ze środkiem i promieniem to zbiór punktów

W tym rozumieniu często zamiast słowa „okrąg” stosuje się słowo „sfera”.

Okręgiem w tym rozumieniu na płaszczyźnie z metryką euklidesową jest zwykły okrąg, istnieją jednak metryki na płaszczyźnie, w których okręgami są inne zbiory euklidesowe, np. kwadrat (o bokach równoległych do osi prostokątnego układu o równych jednostkach albo obrócony o 45°). Na prostej z metryką euklidesową okręgiem jest zbiór dwóch punktów równo oddalonych od środka. W trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej odpowiednikiem okręgu jest dwuwymiarowa sfera.

Okręgi jednostkowe w metrykach (miasto), (euklidesowej) oraz L (maksimum)


Zobacz też[edytuj | edytuj kod]