Okrąg

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Ten artykuł dotyczy brzegu koła. Zobacz też: miejscowość o tej nazwie.
Okrąg

Okrągbrzeg koła; zbiór wszystkich punktów płaszczyzny euklidesowej odległych od ustalonego punktu, nazywanego środkiem, o zadaną odległość, nazywaną promieniem.

Definicja[edytuj]

Niech będzie ustalonym punktem, zaś ustaloną liczbą dodatnią. Okręgiem nazywa się zbiór punktów płaszczyzny euklidesowej spełniającej równość

.

Jest to wzór geometrii analitycznej obowiązujący w kartezjańskim układzie współrzędnych. W tym samym układzie współrzędnych okrąg może być opisany również za pomocą równania parametrycznego

,

gdzie parametr

W ujęciu topologicznym okrąg jest brzegiem koła.
Okrąg jest szczególnym przypadkiem elipsy o równych półosiach i jako taki jest krzywą stożkową.

Powiązane pojęcia[edytuj]

Okrąg z zaznaczonymi: styczną, cięciwą, średnicą i promieniem

Punkt nazywany jest środkiem okręgu, zaś każdy z odcinków o początku i końcu w jednym z punktów okręgu nazywany jest promieniem, również długość nazywana jest tym terminem.

Sieczna jest to prosta mająca z okręgiem dokładnie dwa punkty wspólne. Prostą mająca dokładnie jeden punkt wspólny nazywa się styczną do okręgu.

Cięciwą nazywa się odcinek wyznaczony przez punkty wspólne dowolnej siecznej i okręgu, czyli łączący dwa dowolne punkty okręgu.

Średnica okręgu jest to cięciwa przechodząca przez środek okręgu. Podobnie jak w przypadku promienia, tym pojęciem określa się też długość tej cięciwy. Średnica zwyczajowo oznaczana jest przez . Zachodzi równość .

Stosunek długości okręgu do jego średnicy jest stałą matematyczną oznaczaną literą

Stąd długość okręgu wyraża się wzorem:

Pole powierzchni koła ograniczonego okręgiem (sam okrąg ma puste wnętrze, a więc i zerową powierzchnię) wyraża się wzorem:

Wzajemne położenie dwóch okręgów[edytuj]

Rozpatrywane są dwa okręgi o środkach i oraz promieniach odpowiednio i . Przez rozumieć należy odległość między środkami okręgów.

na płaszczyźnie[edytuj]

Jeżeli leżą one na jednej płaszczyźnie, to mogą być one:

  • identyczne – posiadają wspólny środek i mają równe promienie, należą do nich te same punkty:
  • współśrodkowe – mają ten sam środek:
  • styczne wewnętrznie – mają dokładnie jeden punkt wspólny, jeden z nich leży w kole ograniczonym przez drugi okrąg:
  • styczne zewnętrznie – mają dokładnie jeden punkt wspólny, żaden z nich nie leży w kole ograniczonym przez drugi okrąg:
  • rozłączne – nie mają punktów wspólnych, przy czym albo jeden z nich leży w kole ograniczonym przez drugi: , albo leżą na zewnątrz swoich kół: ;
  • przecinające się – posiadają dwa punkty wspólne:

w przestrzeni trójwymiarowej[edytuj]

Jeżeli dwa okręgi leżą w przestrzeni o co najmniej trzech wymiarach, to mogą być m.in.:

  • współpłaszczyznowe – leżą na tej samej płaszczyźnie;
  • identyczne – są współpłaszczyznowe, posiadają wspólny środek i mają równe promienie;
  • styczne – mają dokładnie jeden punkt wspólny;
  • rozłączne i splecione – każdy z nich ma jeden punkt wspólny z wnętrzem koła drugiego okręgu;
  • rozłączne i nie splecione – żaden z nich nie ma punktu wspólnego z kołem drugiego okręgu.

Uogólnienie na przestrzenie metryczne[edytuj]

Pojęcie okręgu może być uogólnione na dowolną przestrzeń metryczną w naturalny sposób. Odległością wg której definiuje się okrąg jest ustalona metryka. Tak więc, w dowolnej przestrzeni metrycznej okrąg ze środkiem i promieniem to zbiór punktów

W tym rozumieniu często zamiast słowa „okrąg” stosuje się słowo „sfera”.

Okręgiem w tym rozumieniu na płaszczyźnie z metryką euklidesową jest zwykły okrąg; istnieją jednak metryki na płaszczyźnie, w których okręgami są inne zbiory euklidesowe, np. kwadrat (o bokach równoległych do osi prostokątnego układu o równych jednostkach albo obrócony o 45°). Na prostej z metryką euklidesową okręgiem jest zbiór dwóch punktów równo oddalonych od środka. W trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej odpowiednikiem okręgu jest dwuwymiarowa sfera.

Okręgi jednostkowe w metrykach L1 (miasto), L2 (euklidesowej) oraz L (maksimum)


Zobacz też[edytuj]