Ekstrapolacja (matematyka)

Przykład problemu ekstrapolacji. Wartość w niebieskim polu, dla x = 7, może być prognozowana na podstawie znanych wartości (czerwone punkty).

Ekstrapolacja – prognozowanie wartości pewnej zmiennej lub funkcji poza zakresem, dla którego mamy dane, przez dopasowanie do istniejących danych pewnej funkcji, następnie wyliczenie jej wartości w szukanym punkcie.

Pokrewną metodą jest interpolacja, gdzie po dopasowaniu funkcji wyliczamy jej wartość pomiędzy znanymi jej punktami.

Ekstrapolacja iterowana Richardsona

Do obliczenia pewnej wielkości stosuje się metodę numeryczną z parametrem $h.$ Wynikiem jej działania jest $F(h).$ Z wartością dokładną mamy do czynienia tylko, jeśli $h=0$. Trudności obliczeniowe rosną gdy $h$ maleje. Metoda ta była jedną z idei kluczowych algorytmu Bulirscha-Stoera.

Zakładamy, że znamy postać rozwinięcia $(p_{1}<p_{2}<p_{3}<\dots )$

$F(h)=a_{0}+a_{1}h^{p_{1}}+a_{2}h^{p_{2}}+a_{3}h^{p_{3}}\dots$

F(0) ekstrapolujemy na podstawie kilku obliczonych wartości

$F(h_{0}),F(q^{-1}h_{0}),F(q^{-2}h_{0}),F(q^{-3}h_{0})\dots q>1$

Ekstrapolacja iterowana Richardsona pozwala na utworzenie ciągu funkcji, którego n-ty wyraz ma rozwinięcie:

$F_{n}(h)=a_{0}+a_{n,n}h^{p_{n}}+a_{n,n+1}h^{p_{n+1}}+a_{n,n+2}h^{p_{n+2}}\dots$

Sposób obliczeń: dana wartość początkowa $h_{0}$ i liczba $q>1,$ stosuje się wzór rekurencyjny:

$A_{m,0}=F(q^{-m}h_{0})$ dla $m=0,1,2\dots$

$A_{m,k}=A_{m,k-1}+{\frac {A_{m,k-1}-A_{m-1,k-1}}{q^{p_{k}}-1}}$ dla $k=1,2,3\dots$

$F_{n}(h_{0})=A_{n-1,n-1}$ dla $n=2,3,4\dots$

Zastosowanie do różniczkowania numerycznego

$f(x_{0}+h)=f(x_{0})+hf'(x_{0})+{\frac {h^{2}}{2!}}f''(x_{0})+{\frac {h^{3}}{3!}}f^{(3)}(x_{0})+\dots$

Różnica progresywna

$D_{p}(h)={\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}=f'(x_{0})+{\frac {h}{2!}}f''(x_{0})+{\frac {h^{2}}{3!}}f^{(3)}(x_{0})+\dots$

$p_{1}=1,p_{2}=2,p_{3}=3,\dots$

Zobacz też

• ekstrapolacja trendów