Interpolacja (matematyka)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Ten artykuł dotyczy metody numerycznej. Zobacz też: inne znaczenia słowa interpolacja.

Interpolacjametoda numeryczna polegająca na wyznaczaniu w danym przedziale tzw. funkcji interpolacyjnej, która przyjmuje w nim z góry zadane wartości, w ustalonych punktach nazywanych węzłami[1]. Stosowana jest ona często w naukach doświadczalnych, gdzie dysponuje się zazwyczaj skończoną liczbą danych do określenia zależności między wielkościami oraz w celu uproszczenia skomplikowanych funkcji, np. podczas całkowania numerycznego. Interpolacja jest szczególnym przypadkiem metod numerycznych typu aproksymacja[2].

Interpolacja skończonego zbioru punktów epitrochoidy (niebieska krzywa).

Definicja[edytuj]

Niech dany będzie przedział oraz niech będzie dany skończony ciąg punktów z tego przedziału,

.

Wyrazy powyższego ciągu nazywane będą węzłami.

Zakłada się także, że zadane są wartości dla . Pary nazywa się punktami pomiarowymi.

Funkcję określoną na przedziale nazywa się funkcją interpolacyjną (również interpolującą[1]) określoną w zadanych węzłach jeśli:

dla wszystkich .

Jeśli dana jest funkcja oraz dla każdego , to funkcja interpolująca punkty pomiarowe (dla ) może być nazwana interpolacją funkcji w węzłach .

Na funkcję interpolującą nakłada się różne warunki prowadzące do różnych zadań interpolacyjnych, i tak jeśli zażąda się, aby była określonej klasy, to mówi się wówczas o interpolacji funkcjami tej klasy.

Węzeł funkcji[edytuj]

Węzeł funkcji to argument funkcji, dla którego znana jest jej wartość.

Jeżeli:

, jest funkcją z A w B
jest elementem , dla którego znana jest wartość : ,

to jest węzłem funkcji .

W praktyce zbiór węzłów jest skończonym zbiorem argumentów, dla których eksperymentalnie wyznaczono wartości nieznanej funkcji (będącej np. funkcją zależności mocy silnika, od wartości wychylenia wirnika).

Interpolacja liniowa[edytuj]

Interpolacja wielomianowa[edytuj]

Interpolacja liniowa
 Osobny artykuł: Interpolacja wielomianowa.

Interpolacja wielomianowa polega na przybliżaniu funkcji za pomocą wielomianów. Metoda ta była rozwinięta przez Josepha Lagrange'a, a jej podstawą jest twierdzenie, że:

Dla danych punktów pomiarowych, parami różnych od siebie, istnieje jedyny wielomian stopnia co najwyżej interpolujący te punkty[3].

Zwykle zakłada się o funkcji interpolowanej, że jest ciągła, choć często dodaje się warunki różniczkowalności, które umożliwiają dokładniejsze oszacowania błędów przybliżeń. Najprostszym przypadkiem jest interpolacja liniowa; zadanie interpolacji dla dwóch węzłów i . Rozwiązaniem w klasie wielomianów pierwszego stopnia jest wtedy funkcja liniowa, której wykres przechodzi przez punkty i (zob. rysunek).

Funkcje sklejane[edytuj]

Błąd interpolacji można zmniejszać poprzez zwiększanie liczby węzłów, jednak prowadzi to do dość szybkiego wzrostu złożoności obliczeniowej zadania, a spadek wartości błędu nie jest pewny (efekt Rungego). Ponieważ wielomiany są funkcjami dość regularnymi, nie nadają się zbytnio do przybliżania funkcji nieregularnych na większych przedziałach. Z tego powodu wybiera się interpolację wielomianami niskiego stopnia (najczęściej trzeciego), jednak dzieli się przedział interpolacji na mniejsze i na każdym z nich przeprowadza niezależnie interpolację[4]. Aby poprawić przybliżenie nakłada się dodatkowe warunki gładkości na brzegach podziałów, zwykle zgodność pochodnych stopnia o jeden mniejszego niż stopień użytych do interpolacji wielomianów, co wraz z ustalonymi warunkami brzegowymi daje jednoznaczność rozwiązania zadania.

Funkcje trygonometryczne[edytuj]

 Osobny artykuł: Interpolacja trygonometryczna.

Interpolacja trygonometryczna służy przede wszystkim przybliżaniu funkcji okresowych. Idea stojąca za tą interpolacją jest następująca: wielomiany z powodu braku okresowości powodują duże błędy podczas przybliżeń funkcji okresowych, z tego względu używa się zamiast nich funkcji trygonometrycznych mających właśnie charakter okresowy.

Interpolacja nieliniowa[edytuj]

Wymierna[edytuj]

 Osobny artykuł: Interpolacja wymierna.

Interpolacja wymierna polega na przybliżaniu funkcji za pomocą funkcji wymiernej. Rozwiązanie zadania interpolacji wymiernej nie zawsze jest możliwe do wykonania[5].

Wykładnicza[edytuj]

Zastosowanie interpolacji[edytuj]

  • obliczanie wartości funkcji podanych za pomocą tablic w punktach różnych od podanych w tablicy[6]
  • zagęszczanie tablic[6]
  • obliczanie poprawek[6]
  • zastępowanie skomplikowanych funkcji wielomianem odpowiedniego stopnia[6]

Przypisy

Bibliografia[edytuj]