Interpolacja (matematyka)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Ten artykuł dotyczy metody numerycznej. Zobacz też: inne znaczenia słowa interpolacja.

Interpolacjametoda numeryczna polegająca na wyznaczaniu w danym przedziale tzw. funkcji interpolacyjnej, która przyjmuje w nim z góry zadane wartości, w ustalonych punktach nazywanych węzłami[1]. Stosowana jest ona często w naukach doświadczalnych, gdzie dysponuje się zazwyczaj skończoną liczbą danych do określenia zależności między wielkościami oraz w celu uproszczenia skomplikowanych funkcji, np. podczas całkowania numerycznego. Interpolacja jest szczególnym przypadkiem metod numerycznych typu aproksymacja[2].

Interpolacja skończonego zbioru punktów epitrochoidy (niebieska krzywa).

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech dany będzie przedział oraz niech będzie dany skończony ciąg punktów z tego przedziału,

Wyrazy powyższego ciągu nazywane będą węzłami.

Zakłada się także, że zadane są wartości dla Pary nazywa się punktami pomiarowymi.

Funkcję określoną na przedziale nazywa się funkcją interpolacyjną (również interpolującą[1]) określoną w zadanych węzłach jeśli:

dla wszystkich

Jeśli dana jest funkcja oraz dla każdego to funkcja interpolująca punkty pomiarowe (dla ) może być nazwana interpolacją funkcji w węzłach .

Na funkcję interpolującą nakłada się różne warunki prowadzące do różnych zadań interpolacyjnych, i tak jeśli zażąda się, aby była określonej klasy, to mówi się wówczas o interpolacji funkcjami tej klasy.

Węzeł funkcji[edytuj | edytuj kod]

Węzeł funkcji to argument funkcji, dla którego znana jest jej wartość.

Jeżeli:

jest funkcją z w
jest elementem dla którego znana jest wartość

to jest węzłem funkcji

W praktyce zbiór węzłów jest skończonym zbiorem argumentów, dla których eksperymentalnie wyznaczono wartości nieznanej funkcji (będącej np. funkcją zależności mocy silnika, od wartości wychylenia wirnika).

Interpolacja liniowa[edytuj | edytuj kod]

Interpolacja wielomianowa[edytuj | edytuj kod]

Interpolacja liniowa
 Osobny artykuł: Interpolacja wielomianowa.

Interpolacja wielomianowa polega na przybliżaniu funkcji za pomocą wielomianów. Metoda ta była rozwinięta przez Josepha Lagrange’a, a jej podstawą jest twierdzenie, że:

Dla danych punktów pomiarowych, parami różnych od siebie, istnieje jedyny wielomian stopnia co najwyżej interpolujący te punkty[3].

Zwykle zakłada się o funkcji interpolowanej, że jest ciągła, choć często dodaje się warunki różniczkowalności, które umożliwiają dokładniejsze oszacowania błędów przybliżeń. Najprostszym przypadkiem jest interpolacja liniowa; zadanie interpolacji dla dwóch węzłów i Rozwiązaniem w klasie wielomianów pierwszego stopnia jest wtedy funkcja liniowa, której wykres przechodzi przez punkty i (zob. rysunek).

Funkcje sklejane[edytuj | edytuj kod]

Błąd interpolacji można zmniejszać poprzez zwiększanie liczby węzłów, jednak prowadzi to do dość szybkiego wzrostu złożoności obliczeniowej zadania, a spadek wartości błędu nie jest pewny (efekt Rungego). Ponieważ wielomiany są funkcjami dość regularnymi, nie nadają się zbytnio do przybliżania funkcji nieregularnych na większych przedziałach. Z tego powodu wybiera się interpolację wielomianami niskiego stopnia (najczęściej trzeciego), jednak dzieli się przedział interpolacji na mniejsze i na każdym z nich przeprowadza niezależnie interpolację[4]. Aby poprawić przybliżenie nakłada się dodatkowe warunki gładkości na brzegach podziałów, zwykle zgodność pochodnych stopnia o jeden mniejszego niż stopień użytych do interpolacji wielomianów, co wraz z ustalonymi warunkami brzegowymi daje jednoznaczność rozwiązania zadania.

Funkcje trygonometryczne[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: Interpolacja trygonometryczna.

Interpolacja trygonometryczna służy przede wszystkim przybliżaniu funkcji okresowych. Idea stojąca za tą interpolacją jest następująca: wielomiany z powodu braku okresowości powodują duże błędy podczas przybliżeń funkcji okresowych, z tego względu używa się zamiast nich funkcji trygonometrycznych mających właśnie charakter okresowy.

Interpolacja nieliniowa[edytuj | edytuj kod]

Wymierna[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: Interpolacja wymierna.

Interpolacja wymierna polega na przybliżaniu funkcji za pomocą funkcji wymiernej. Rozwiązanie zadania interpolacji wymiernej nie zawsze jest możliwe do wykonania[5].

Wykładnicza[edytuj | edytuj kod]

Zastosowanie interpolacji[edytuj | edytuj kod]

  • obliczanie wartości funkcji podanych za pomocą tablic w punktach różnych od podanych w tablicy[6]
  • zagęszczanie tablic[6]
  • obliczanie poprawek[6]
  • zastępowanie skomplikowanych funkcji wielomianem odpowiedniego stopnia[6]
  • reguła Titiusa-Bodego: odległości planet Układu Słonecznego okazywały się tworzyć pewien ciąg opisany funkcją wykładniczą. Interpolacja danych pozwoliła przewidzieć i odkryć Ceres.

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]