Element pierwszy

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Element pierwszy – uogólnienie pojęcia liczby pierwszej.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Elementem pierwszym dziedziny całkowitości \mathrm{R} nazywamy taki niezerowy element x \in \mathrm{R}, który nie jest dzielnikiem jedności i dla dowolnych dwóch elementów a, b \in \mathrm{R} jeśli x dzieli iloczyn ab, to x dzieli a lub x dzieli b[1].

Własności[edytuj | edytuj kod]

  • Jeżeli x \in \mathrm{R} jest elementem pierwszym \mathrm{R} i dzieli iloczyn dowolnej ilości czynników z \mathrm{R}, to dzieli on co najmniej jeden z tych czynników.
  • Każdy element pierwszy jest elementem nierozkładalnym, natomiast nie każdy element nierozkładalny jest elementem pierwszym.
  • Dla pierścieni z jednoznacznością rozkładu każdy element nierozkładalny jest także pierwszy - pojęcia te są wtedy równoważne.
  • Ideał generowany przez element pierwszy jest ideałem pierwszym.

Przypisy

  1. Виноградов И. М. (red.): Математическая энциклопедия. T. 4. Москва: Советская Энциклопедия, 1984, s. 709.