Przebieg przykładowych charakterystyk amplitudowych filtrów dolnoprzepustowych Czebyszewa I i II typu Filtr Czebyszewa – rodzaj filtru elektrycznego , którego charakterystyczną cechą jest wykorzystanie wielomianów Czebyszewa do aproksymacji charakterystyki częstotliwościowej amplitudowej. Optymalizacja przebiegu charakterystyki częstotliwościowej amplitudowej w filtrach Czebyszewa ma kluczowe znaczenie, przebieg charakterystyki częstotliwościowej fazowej, silnie nieliniowy, ma znaczenie drugorzędne.
Wyróżnia się dwa typy filtrów Czebyszewa:
filtr Czebyszewa I typu – ma zafalowania przebiegu wzmocnienia w paśmie przepustowym , oraz płaski przebieg charakterystyki w paśmie zaporowym ,
filtr Czebyszewa II typu (inwersyjny) – ma zafalowania przebiegu wzmocnienia w paśmie zaporowym, oraz płaski przebieg charakterystyki w paśmie przepustowym. Filtr Czebyszewa inwersyjny (II typu) w stosunku do podstawowego filtru Czebyszewa (I typu) wykazuje zafalowania przebiegu wzmocnienia w paśmie zaporowym oraz płaski przebieg charakterystyki w paśmie przepustowym .
Oznaczenia charakterystyk amplitudowych częstotliwościowych filtrów prototypowych dolnoprzepustowych – FPD Podstawowe właściwości filtru Czebyszewa II typu, dla czytelności opisu, omawiane są w oparciu o filtr prototypowy dolnoprzepustowy (FDP):
operowanie częstotliwością znormalizowaną
Ω
,
{\displaystyle \Omega ,}
konwersja do filtrów górno- i pasmowoprzepustowych przez stosowne podstawienia operatora
s
{\displaystyle s}
K
(
s
)
.
{\displaystyle K(s).}
Kwadrat modułu transmitancji
K
(
s
)
{\displaystyle K(s)}
(
s
=
j
ω
)
,
{\displaystyle (s=j\omega ),}
|
K
(
Ω
)
|
2
=
K
(
S
)
⋅
K
(
−
S
)
=
1
1
+
ϵ
2
⋅
T
N
2
⋅
(
Ω
z
a
p
Ω
c
)
T
N
2
(
Ω
z
a
p
Ω
)
,
{\displaystyle |K(\Omega )|^{2}=K(S)\cdot K(-S)={\frac {1}{1+\epsilon ^{2}\cdot {\frac {T_{N}^{2}\cdot \left({\frac {\Omega _{zap}}{\Omega _{c}}}\right)}{T_{N}^{2}\left({\frac {\Omega _{zap}}{\Omega }}\right)}}}},}
gdzie:
A
m
a
x
{\displaystyle A_{max}}
ϵ
{\displaystyle \epsilon }
ϵ
=
10
0
,
1
A
m
a
x
−
1
,
{\displaystyle \epsilon ={\sqrt {10^{0{,}1A_{max}}-1}},}
ϵ
=
1
,
{\displaystyle \epsilon =1,}
Ω
z
a
p
{\displaystyle \Omega _{zap}}
Ω
c
=
1
,
{\displaystyle \Omega _{c}=1,}
T
N
{\displaystyle T_{N}}
N
.
{\displaystyle N.}
Na podstawie powyższego wzoru oblicza się bieguny transmitancji
K
(
s
)
:
{\displaystyle K(s){:}}
s
v
=
Ω
z
a
p
σ
⋅
sin
(
2
v
−
1
N
⋅
Π
2
)
±
j
⋅
ω
H
A
⋅
cos
(
2
v
−
1
N
⋅
Π
2
)
,
{\displaystyle s_{v}={\frac {\Omega _{zap}}{\sigma \cdot \sin \left({\frac {2v-1}{N}}\cdot {\frac {\Pi }{2}}\right)\pm j\cdot \omega _{HA}\cdot \cos \left({\frac {2v-1}{N}}\cdot {\frac {\Pi }{2}}\right)}},}
gdzie:
v
m
a
x
=
1
,
2
,
…
,
N
,
{\displaystyle v_{max}=1,2,\dots ,N,}
A
m
i
n
{\displaystyle A_{min}}
ω
H
A
=
cosh
(
1
N
⋅
sinh
−
1
10
0
,
1
⋅
A
m
i
n
−
1
)
,
{\displaystyle \omega _{HA}=\cosh \left({\frac {1}{N}}\cdot \sinh ^{-1}{\sqrt {10^{0,1\cdot A_{min}}-1}}\right),}
σ
H
A
=
ω
H
A
2
−
1
{\displaystyle \sigma _{HA}={\sqrt {\omega _{HA}^{2}-1}}}
oraz zera transmitancji
K
(
s
)
:
{\displaystyle K(s){:}}
ω
0
μ
=
±
Ω
z
a
p
cos
(
2
μ
−
1
N
⋅
Π
2
)
,
{\displaystyle \omega _{0\mu }=\pm {\frac {\Omega {zap}}{\cos({\frac {2\mu -1}{N}}\cdot {\frac {\Pi }{2}})}},}
gdzie:
μ
m
a
x
=
{
N
−
1
2
dla N-nieparzystych
N
2
dla N-parzystych
}
.
{\displaystyle \mu _{max}={\begin{Bmatrix}{\frac {N-1}{2}}\quad {\text{dla N-nieparzystych}}\\{\frac {N}{2}}\quad {\text{dla N-parzystych}}\end{Bmatrix}}.}
Po obliczeniu biegunów i zer następuje podstawienie (biegunów tylko tych, których części
R
e
<
0
{\displaystyle Re<0}
K
(
s
)
:
{\displaystyle K(s){:}}
K
(
s
)
=
∏
μ
=
1
μ
=
m
a
x
⋅
(
s
2
+
ω
o
μ
2
)
∏
v
=
1
v
=
m
a
x
⋅
(
s
−
s
v
)
,
{\displaystyle K(s)={\frac {\prod _{\mu =1}^{\mu =max}\cdot (s^{2}+\omega _{o\mu }^{2})}{\prod _{v=1}^{v=max}\cdot (s-s_{v})}},}
gdzie:
μ
m
a
x
=
{
N
−
1
2
dla N-nieparzystych
N
2
dla N-parzystych
}
,
{\displaystyle \mu _{max}={\begin{Bmatrix}{\frac {N-1}{2}}\quad {\text{dla N-nieparzystych}}\\{\frac {N}{2}}\quad {\text{dla N-parzystych}}\end{Bmatrix}},}
v
m
a
x
=
1
,
2
,
…
,
N
.
{\displaystyle v_{max}=1,2,\dots ,N.}
Przykładowa transmitancja
K
(
s
)
{\displaystyle K(s)}
(
N
=
3
)
{\displaystyle (N=3)}
Ω
z
a
p
=
1
,
15
,
{\displaystyle \Omega _{zap}=1{,}15,}
A
m
i
n
=
9
dB
:
{\displaystyle A_{min}=9\ {\text{dB}}{:}}
K
(
s
)
=
s
2
+
1,327
9
2
(
s
2
+
0,619
9
⋅
s
+
1,197
4
)
⋅
(
s
+
1,931
5
)
.
{\displaystyle K(s)={\frac {s^{2}+1{,}3279^{2}}{(s^{2}+0{,}6199\cdot s+1{,}1974)\cdot (s+1{,}9315)}}.}
Przykładowa charakterystyka amplitudowa filtru dolnoprzepustowego Czebyszewa II typu – rząd N = 3 Właściwości filtru Czebyszewa inwersyjnego (II typu) [ edytuj | edytuj kod ] Rodzina charakterystyk amplitudowych filtru dolnoprzepustowego Czebyszewa II typu – rząd N = 3 Przy założeniu parametrów pasma przepustowego:
A
m
a
x
{\displaystyle A_{max}}
Ω
c
{\displaystyle \Omega _{c}}
przy stałym rzędzie
N
{\displaystyle N}
A
m
i
n
{\displaystyle A_{min}}
Ω
z
a
p
,
{\displaystyle \Omega _{zap},}
gdy wartości
Ω
z
a
p
{\displaystyle \Omega _{zap}}
Ω
c
{\displaystyle \Omega _{c}}
A
m
i
n
{\displaystyle A_{min}}
gdy
Ω
z
a
p
≪
1
,
{\displaystyle \Omega _{zap}\ll 1,}
A
m
i
n
{\displaystyle A_{min}}
Izydorczyk J., Płonka G., Tyma G.: Teoria sygnałów , Helion, Gliwice 1999.
G. Fritzsche, Entwurf linearer Schaltungen , VEB Verlag Technik, 1962. 
