Funkcja rozkładu

Funkcja rozkładu – w fizyce jest to wielkość równa liczbie cząstek (gazu lub cieczy) mających w danej chwili określone z zadaną dokładnością położenie i prędkość. Funkcja rozkładu jest podstawowym pojęciem kinetycznej teorii gazów, fizyki statystycznej i mechaniki płynów.

Definicja

W kinetycznej teorii gazów funkcja rozkładu $f$ jest funkcją siedmiu parametrów makroskopowych: trzech składowych położenia $(x,y,z),$ trzech składowych prędkości $(v_{x},v_{y},v_{z})$ i czasu $t.$ Definiuje się ją tak, by wyrażenie

$f(x,y,z;v_{x},v_{y},v_{z};t)\,d^{3}r\,d^{3}v$

równe było liczbie cząstek mających w chwili $t$ prędkość w elemencie objętości $d^{3}v$ wokół prędkości $(v_{x},v_{y},v_{z})$ i położenie w elemencie objętości $d^{3}r$ wokół punktu $(x,y,z).$

W równaniu powyższym wielkości $d^{3}v$ i $d^{3}r$ nie są wielkościami infinitezymalnymi w sensie matematycznym. Typowe w matematyce przejście graniczne

$d^{3}v\to 0,\quad d^{3}r\to 0$

jest na gruncie fizyki klasycznej jałowe, gdyż prowadzi do utraty ciągłości i gładkości $f$ (patrz: teoria dystrybucji), a na gruncie fizyki kwantowej – wręcz niewykonalne (patrz: zasada nieoznaczoności). Dlatego $d^{3}v$ i $d^{3}r$ należy rozumieć jako elementy objętości na tyle duże, by zawierały bardzo dużą liczbę cząstek (np. $10^{9}$); jednocześnie na tyle małe, by były dużo mniejsze od charakterystycznych długości dla zjawisk makroskopowych opisywanych funkcją rozkładu (np. $d^{3}r\approx 10^{-10}\,\mathrm {cm} ^{3}$). Dzięki takiej definicji funkcję rozkładu można traktować jako ciągłą i różniczkowalną funkcję swoich siedmiu parametrów.

Własności

Funkcja rozkładu spełnia warunki

$n(x,y,z,t)=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }f(x,y,z;v_{x},v_{y},v_{z};t)\,dv_{x}\,dv_{y}\,dv_{z}$

$N(t)=\int \!\!\int \!\!\int _{V}n(x,y,z,t)\,dx\,dy\,dz,$

gdzie:

$n(x,y,z,t)$ – koncentracja cząstek w chwili $t$ w punkcie $(x,y,z),$

$N(t)$ – liczba cząstek w chwili $t$ w zadanej objętości $V,$

$V$ – pewna zadana objętość.

Przestrzeń μ

Przestrzeń rozpięta przez siedem argumentów funkcji rozkładu, czyli trzech składowych położenia $(x,y,z),$ trzech składowych prędkości $(v_{x},v_{y},v_{z})$ i czasu $t$ zwana jest przestrzenią μ.

Zobacz też

• równanie Boltzmanna

Bibliografia

• Kerson Huang, Mechanika statystyczna, wydanie II, PWN, Warszawa 1987.