Prędkość

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Ten artykuł dotyczy definicji prędkości w kinematyce punktu materialnego . Zobacz też: inne znaczenia.
Prędkość
Rodzaj wielkości wektorowa lub skalarna
Symbol
Jednostka SI m/s
W podstawowych jednostkach SI
Inne jednostki km/h, mph, ft/s
Wymiar

Prędkość to wektorowa wielkość fizyczna wyrażająca zmianę wektora położenia punktu w jednostce czasu[1]. Jednostka prędkości w układzie SI to metr na sekundę.

Definicje prędkości[edytuj | edytuj kod]

Prędkość w ruchu prostoliniowym[edytuj | edytuj kod]

Dla ruchu wzdłuż prostej prędkość definiuje się jako pochodną drogi po czasie, czyli granicę przyrostów przesunięcia do przyrostu czasu w jakim nastąpił ten przyrost, dla nieskończenie małego przyrostu czasu:

Prędkość ta zwana jest prędkością chwilową, w przeciwieństwie do prędkości średniej wyznaczonej dla dłuższego odcinka.

Prędkość średnia wektorowa[edytuj | edytuj kod]

Prędkość wektorowa średnia określa szybkość zmiany wektora położenia w dłuższym czasie i definiuje się jako:

Wynikającą z tego zmianę położenia określa wzór:

Prędkość jako wielkość niewektorowa[edytuj | edytuj kod]

W wielu przypadkach prędkość rozumiana jest jako stosunek drogi do czasu jej przebycia. Tak jest rozumiana intuicyjnie, a także w wielu problemach fizycznych.

Przy czym droga jest rozumiana jako długość odcinka krzywej (toru), po której porusza się ciało, od punktu początkowego do końcowego ruchu.

Prędkość chwilowa:

Prędkość chwilowa niewektorowa jest równa modułowi (wartości) prędkości chwilowej wektorowej.

Droga zależy od prędkości chwilowej:

Stąd też zależność na prędkość średnią:

Średnia prędkość niewektorowa jest większa lub równa modułowi średniej prędkości wektorowej.

Prędkość w różnych układach współrzędnych[edytuj | edytuj kod]

Dowolne współrzędne krzywoliniowe[edytuj | edytuj kod]

Z definicji prędkość jest równa pochodnej promienia wodzącego względem czasu: Aby wyrazić prędkość we współrzędnych krzywoliniowych, obliczamy tę pochodną według reguły różniczkowania funkcji złożonej, mając na uwadze, że promień wodzący poruszającego się punktu można uważać[1] za funkcję współrzędnych krzywoliniowych tego punktu, które z kolei są pewnymi funkcjami czasu

(1)

Stąd mamy

(2)

oraz

(3)

gdzie wskaźniki i przebiegają niezależnie od siebie wszystkie wartości od 1 do 3. W przypadku układu ortogonalnego jest[1]

dla

i dzięki temu

(4)

Jeżeli promień wodzący przedstawimy jako funkcję zmiennych to wzory na prędkość przybiorą postać[1]

(5)
(6)

Zdefiniujmy wersory osi wzorem

(7)

Prędkość można teraz zapisać w postaci

(8)

w której jest składową prędkości wzdłuż osi Prostopadły rzut prędkości na oś jest równy

(8)

Ze wzoru (3) wynika równość

skąd wynika, że

Na rzut prostopadły prędkości otrzymujemy wzór[1]

(9)

Układ współrzędnych kartezjańskich[edytuj | edytuj kod]

Trzy składowe prędkości (w przestrzeni ) lub dwie (na płaszczyźnie) wyrażone są takimi samymi wzorami jak prędkości w ruchu prostoliniowym, przy czym drogą jest w tym przypadku współrzędna danej osi

Prędkość całkowitą można wyznaczyć z jej składowych

lub z użyciem wersorów osi

Wartość prędkości dana jest wzorem:

Układ współrzędnych biegunowych[edytuj | edytuj kod]

W układzie współrzędnych biegunowych na płaszczyźnie występują dwie składowe prędkości:

  • prędkość radialna, czyli prędkość zmiany długości promienia wodzącego
  • prędkość transwersalna – prędkość zmiany położenia w kierunku prostopadłym do promienia wodzącego

gdzie jest kątem mierzonym od ustalonego kierunku.

Prędkość całkowita:

Wartość prędkości całkowitej:

Układ współrzędnych walcowych[edytuj | edytuj kod]

Podobnie jak dla współrzędnych biegunowych, tylko dochodzi jedna współrzędna w kierunku osi

Prędkość całkowita:

Wartość prędkości całkowitej:

Układ współrzędnych sferycznych[edytuj | edytuj kod]

We współrzędnych sferycznych występują dwie prędkości prostopadłe do promienia

gdzie jest kątem mierzonym od ustalonego kierunku, np. od osi (0Z)

gdzie kąt jest kątem, jaki tworzy rzut wektora wodzącego z ustalonym kierunkiem na płaszczyźnie prostopadłej do kierunku pierwszej osi (0Z). Tym kierunkiem może być oś 0X.

Prędkość całkowita:

Wartość prędkości całkowitej:

Prędkość kątowa[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: Prędkość kątowa.

W ruchach krzywoliniowych definiowana jest prędkość kątowa

gdzie jest kątem obrotu wokół pewnej osi ustalonej osi. Traktując jako kąt skierowany, można przypisać prędkości kątowej kierunek osi obrotu i zwrot zgodny z regułą śruby prawoskrętnej

Tak zdefiniowana prędkość kątowa jest pseudowektorem. Pomiędzy prędkością kątową, a prędkością transwersalną zachodzi następujący związek

Przykłady prędkości w różnych rodzajach ruchów[edytuj | edytuj kod]

Zmiany prędkości są podstawą klasyfikacji ruchów w fizyce.

Prędkość liniowa w ruchu jednostajnym prostoliniowym[edytuj | edytuj kod]

Prędkość w ruchu jednostajnym prostoliniowym jest stała (zarówno jej kierunek i wartość). Przyjmuje się odtąd, że do położenia ciała wystarczy jedna współrzędna Każdy ruch prostoliniowy można przez odpowiednie obroty układu współrzędnych, sprowadzić do przypadku jednowymiarowego. Prędkość w ruchu jednostajnym prostoliniowym określa więc następująca zależność:

gdzie:

– wektor położenia jako funkcja czasu
– przebyta droga,
– czas trwania ruchu,
– funkcja położenia (skalar) od czasu.

Prędkość liniowa w ruchu jednostajnie przyspieszonym[edytuj | edytuj kod]

Przyspieszenie jest stałe i niezerowe, więc prędkość zmienia się. W ruchu tym także można ograniczyć się do rozpatrywania jednej współrzędnej.

gdzie:

– całkowity czas ruchu,
– wektor prędkości jako funkcja czasu.

Czasem (zazwyczaj z powodów dydaktycznych) wyróżnia się specjalny przypadek ruchu jednostajnie przyspieszonego prostoliniowego – ruch jednostajnie opóźniony prostoliniowy. W ruchu tym wektor przyspieszenia jest stały i skierowany przeciwnie do wektora prędkości

Ruch jednostajny po okręgu (prędkość kątowa)[edytuj | edytuj kod]

W tym ruchu wektor prędkości kątowej jest stały i jego wartość wyraża się wzorem:

Prędkość w ruchu po okręgu też jest stała i wiąże się z prędkością kątową wzorem

Znajomość prędkości kątowej umożliwia zapisanie równań ruchu po okręgu we współrzędnych kartezjańskich

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. a b c d e G.K. Susłow, Mechanika teoretyczna, PWN, Warszawa 1960

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]