Prędkość

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Ten artykuł dotyczy definicji prędkości w kinematyce punktu materialnego . Zobacz też: inne znaczenia.

Prędkość:

  • wektorowa wielkość fizyczna wyrażająca zmianę wektora położenia w jednostce czasu.
  • skalarna wielkość oznaczająca przebytą drogę w jednostce czasu lub tylko wartość prędkości zwana przez niektórych szybkością.

Jednostka prędkości w układzie SI to metr na sekundę.

Definicje prędkości[edytuj | edytuj kod]

Prędkość w ruchu prostoliniowym[edytuj | edytuj kod]

Dla ruchu wzdłuż prostej prędkość definiuje się jako pochodną drogi po czasie, czyli granicę przyrostów przesunięcia do przyrostu czasu w jakim nastąpił ten przyrost, dla nieskończenie małego przyrostu czasu:

Prędkość ta zwana jest prędkością chwilową, w przeciwieństwie do prędkości średniej wyznaczonej dla dłuższego odcinka.

Prędkość średnia wektorowa[edytuj | edytuj kod]

Prędkość wektorowa średnia określa szybkość zmiany wektora położenia w dłuższym czasie i definiuje się jako:

Wynikającą z tego zmianę położenia określa wzór:

Prędkość jako wielkość niewektorowa[edytuj | edytuj kod]

W wielu przypadkach prędkość rozumiana jest jako stosunek drogi do czasu jej przebycia. Tak jest rozumiana intuicyjnie, a także w wielu problemach fizycznych.

Przy czym droga jest rozumiana jako długość odcinka krzywej (toru), po której porusza się ciało, od punktu początkowego do końcowego ruchu.

Prędkość chwilowa:

Prędkość chwilowa niewektorowa jest równa modułowi (wartości) prędkości chwilowej wektorowej.

Droga zależy od prędkości chwilowej:

Stąd też zależność na prędkość średnią:

Średnia prędkość niewektorowa jest większa lub równa modułowi średniej prędkości wektorowej.

Prędkość w różnych układach współrzędnych[edytuj | edytuj kod]

Układ współrzędnych kartezjańskich[edytuj | edytuj kod]

Trzy składowe prędkości (w przestrzeni) lub dwie (na płaszczyźnie) wyrażone są takimi samymi wzorami jak prędkości w ruchu prostoliniowym, przy czym drogą jest w tym przypadku współrzędna danej osi

Prędkość całkowitą można wyznaczyć z jej składowych

lub z użyciem wersorów osi

Wartość prędkości dana jest wzorem:

Układ współrzędnych biegunowych[edytuj | edytuj kod]

W układzie współrzędnych biegunowych na płaszczyźnie występują dwie składowe prędkości:

  • prędkość radialna, czyli prędkość zmiany długości promienia wodzącego
  • prędkość transwersalna – prędkość zmiany położenia w kierunku prostopadłym do promienia wodzącego

gdzie jest kątem mierzonym od ustalonego kierunku.

Prędkość całkowita:

Wartość prędkości całkowitej:

Układ współrzędnych walcowych[edytuj | edytuj kod]

Podobnie jak dla współrzędnych biegunowych, tylko dochodzi jedna współrzędna w kierunku osi z:

Prędkość całkowita:

Wartość prędkości całkowitej:

Układ współrzędnych sferycznych[edytuj | edytuj kod]

We współrzędnych sferycznych występują dwie prędkości prostopadłe do promienia

gdzie jest kątem mierzonym od ustalonego kierunku, np. od osi 0Z

gdzie kąt jest kątem, jaki tworzy rzut wektora wodzącego z ustalonym kierunkiem na płaszczyźnie prostopadłej do kierunku pierwszej osi (0Z). Tym kierunkiem może być oś 0X.

Prędkość całkowita:

Wartość prędkości całkowitej:

Prędkość kątowa[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: Prędkość kątowa.

W ruchach krzywoliniowych definiowana jest prędkość kątowa

gdzie jest kątem obrotu wokół pewnej osi ustalonej osi. Traktując jako kąt skierowany, można przypisać prędkości kątowej kierunek osi obrotu i zwrot zgodny z regułą śruby prawoskrętnej

Tak zdefiniowana prędkość kątowa jest pseudowektorem. Pomiędzy prędkością kątową a prędkością transwersalną zachodzi następujący związek

Przykłady prędkości w różnych rodzajach ruchów[edytuj | edytuj kod]

Zmiany prędkości są podstawą klasyfikacji ruchów w fizyce.

Prędkość liniowa w ruchu jednostajnym prostoliniowym[edytuj | edytuj kod]

Prędkość w ruchu jednostajnym prostoliniowym jest stała (zarówno jej kierunek i wartość). Przyjmuje się odtąd, że do położenia ciała wystarczy jedna współrzędna x. Każdy ruch prostoliniowy można przez odpowiednie obroty sprowadzić do przypadku jednowymiarowego. Prędkość w ruchu jednostajnym prostoliniowym określa więc następująca zależność:

gdzie:

– wektor położenia jako funkcja czasu
– przebyta droga,
– czas trwania ruchu,
– funkcja położenia (skalar) od czasu.

Prędkość liniowa w ruchu jednostajnie przyspieszonym[edytuj | edytuj kod]

Przyspieszenie jest stałe i niezerowe, więc prędkość zmienia się. W ruchu tym także można ograniczyć się do rozpatrywania jednej współrzędnej.

gdzie:

– całkowity czas ruchu,
– wektor prędkości jako funkcja czasu.

Czasami (zazwyczaj z powodów dydaktycznych) wyróżnia się specjalny przypadek ruchu jednostajnie przyspieszonego prostoliniowego – ruch jednostajnie opóźniony prostoliniowy. W ruchu tym wektor przyspieszenia jest stały i skierowany przeciwnie do wektora prędkości –

Ruch jednostajny po okręgu (prędkość kątowa)[edytuj | edytuj kod]

W tym ruchu wektor prędkości kątowej jest stały i jego wartość wyraża się wzorem:

Prędkość w ruchu po okręgu też jest stała i wiąże się z prędkością kątową wzorem

Znajomość prędkości kątowej umożliwia zapisanie równań ruchu po okręgu we współrzędnych kartezjańskich

Prędkość jako funkcja zależna od przebytej drogi[edytuj | edytuj kod]

W ruchu jednostajnie przyspieszonym[edytuj | edytuj kod]

W ruchu jednostajnie przyspieszonym, długość przebytej drogi w czasie oblicza się ze wzoru:

gdzie:

– wartość przyspieszenia jednostajnego,
– czas trwania ruchu,
– wartość prędkości początkowej,
– długość początkowej drogi.

Powyższy wzór można, w oparciu o rozwiązania równań kwadratowych, przekształcić do wzoru na czas trwania ruchu:

Wartość prędkości w czasie jest postaci:

Podstawiając za powyższy wzór na czas trwania ruchu, otrzymujemy wzór na wartość prędkości w zależności od przebytej drogi :

Prędkość liniowo zależna od przebytej drogi[edytuj | edytuj kod]

Wymiar prędkości jest iloczynem przebytej drogi i odwrotności czasu trwania ruchu.

Niech oznacza wielkość będącą ilorazem wartości prędkości uzyskanej po przebyciu pewnej drogi do długości owej przebytej drogi. Wymiar tej wielkości jest więc iloczynem wartości prędkości i odwrotności przebytej drogi.

Okazuje się więc, że wymiar wielkości jest odwrotnością czasu trwania ruchu, zaś wymiar przebytej drogi uprościł się. Wartość prędkości jest więc sumą wartości prędkości początkowej i iloczynu wielkości przez długość przebytej drogi

W ruchu jednostajnym, czas trwania ruchu jest ilorazem długości przebytej drogi do wartości prędkości

Tak więc w ruchu, w którym prędkość jest liniowo zależna od przebytej drogi, różniczka czasu trwania ruchu jest równa ilorazowi różniczki przebytej drogi do prędkości

Całkując powyższą różniczkę, otrzymujemy czas trwania ruchu

Stosujemy podstawienie Od obu stron równania odejmujemy :

Dzielimy obie strony równania przez :

Różniczkujemy obie strony równania

Podstawiamy za powyższą zależność do naszej całki:

Tak więc czas trwania ruchu wyraża się wzorem:

Powyższy wzór można przekształcić do wzoru na długość przebytej drogi w czasie Na początek obie strony równania mnożymy przez :

W celu wyeliminowania logarytmu naturalnego, stosujemy dla obu stron równania odwrotną do niego funkcję eksponencjalną:

Odejmujemy od obu stron równania wartość 1:

Na koniec mnożymy obie strony równania przez :

Prędkość jest pochodną przebytej drogi po czasie :

W ruchu, w którym prędkość jest liniowo zależna od przebytej drogi, iloraz różnicy wartości prędkości uzyskanej po przebyciu pierwszej drogi i wartości prędkości początkowej, do różnicy wartości prędkości uzyskanej po przebyciu drogi drugiej i wartości prędkości początkowej jest równy ilorazowi długości przebytej pierwszej drogi do drugiej:

W zależności od przebytej drogi:

W zależności od czasu trwania ruchu:

Łatwo zauważyć, że otrzymane wzory na długość przebytej drogi względem czasu trwania ruchu i wartość prędkości względem czasu trwania ruchu mają postać funkcji eksponencjalnych, a ogólniej funkcji wykładniczych. Jeśli wartość wówczas wartość prędkości jest stała, nie zależy od długości przebytej drogi ani od czasu trwania ruchu i jest równa wartości prędkości początkowej tzn. zaś długość przebytej drogi jest równa iloczynowi wartości prędkości początkowej i czasu trwania ruchu: otrzymujemy więc wówczas ruch jednostajny. Jeśli zaś wartość wtedy wartość prędkości zmniejsza się i dąży do 0, czyli dla natomiast długość przebytej drogi jest ograniczona i dąży do tzn. dla tak więc otrzymujemy w tym przypadku ruch opóźniony, jednak w przeciwieństwie do ruchu jednostajnie opóźnionego, wartość prędkości nigdy nie osiągnie 0, zaś długość przebytej drogi nigdy nie osiągnie maksymalnej. Nietrudno również zauważyć, że powyższe wzory mają postać iloczynu wartości prędkości początkowej i pozostałej części wzoru. Jeśli więc wartość prędkości początkowej jest równa 0, tj. wówczas oba te wzory również przyjmują stałą wartość 0, niezależnie od czasu trwania ruchu. Okazuje się to być zgodne z rzeczywistością, gdyż skoro wartość prędkości jest równa 0, wówczas długość przebytej drogi nie ulega zmianie. A skoro długość przebytej drogi nie ulega zmianie, a prędkość jest zależna od przebytej drogi, wtenczas wartość prędkości również nie zmienia się. A skoro wartość prędkości jest równa 0, oznacza to, że przez cały czas musi mieć ona wartość 0, niezależnie od czasu trwania ruchu. Tak więc warunkiem koniecznym niezerowego ruchu jest niezerowa wartość prędkości początkowej. Ruch, w którym prędkość jest liniowo zależna od przebytej drogi można zaobserwować w niektórych zjawiskach występujących w przyrodzie, m.in. dla oddalających się galaktyk. Zjawisko to nosi nazwę prawa Hubble’a.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]