Funkcja różniczkowalna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Funkcja różniczkowalnafunkcja, która ma pochodną w każdym punkcie swej dziedziny, i której wartość w każdym jej punkcie jest skończona (różna od i ).

W szczególności funkcja pochodna danej funkcji określona jest w tej samej dziedzinie co funkcja.

Funkcja n-krotnie różniczkowalna[edytuj | edytuj kod]

Definicja:

(1) Jeżeli funkcja ma pochodną określoną w zbiorze oraz funkcja ma pochodną określoną w zbiorze to mówimy, że

  • jest dwukrotnie różniczkowalna w zbiorze
  • funkcja jest drugą pochodną funkcji określoną na zbiorze

(2) Funkcję nazywa się -krotnie różniczkowalną, jeżeli istnieje kolejnych pochodnych obliczonych z danej funkcji.

Funkcja klasy [edytuj | edytuj kod]

Motywacja[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli dana funkcja jest różniczkowalna w całej dziedzinie, to nie oznacza automatycznie, że funkcja pochodna jest ciągła. Jeżeli funkcja pochodna jest ciągła, to o samej funkcji mówi się, że jest klasy w przeciwnym zaś razie o funkcji mówi się, że jest klasy Czasem potrzebne jest wymaganie, by pochodna -tego rzędu była ciągła – stąd ogólna definicja funkcji klasy

Uwaga powyższa dotyczy funkcji zmiennej rzeczywistej – w przypadku funkcji zmiennej zespolonej różniczkowalność automatycznie pociąga za sobą analityczność.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

(1) Funkcję określoną na przedziale nazywa się funkcją klasy gdzie jeżeli w przedziale ma ciągłych pochodnych.

(2) Funkcje klasy to funkcje ciągłe.

(3) Funkcje klasy (C-nieskończoność) to funkcje różniczkowalne dowolną liczbę razy. Klasę nazywa się też klasą funkcji gładkich.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

jest klasy ale nie jest klasy

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]