Funkcja różniczkowalna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Funkcja różniczkowalnafunkcja, która ma pochodną w każdym punkcie swej dziedziny, której wartość w każdym punkcie jest skończona (różna od {\infty} i -{\infty}) .

W szczególności funkcja pochodna danej funkcji określona jest w tej samej co funkcja dziedzinie.

Funkcja n-krotnie różniczkowalna[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli funkcja f ma pochodną g w zbiorze A oraz funkcja g ma pochodną h w zbiorze  B \subset A to powiemy, że f jest dwukrotnie różniczkowalna w zbiorze B, oraz druga pochodna funkcji f na tym zbiorze to h. Analogicznie można zdefiniować n-tą pochodną funkcji f.

Funkcja klasy Cn[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli funkcja f ma w przedziale (a,b) n pochodnych i n-ta pochodna f (n) jest funkcją ciągłą w (a,b) to funkcję f nazywamy funkcją klasy Cn( (a,b) ). Przez funkcję klasy C0 rozumiemy funkcję ciągłą.

Różniczkowalność jest silną własnością, jednakże czasem wymagamy, by badane funkcje spełniały dodatkowe warunki, np. by były różniczkowalne w sposób ciągły.

Uwaga ta dotyczy funkcji zmiennej rzeczywistej – w przypadku funkcji zmiennej zespolonej różniczkowalność pociąga za sobą automatycznie analityczność.

Ważną klasę funkcji stanowi C^{\infty} (C-nieskończoność) czyli różniczkowalna dowolną liczbę razy. Klasę C^\infty nazywamy też klasą funkcji gładkich.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

 f(x) = \begin{cases} x^3\cdot \sin\left(\frac{1}{x}\right) & \mathrm{gdy\ } x \ne 0 \\ 0 & \mathrm{gdy\ } x = 0 \end{cases}

jest klasy C^{1}(\mathbb{R}) ale nie C^{2}(\mathbb{R}).