Funkcja różniczkowalna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Funkcja różniczkowalnafunkcja, która ma pochodną w każdym punkcie swej dziedziny, której wartość w każdym punkcie jest skończona (różna od i ) .

W szczególności funkcja pochodna danej funkcji określona jest w tej samej co funkcja dziedzinie.

Funkcja n-krotnie różniczkowalna[edytuj]

Definicja:

(1) Jeżeli funkcja ma pochodną określoną w zbiorze oraz funkcja ma pochodną określoną w zbiorze to mówimy, że

  • jest dwukrotnie różniczkowalna w zbiorze ,
  • funkcja jest drugą pochodną funkcji określoną na zbiorze .

(2) Funkcję nazywamy -krotnie różniczkowalną, jeżeli istnieje kolejnych pochodnych obliczonych z danej funkcji.

Funkcja klasy [edytuj]

Definicja:

(1) Funkcję określoną na przedziale nazywamy funkcją klasy , gdzie , jeżeli w przedziale ma ciągłych pochodnych.

(2) Funkcje klasy to funkcje jedynie ciągłe. Funkcje te albo nie mają pochodnej albo mają, ale pochodna nie jest ciągła.

(3) Funkcje klasy (C-nieskończoność) to funkcje różniczkowalne dowolną liczbę razy. Klasę nazywamy też klasą funkcji gładkich.

Uwaga:

Różniczkowalność jest silną własnością, jednakże czasem jest potrzebne wymaganie, były różniczkowalne w sposób ciągły[styl do poprawy].

Uwaga ta dotyczy funkcji zmiennej rzeczywistej – w przypadku funkcji zmiennej zespolonej różniczkowalność pociąga za sobą automatycznie analityczność.

Przykłady[edytuj]

jest klasy , ale nie jest klasy

Zobacz też[edytuj]