Funkcja różniczkowalna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Funkcja różniczkowalnafunkcja, która ma pochodną w każdym punkcie swej dziedziny, której wartość w każdym punkcie jest skończona (różna od i ).

W szczególności funkcja pochodna danej funkcji określona jest w tej samej co funkcja dziedzinie.

Funkcja n-krotnie różniczkowalna[edytuj | edytuj kod]

Definicja:

(1) Jeżeli funkcja ma pochodną określoną w zbiorze oraz funkcja ma pochodną określoną w zbiorze to mówimy, że

  • jest dwukrotnie różniczkowalna w zbiorze ,
  • funkcja jest drugą pochodną funkcji określoną na zbiorze .

(2) Funkcję nazywa się -krotnie różniczkowalną, jeżeli istnieje kolejnych pochodnych obliczonych z danej funkcji.

Funkcja klasy [edytuj | edytuj kod]

Motywacja[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli dana funkcja jest różniczkowalna w całej dziedzinie, to nie oznacza automatycznie, że funkcja pochodna jest ciągła. Jeżeli funkcja pochodna jest ciągła, to o samej funkcji mówi się, że jest klasy , w przeciwnym zaś razie o funkcji mówi się, że jest klasy . Czasem potrzebne jest wymaganie, by pochodna -tego rzędu była ciągła - stąd ogólna definicja funkcji klasy .

Uwaga powyższa dotyczy funkcji zmiennej rzeczywistej – w przypadku funkcji zmiennej zespolonej różniczkowalność automatycznie pociąga za sobą analityczność.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

(1) Funkcję określoną na przedziale nazywa się funkcją klasy , gdzie , jeżeli w przedziale ma ciągłych pochodnych.

(2) Funkcje klasy to funkcje jedynie ciągłe. Funkcje te albo nie mają pochodnej albo mają, ale pochodna nie jest ciągła.

(3) Funkcje klasy (C-nieskończoność) to funkcje różniczkowalne dowolną liczbę razy. Klasę nazywa się też klasą funkcji gładkich.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

jest klasy , ale nie jest klasy

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]