Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Funkcje amplitudy – funkcje, których argumentem jest tzw. amplituda , tj. wielkość odwrotna w stosunku do całki eliptycznej pierwszego rodzaju.
Całka eliptyczna pierwszego rodzaju dana jest wzorem:
u
(
ϕ
,
k
2
)
=
F
(
ϕ
,
k
)
=
df
∫
0
ϕ
d
ξ
1
−
k
2
sin
2
ξ
.
{\displaystyle u(\phi ,k^{2})\;=\;F(\phi ,k)\;{\stackrel {\text{df}}{=}}\;\int \limits _{0}^{\phi }{\frac {d\xi }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\xi }}}.}
Funkcja odwrotna do niej nosi nazwę amplitudy zmiennej
u
{\displaystyle u}
z parametrem
k
2
:
{\displaystyle k^{2}{:}}
ϕ
=
am
(
u
,
k
2
)
.
{\displaystyle \phi ={\text{am}}(u,k^{2}).}
Podstawowe funkcje amplitudy [ edytuj | edytuj kod ]
1. Sinus amplitudy
sn
(
u
,
k
)
=
df
sin
ϕ
=
sin
am
(
u
,
k
2
)
{\displaystyle {\text{sn}}(u,k)\;{\stackrel {\text{df}}{=}}\;\sin \phi \;=\;\sin {\text{am}}(u,k^{2})}
2. Cosinus amplitudy
cn
(
u
,
k
)
=
df
cos
ϕ
=
cos
am
(
u
,
k
2
)
{\displaystyle {\text{cn}}(u,k)\;{\stackrel {\text{df}}{=}}\;\cos \phi \;=\;\cos {\text{am}}(u,k^{2})}
3. Delta amplitudy
dn
(
u
,
k
)
=
df
1
−
k
2
sin
2
ϕ
=
1
−
k
2
sin
2
{
am
(
u
,
k
2
)
}
{\displaystyle {\text{dn}}(u,k)\;{\stackrel {\text{df}}{=}}\;{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\phi }}\;=\;{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\{{\text{am}}(u,k^{2})\}}}}
Funkcje amplitudy
sn
(
u
,
k
)
,
cn
(
u
,
k
)
,
dn
(
u
,
k
)
{\displaystyle {\text{sn}}(u,k),{\text{cn}}(u,k),{\text{dn}}(u,k)}
noszą nazwę funkcji eliptycznych Jakobiego .
Funkcje amplitudy
sn
(
u
,
k
)
,
cn
(
u
,
k
)
,
dn
(
u
,
k
)
{\displaystyle {\text{sn}}(u,k),{\text{cn}}(u,k),{\text{dn}}(u,k)}
stanowią uogólnienie funkcji trygonometrycznych i hiperbolicznych , gdyż:
sn
2
(
z
,
k
)
+
cn
2
(
z
,
k
)
=
1
dla kazdego
z
oraz dla kazdego
k
{\displaystyle {\text{sn}}^{2}(z,k)+{\text{cn}}^{2}(z,k)\;=\;1\quad {\text{dla kazdego}}\quad z\quad {\text{oraz dla kazdego}}\quad k}
dn
2
(
z
,
k
)
+
k
2
sn
2
(
z
,
k
)
=
1
dla kazdego
z
oraz dla kazdego
k
{\displaystyle {\text{dn}}^{2}(z,k)+k^{2}{\text{sn}}^{2}(z,k)\;=\;1\quad {\text{dla kazdego}}\quad z\quad {\text{oraz dla kazdego}}\quad k}
sn
(
x
,
0
)
=
sin
x
{\displaystyle {\text{sn}}(x,0)\;=\;\sin x}
cn
(
x
,
0
)
=
cos
x
{\displaystyle {\text{cn}}(x,0)\;=\;\cos x}
dn
(
x
,
0
)
=
1
{\displaystyle {\text{dn}}(x,0)\;=\;1}
sn
(
x
,
1
)
=
sinh
x
{\displaystyle {\text{sn}}(x,1)\;=\;\sinh x}
cn
(
x
,
1
)
=
sech
x
{\displaystyle {\text{cn}}(x,1)\;=\;{\text{sech }}x}
sn
(
0
,
k
)
=
0
{\displaystyle {\text{sn}}(0,k)\;=\;0}
cn
(
0
,
k
)
=
1
{\displaystyle {\text{cn}}(0,k)\;=\;1}
dn
(
0
,
k
)
=
1
{\displaystyle {\text{dn}}(0,k)\;=\;1}
Pochodne podstawowych funkcji amplitudy [ edytuj | edytuj kod ]
Pochodne funkcji amplitudy wyrażają się wzorami:
d
d
z
sn
(
z
)
=
cn
(
z
)
dn
(
z
)
,
{\displaystyle {\frac {\text{d}}{{\text{d}}z}}\,{\text{sn}}\,(z)={\text{cn}}\,(z)\,{\text{dn}}\,(z),}
d
d
z
cn
(
z
)
=
−
sn
(
z
)
dn
(
z
)
,
{\displaystyle {\frac {\text{d}}{{\text{d}}z}}\,{\text{cn}}\,(z)=-{\text{sn}}\,(z)\,{\text{dn}}\,(z),}
d
d
z
dn
(
z
)
=
−
k
2
sn
(
z
)
cn
(
z
)
.
{\displaystyle {\frac {\text{d}}{{\text{d}}z}}\,{\text{dn}}\,(z)=-k^{2}{\text{sn}}\,(z)\,{\text{cn}}\,(z).}
Równania różniczkowe dla funkcji amplitudy [ edytuj | edytuj kod ]
Dla argumentów rzeczywistych
x
{\displaystyle x}
oraz
0
⩽
k
⩽
1
{\displaystyle 0\leqslant k\leqslant 1}
Funkcja
sn
(
x
,
k
)
{\displaystyle {\text{sn}}\,(x,k)}
spełnia następujące nieliniowe równania różniczkowe:
d
2
f
d
x
2
+
(
1
+
k
2
)
f
−
2
k
2
f
3
=
0
{\displaystyle {\frac {{\text{d}}^{2}f}{{\text{d}}x^{2}}}+(1+k^{2})f-2k^{2}f^{3}=0}
oraz
(
d
f
d
x
)
2
=
(
1
−
f
2
)
(
1
−
k
2
f
2
)
.
{\displaystyle \left({\frac {{\text{d}}f}{{\text{d}}x}}\right)^{2}=(1-f^{2})(1-k^{2}f^{2}).}
Funkcja
cn
(
x
,
k
)
{\displaystyle {\text{cn}}\,(x,k)}
spełnia następujące nieliniowe równania różniczkowe:
d
2
f
d
x
2
+
(
1
−
2
k
2
)
f
+
2
k
2
f
3
=
0
{\displaystyle {\frac {{\text{d}}^{2}f}{{\text{d}}x^{2}}}+(1-2k^{2})f+2k^{2}f^{3}=0}
oraz
(
d
f
d
x
)
2
=
(
1
−
f
2
)
(
1
−
k
2
+
k
2
f
2
)
.
{\displaystyle \left({\frac {{\text{d}}f}{{\text{d}}x}}\right)^{2}=(1-f^{2})(1-k^{2}+k^{2}f^{2}).}
Funkcja
dn
(
x
,
k
)
{\displaystyle {\text{dn}}\,(x,k)}
spełnia następujące nieliniowe równania różniczkowe:
d
2
f
d
x
2
−
(
2
−
k
2
)
f
+
2
f
3
=
0
{\displaystyle {\frac {{\text{d}}^{2}f}{{\text{d}}x^{2}}}-(2-k^{2})f+2f^{3}=0}
oraz
(
d
f
d
x
)
2
=
(
f
2
−
1
)
(
1
−
k
2
−
f
2
)
.
{\displaystyle \left({\frac {{\text{d}}f}{{\text{d}}x}}\right)^{2}=(f^{2}-1)(1-k^{2}-f^{2}).}
Wzory na funkcje amplitudy sumy argumentów [ edytuj | edytuj kod ]
cn
(
x
+
y
)
=
cn
(
x
)
cn
(
y
)
−
sn
(
x
)
sn
(
y
)
dn
(
x
)
dn
(
y
)
1
−
k
2
sn
2
(
x
)
sn
2
(
y
)
,
sn
(
x
+
y
)
=
sn
(
x
)
cn
(
y
)
dn
(
y
)
+
sn
(
y
)
cn
(
x
)
dn
(
x
)
1
−
k
2
sn
2
(
x
)
sn
2
(
y
)
,
dn
(
x
+
y
)
=
dn
(
x
)
dn
(
y
)
−
k
2
sn
(
x
)
sn
(
y
)
cn
(
x
)
cn
(
y
)
1
−
k
2
sn
2
(
x
)
sn
2
(
y
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}{\text{cn}}(x+y)&={\frac {{\text{cn}}(x)\;{\text{cn}}(y)-{\text{sn}}(x)\;{\text{sn}}(y)\;{\text{dn}}(x)\;{\text{dn}}(y)}{1-k^{2}\;{\text{sn}}^{2}(x)\;{\text{sn}}^{2}(y)}},\\[8pt]{\text{sn}}(x+y)&={\frac {{\text{sn}}(x)\;{\text{cn}}(y)\;{\text{dn}}(y)+{\text{sn}}(y)\;{\text{cn}}(x)\;{\text{dn}}(x)}{1-k^{2}\;{\text{sn}}^{2}(x)\;{\text{sn}}^{2}(y)}},\\[8pt]{\text{dn}}(x+y)&={\frac {{\text{dn}}(x)\;{\text{dn}}(y)-k^{2}\;{\text{sn}}(x)\;{\text{sn}}(y)\;{\text{cn}}(x)\;{\text{cn}}(y)}{1-k^{2}\;{\text{sn}}^{2}(x)\;{\text{sn}}^{2}(y)}}.\end{aligned}}}
Łatwo zauważyć, że dla
k
=
0
{\displaystyle k=0}
dwa pierwsze z powyższych wzorów przechodzą w znane z klasycznej trygonometrii wzory na sinus i cosinus sumy kątów.
W języku polskim:
G. A. Korn, T. M. Korn, Matematyka dla pracowników naukowych i inżynierów, cz. 2, PWN, Warszawa 1983
W języku angielskim:
C.G.J. Jacobi: Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum , Königsberg (1829).
C. Briot, J.C. Bouquet: Théorie des fonctions elliptiques , Gauthier Villars, Paris (1875).
G.H. Halphen: Traité des fonctions elliptiques et de leurs applications , tome 1–4, Gauthier Villars, Paris (1886–1891).
J. Tannery, J. Molk: Eléments de la théorie des fonctions elliptiques , tome 1 Introduction. Calcul différentiel. Ire partie , tome 2 Calcul différentiel. IIe partie , tome 3 Calcul intégral. Ire partie, Théorèmes généraux. Inversion , tome 4 Calcul intégral. IIe partie, Applications , Gauthier Villars, Paris (1893).
H. Hancock: Lectures on the Theory of Elliptic Functions , J.Wiley&sons, New York (1910).
A.C. Dixon: The Elementary Properties of the Elliptic Functions, with Examples , Macmillan (1894).
P. Appell, E. Lacour: Principes de la théorie des fonctions elliptiques et applications , Gauthier Villars, Paris (1897).
A.G. Greenhill: The applications of elliptic functions , Macmillan, London – New York (1892).
N.I. Akhiezer: Elementy teorii eliptitcheskikh funkcyi , Moskava (1970).
E.T. Whittaker, G.N. Watson: A Course of Modern Analysis , Cambridge (1996).
G.A. Korn, T.M. Korn: Mathematical Handbook for Scientific Workers and Engineers .
M. Abramowitz, I.A. Stegun [Editors]: Jacobian Elliptic Functions and Theta Functions , chapter 16 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables , 9th printing, Dover, New York (1972).