Funkcja odwrotna

Funkcja odwrotna – funkcja przyporządkowująca wartościom jakiejś funkcji jej odpowiednie argumenty, czyli działająca odwrotnie do niej.

Definicja

Jeżeli $f$ odwzorowuje $X$ na $Y,$ to $f^{-1}$ odwzorowuje $Y$ na $X.$

Funkcję $f\colon X\to Y$ nazywamy odwracalną w $Y,$ gdy istnieje funkcja $g\colon Y\to X$ taka, że:

$g{\big (}f(x){\big )}=x$ dla każdego $x\in X$

$f{\big (}g(y){\big )}=y$ dla każdego $y\in Y.$

Innymi słowy $g$ jest taką funkcją, że złożenia $g\circ f$ oraz $f\circ g$ są identycznościami, odpowiednio, na zbiorze $X$ i $Y.$ Funkcję $g$ nazywamy funkcją odwrotną do $f$ i oznaczamy symbolem $f^{-1}.$

Bezpośrednio z definicji wynika, że $f$ jest funkcją odwracalną w $Y$ wtedy i tylko wtedy, gdy jest funkcją wzajemnie jednoznaczną (bijekcją), czyli jednocześnie jest funkcją różnowartościową (iniekcją) i funkcją „na” (surjekcją).

Oznaczenia $f^{-1}(x)$ nie należy mylić z symbolem ${\big (}f(x){\big )}^{-1}={\tfrac {1}{f(x)}}.$

Istnienie

Nie dla każdej funkcji istnieje funkcja do niej odwrotna.

Twierdzenie

Funkcja jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy jej relacja odwrotna jest funkcją nazywaną wówczas funkcją odwrotną; relacja odwrotna, to relacja otrzymana przez zamienienie miejscami jej argumentów.

Wynika z tego, iż relacja ze zbioru wartości do zbioru argumentów dla danej funkcji niebędącej bijekcją nie musi być funkcją.

Wyznaczanie

Wyznaczenie funkcji odwrotnej $g$ do danej $f$ polega na rozwiązaniu równania

$y=f(x)$

względem niewiadomej $x.$ Rozwiązanie, czyli

$x=g(y),$

to poszukiwana funkcja odwrotna.

Przykłady

Funkcja $f$ ma odwrotną $f^{-1};$ ponieważ $f$ odwzorowuje $a$ na 3, to $f^{-1}$ przekształca 3 w $a.$

• Przypisanie numeru PESEL każdemu (żyjącemu) Polakowi można odwrócić w naturalny sposób: znajdując Polaka według numeru PESEL. (Zakładając, że funkcja przypisująca PESEL jest injekcją, co nie jest prawdą z powodu błędów w przyznawaniu numerów PESEL)
• Funkcja logarytmiczna jest odwrotna do funkcji wykładniczej.
• Funkcją odwrotną do funkcji liczbowej danej wzorem $y(x)=3x$ jest funkcja $x(y)={\tfrac {y}{3}}.$
• Funkcja $f(n)=n^{2}$ nie jest odwracalna jako funkcja określona na zbiorze liczb całkowitych – chociażby dlatego, że $f(1)=f(-1)=1$ (nie jest różnowartościowa), jak również i na zbiorze liczb naturalnych, ponieważ nie jest surjekcją, w związku z tym funkcja dana wzorem $g(n)={\sqrt {n}}$ dla $n\in \mathbb {N}$ nie jest funkcją odwrotną do funkcji $f.$
• Funkcją odwrotną do funkcji danej wzorem $h(x)={\tfrac {1}{x}}$ dla $x\neq 0$ jest ona sama, tzn. $h^{-1}(x)={\tfrac {1}{x}}$ (zob. Inwolucje).

Własności

Jednoznaczność

Jeżeli funkcja odwrotna do danej istnieje, to jest ona wyznaczona jednoznacznie: jest ona relacją odwrotną.

Symetria

Między funkcją a funkcją do niej odwrotną istnieje symetria. Dokładniej, jeśli odwrotną do $f$ jest $f^{-1},$ to odwrotną do $f^{-1}$ jest funkcja $f.$ Symbolicznie:

${\begin{aligned}&{\text{jeżeli }}&f^{-1}\circ f=\operatorname {id} _{X},\\&{\text{to }}&f\circ f^{-1}=\operatorname {id} _{Y}.\end{aligned}}$

Obserwacja ta zachodzi na mocy uwagi, iż odwrotność relacji jest inwolucją: powtórzenie tej operacji cofa do punktu wyjścia. Własność symetrii może być wyrażona krótko za pomocą wzoru:

$\left(f^{-1}\right)^{-1}=f.$

Odwrotność złożenia

Funkcją odwrotną do $g\circ f$ jest $f^{-1}\circ g^{-1}.$

Funkcja odwrotna do złożenia funkcji dana jest wzorem

$(g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}.$

Należy zwrócić uwagę na zmianę porządku $g$ i $f{:}$ aby odwrócić działanie $g$ następującego po $f$ należy najpierw odwrócić $f,$ a następnie odwrócić $g.$

Inwolucje

Jeżeli $X$ jest dowolnym zbiorem, to funkcja tożsamościowa na $X$ jest swoją własną odwrotnością:

$\operatorname {id} _{X}^{-1}=\operatorname {id} _{X}.$

Ogólniej, jeżeli funkcja $f\colon X\to X$ jest równa swojej odwrotności wtedy i tylko wtedy, gdy złożenie $f\circ f$ jest równe $\operatorname {id} _{X}.$ Takie funkcje nazywa się inwolucjami.

Zachowywane własności

• Funkcja odwrotna do funkcji monotonicznej jest monotoniczna: odwrotna do rosnącej jest rosnąca, zaś odwrotna do malejącej jest malejąca.
• Funkcja odwrotna do funkcji ciągłej $\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ jest ciągła.
• Funkcja odwrotna do funkcji różniczkowalnej $f(x)$ jest różniczkowalna wszędzie, z wyjątkiem obrazów punktów, dla których $f'(x)=0,$ w szczególności $(f^{-1})'(y)={\tfrac {1}{f'(x)}}$
• Dla funkcji rzeczywistej zmiennej rzeczywistej $f$ jej wykres w kartezjańskim układzie współrzędnych $OXY$ (o równaniu $y=f(x)$) jest symetryczny do wykresu funkcji odwrotnej do niej (o równaniu $y=f^{-1}(x)$) względem prostej $y=x$.