Funkcja odwrotna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Funkcja odwrotnafunkcja przyporządkowująca wartościom jakiejś funkcji jej odpowiednie argumenty, czyli działająca odwrotnie do niej.

Definicja[edytuj]

Funkcję nazywamy odwracalną w , gdy istnieje funkcja taka, że:

dla każdego
dla każdego .

Innymi słowy jest taką funkcją, że złożenia oraz są identycznościami, odpowiednio, na zbiorze i . Funkcję nazywamy funkcją odwrotną do i oznaczamy symbolem .

Bezpośrednio z definicji wynika, że jest funkcją odwracalną w wtedy i tylko wtedy, gdy jest funkcją wzajemnie jednoznaczną (bijekcją), czyli jednocześnie jest funkcją różnowartościową (iniekcją) i funkcją „na” (surjekcją).

Jeżeli f odwzorowuje X na Y, to odwzorowuje Y na X.

Oznaczenia nie należy mylić z symbolem .

Istnienie[edytuj]

Nie dla każdej funkcji istnieje funkcja do niej odwrotna.

Twierdzenie

Funkcja jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy jej relacja odwrotna jest funkcją nazywaną wówczas funkcją odwrotną; relacja odwrotna, to relacja otrzymana przez zamienienie miejscami jej argumentów.

Wynika z tego, iż relacja ze zbioru wartości do zbioru argumentów dla danej funkcji niebędącej bijekcją nie musi być funkcją.

Wyznaczanie[edytuj]

Wyznaczenie funkcji odwrotnej do danej polega na rozwiązaniu równania

względem niewiadomej . Rozwiązanie, czyli

,

to poszukiwana funkcja odwrotna.

Przykłady[edytuj]

Funkcja f ma odwrotną f-1; ponieważ f odwzorowuje a na 3, to f-1 przekształca 3 w a.
  • Przypisanie numeru PESEL każdemu (żyjącemu) Polakowi można odwrócić w naturalny sposób: znajdując Polaka według numeru PESEL.
  • Funkcja logarytmiczna jest odwrotna do funkcji wykładniczej.
  • Funkcją odwrotną do funkcji liczbowej danej wzorem jest funkcja .
  • Funkcja nie jest odwracalna jako funkcja określona na zbiorze liczb całkowitych – chociażby dlatego, że (nie jest różnowartościowa), jak również i na zbiorze liczb naturalnych, ponieważ nie jest surjekcją, w związku z tym funkcja dana wzorem dla nie jest funkcją odwrotną do funkcji f.
  • Funkcją odwrotną do funkcji danej wzorem dla jest ona sama, tzn. (zob. Inwolucje).

Własności[edytuj]

Jednoznaczność[edytuj]

Jeżeli funkcja odwrotna do danej istnieje, to jest ona wyznaczona jednoznacznie: jest ona relacją odwrotną.

Symetria[edytuj]

Między funkcją a funkcją do niej odwrotną istnieje symetria. Dokładniej, jeśli odwrotną do jest , to odwrotną do jest funkcja . Symbolicznie:

Obserwacja ta zachodzi na mocy uwagi, iż odwrotność relacji jest inwolucją: powtórzenie tej operacji cofa do punktu wyjścia. Własność symetrii może być wyrażona krótko za pomocą wzoru:

.

Odwrotność złożenia[edytuj]

Funkcją odwrotną do gf jest f–1g–1.

Funkcja odwrotna do złożenia funkcji dana jest wzorem

.

Należy zwrócić uwagę na zmianę porządku i : aby odwrócić działanie następującego po należy najpierw odwrócić , a następnie odwrócić .

Inwolucje[edytuj]

Jeżeli jest dowolnym zbiorem, to funkcja tożsamościowa na jest swoją własną odwrotnością:

.

Ogólniej, jeżeli funkcja jest równa swojej odwrotności wtedy i tylko wtedy, gdy złożenie jest równe . Takie funkcje nazywa się inwolucjami.

Zachowywane własności[edytuj]

  • Funkcja odwrotna do funkcji rosnącej (malejącej) jest rosnąca (malejąca).
  • Funkcja odwrotna do funkcji ciągłej jest ciągła.
  • Funkcja odwrotna do funkcji różniczkowalnej jest różniczkowalna wszędzie, z wyjątkiem obrazów punktów, dla których , w szczególności
  • Wykres funkcji odwrotnej do f jest symetryczny do wykresu f względem prostej