Funkcje eliptyczne Jacobiego

Funkcje eliptyczne Jacobiego – funkcje eliptyczne zdefiniowane przez Carla Jacobiego; wykazują podobieństwo do funkcji trygonometrycznych.

Definicje funkcji Jakobiego

Funkcje eliptyczne Jakobiego $\operatorname {sn} (x,k^{2}),$ $\operatorname {cn} (x,k^{2})$ i $\operatorname {dn} (x,k^{2})$ to funkcje spełniające następujące warunki:

• $\operatorname {sn} (F(x,k^{2}),k^{2})=\sin x;\quad \operatorname {sn} (0,k^{2})=0$
• $\operatorname {cn} (F(x,k^{2}),k^{2})=\cos x;\quad \operatorname {cn} (0,k^{2})=1$
• $\operatorname {dn} (F(x,k^{2}),k^{2})={\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}x}};\quad \operatorname {dn} (0,k^{2})=1$

gdzie $F$ to niezupełna całka eliptyczna pierwszego rodzaju.

Tw. Funkcje eliptyczne Jakobiego są funkcjami analitycznymi.

Definicje innych funkcji pochodzących od funkcji Jakobiego

Definiuje się też inne funkcje utworzone z ilorazów funkcji Jakobiego (w analogii do funkcji trygonometrycznych tg x, ctg x, itd.; np. tg x = sin x/ coś x):

${\begin{aligned}\operatorname {ns} (u)&={\frac {1}{\operatorname {sn} (u)}}\\[8pt]\operatorname {nc} (u)&={\frac {1}{\operatorname {cn} (u)}}\\[8pt]\operatorname {nd} (u)&={\frac {1}{\operatorname {dn} (u)}}\\[8pt]\operatorname {sc} (u)&={\frac {\operatorname {sn} (u)}{\operatorname {cn} (u)}}\\[8pt]\operatorname {sd} (u)&={\frac {\operatorname {sn} (u)}{\operatorname {dn} (u)}}\\[8pt]\operatorname {dc} (u)&={\frac {\operatorname {dn} (u)}{\operatorname {cn} (u)}}\\[8pt]\operatorname {ds} (u)&={\frac {\operatorname {dn} (u)}{\operatorname {sn} (u)}}\\[8pt]\operatorname {cs} (u)&={\frac {\operatorname {cn} (u)}{\operatorname {sn} (u)}}\\[8pt]\operatorname {cd} (u)&={\frac {\operatorname {cn} (u)}{\operatorname {dn} (u)}}\end{aligned}}$

Własności

Dla $K'=K(1-k^{2})$ i $K=K(1-k^{2})$ ($K$ to zupełna całka eliptyczna pierwszego rodzaju) można zapisać okresy funkcji:

• $\operatorname {sn} (x,k^{2})$ jako $4K$ oraz $2iK'$
• $\operatorname {cn} (x,k^{2})$ jako $4K$ oraz $2K+2iK'$
• $\operatorname {dn} (x,k^{2})$ jako $2K$ oraz $4iK'$

Funkcje Jacobiego przyjmują wartości rzeczywiste dla $0<k^{2}<1,$ a dla $k^{2}=0$ i $k^{2}=1$ redukują się do następujących funkcji:

• $\operatorname {sn} (x,0)=\sin x$
• $\operatorname {cn} (x,0)=\cos x$
• $\operatorname {dn} (x,0)=1$
• $\operatorname {sn} (x,1)=\operatorname {tgh} x$
• $\operatorname {cn} (x,1)=\operatorname {sech} x$
• $\operatorname {dn} (x,1)=\operatorname {sech} x$

Funkcje te spełniają też następujące zależności:

• $s^{2}+c^{2}=1$ (por. jedynka trygonometryczna)
• $k^{2}s^{2}+d^{2}=1$

gdzie $s=\operatorname {sn} (x,k^{2}),$ $c=\operatorname {cn} (x,k^{2})$ i $d=\operatorname {dn} (x,k^{2}).$

Ich pochodne dane są przez:

• ${\frac {\partial }{\partial x}}\operatorname {sn} (x,k^{2})=cd$
• ${\frac {\partial }{\partial x}}\operatorname {cn} (x,k^{2})=-sd$
• ${\frac {\partial }{\partial x}}\operatorname {dn} (x,k^{2})=-k^{2}sc$

Bibliografia

• XIII. Elliptic functions and integrals. W: Harry Bateman: Higher transcendental functions. T. II. 1953, s. 294–383.

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Jacobi Elliptic Functions, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12]  (ang.).