Funkcje eliptyczne Jacobiego

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Funkcje eliptyczne Jacobiegofunkcje eliptyczne (dwuokresowe funkcje meromorficzne) zdefiniowane przez Carla Jacobiego, wykazujące pewne podobieństwo do funkcji trygonometrycznych.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Funkcje \operatorname{sn}(x, k^2), \operatorname{cn}(x, k^2) i \operatorname{dn}(x, k^2) można zdefiniować jako funkcje analityczne w otoczeniu zera spełniające warunki:

  • \operatorname{sn}(F(x, k^2), k^2) = \sin x; \operatorname{sn}(0, k^2) = 0
  • \operatorname{cn}(F(x, k^2), k^2) = \cos x; \operatorname{cn}(0, k^2) = 1
  • \operatorname{dn}(F(x, k^2), k^2) = \sqrt {1-k^2\sin^2 x}; \operatorname{dn}(0, k^2) = 1

gdzie F to niezupełna całka eliptyczna pierwszego rodzaju.

Glaisher wprowadził też następujące oznaczenia:


\begin{align}
\operatorname{ns}(u) & = \frac{1}{\operatorname{sn}(u)} \\[8pt]
\operatorname{nc}(u) & = \frac{1}{\operatorname{cn}(u)} \\[8pt]
\operatorname{nd}(u) & = \frac{1}{\operatorname{dn}(u)} \\[8pt]
\operatorname{sc}(u) & = \frac{\operatorname{sn}(u)}{\operatorname{cn}(u)} \\[8pt]
\operatorname{sd}(u) & = \frac{\operatorname{sn}(u)}{\operatorname{dn}(u)} \\[8pt]
\operatorname{dc}(u) & = \frac{\operatorname{dn}(u)}{\operatorname{cn}(u)} \\[8pt]
\operatorname{ds}(u) & = \frac{\operatorname{dn}(u)}{\operatorname{sn}(u)} \\[8pt]
\operatorname{cs}(u) & = \frac{\operatorname{cn}(u)}{\operatorname{sn}(u)} \\[8pt]
\operatorname{cd}(u) & = \frac{\operatorname{cn}(u)}{\operatorname{dn}(u)}
\end{align}

Własności[edytuj | edytuj kod]

Dla K' = K(1-k^2) i K = K(1-k^2) (K to zupełna całka eliptyczna pierwszego rodzaju) można zapisać okresy funkcji:

  • \operatorname{sn}(x, k^2) jako 4K oraz 2 i K'
  • \operatorname{cn}(x, k^2) jako 4K oraz 2K + 2 i K'
  • \operatorname{dn}(x, k^2) jako 2K oraz 4 i K'

Funkcje Jacobiego przyjmują wartości rzeczywiste dla 0 < k^2 < 1, a dla k^2 = 0 i k^2 = 1 redukują się do następujących funkcji:

  • \operatorname{sn}(x, 0) = \sin x
  • \operatorname{cn}(x, 0) = \cos x
  • \operatorname{dn}(x, 0) = 1
  • \operatorname{sn}(x, 1) = \tanh x
  • \operatorname{cn}(x, 1) = \operatorname{sech} x
  • \operatorname{dn}(x, 1) = \operatorname{sech} x

Funkcje te spełniają też następujące zależności:

gdzie s = \operatorname{sn}(x, k^2), c = \operatorname{cn}(x, k^2) i d = \operatorname{dn}(x, k^2).

Ich pochodne dane są przez:

  • \frac{\partial}{\partial x} \operatorname{sn}(x, k^2) = c d
  • \frac{\partial}{\partial x} \operatorname{cn}(x, k^2) = - s d
  • \frac{\partial}{\partial x} \operatorname{dn}(x, k^2) = -k^2 s c

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  1. XIII. Elliptic functions and integrals. W: Harry Bateman: Higher transcendental functions. T. II. 1953, s. 294-383.

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]