Całki eliptyczne

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Całkami eliptycznymi nazywamy ważną klasę całek postaci

(1)

gdzie jest funkcją wymierną zmiennych x i y, a jest wielomianem o współczynnikach rzeczywistych stopnia 3 lub 4.

Nazwa całek eliptycznych[edytuj]

Z całkami eliptycznymi po raz pierwszy zetknięto się podczas obliczania obwodu elipsy, stąd też wzięły swoją nazwę. Nazwa ich nie jest jednak jednoznaczna, ponieważ w ścisłym znaczeniu dotyczy tylko tych całek postaci (1), które nie dają się wyrazić za pomocą funkcji elementarnych. Te z nich, które sprowadzają się do postaci skończonej, nazywa się całkami pseudoeliptycznymi.

Rodzaje całek eliptycznych[edytuj]

Choć całki postaci (1) nie wyrażają się zwykle przez funkcje elementarne, to każdą z nich można za pomocą podstawień doprowadzić do jednej z następujących trzech całek

Całek tych, jak pokazał Liouville, nie da już wyrazić się za pomocą funkcji elementarnych.

Legendre zastosował podstawienie t = sinφ, dzięki czemu całki te uprościły swoją postać do całek, które nazywamy odpowiednio całką eliptyczną pierwszego, drugiego i trzeciego rodzaju w postaci Legendre'a, tj.

  • - całka eliptyczna 1. rodzaju
  • - całka eliptyczna 2. rodzaju
  • - całka eliptyczna 3. rodzaju

Szczególnie ważne i często używane są pierwsze dwie z nich.

Całki eliptyczne oznaczone[edytuj]

Całki eliptyczne niezupełne[edytuj]

Powyższe całki eliptyczne 1. i 2. rodzaju traktowane jako całki oznaczone w granicach od 0 do oznacza się za Legendre'em odpowiednio

  • - eliptyczna całka oznaczona 1. rodzaju
  • - eliptyczna całka oznaczona 2. rodzaju

Parametr występujący w funkcjach oraz nazywamy modułem.

Całki eliptyczne zupełne[edytuj]

Całki eliptyczne oraz nazywamy całkami eliptycznymi niezupełnymi dla odróżnienia od całek eliptycznych zupełnych, które oblicza się w zakresie od 0 do

Wartości całek eliptycznych zupełnych oraz są stabelaryzowane i można je znaleźć w tablicach matematycznych.

Obliczanie obwodu elipsy[edytuj]

Praktyczną korzyścią z tabelaryzacji całek eliptycznych jest możliwość przybliżonego policzenia obwodu elipsy ze wzoru

gdzie e - mimośród elipsy.

Np. dla a = 2 oraz b = 1 mimośród wynosi e = 0,866, co daje w przybliżeniu obwód elipsy równy 9,69.

Całki eliptyczne jako podklasa całek Abela[edytuj]

Całki tego rodzaju, w których za zmienną y podstawia się dowolną funkcję algebraiczną zmiennej x, taką że

gdzie jest wielomianem względem zmiennych x i y, nazywa się czasem całkami Abela. Całki eliptyczne są więc podklasą całek Abela.

Funkcje odwrotne do całek eliptycznych[edytuj]

Funkcjami odwrotnymi do całek eliptycznych są funkcje eliptyczne. Na przykład funkcja eliptyczna Weierstrassa zmiennej zespolonej o parametrach jest funkcją odwrotną do funkcji wyrażonej przez całkę

tzn.

,

o ile .

Funkcjami odwrotnymi do całek eliptycznych są funkcje amplitudy.

Bibliografia[edytuj]

I. N. Bronsztejn, K. A. Siemiendiajew, Poradnik encyklopedyczny Matematyka, PWN, Warszawa 1959, str. 92-93 (Tablice całek), str. 409-410 definicje całek.