|
Ten artykuł należy dopracować: |
Dana jest funkcja
Jej pierwsza różnica skończona wyraża się wzorem
| | ![{\displaystyle \Delta y=\Delta f(x)=f(x+\Delta x)-f(x),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b8320beb616ef7352e60335f401be8afd172c8b) |
|
(1) |
gdzie:
jest ustalonym krokiem różnicowym.
Różnice skończone wyższych rzędów otrzymuje się według reguły
![{\displaystyle \Delta ^{n}y=\Delta ^{n-1}(\Delta y).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4573ed41c4c929b076d716e850802157c4b9ba6)
Tak na przykład
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Delta ^{2}y&=\Delta (\Delta y)\\[1ex]&=\Delta {\big [}f(x+\Delta x)-f(x){\big ]}\\[1ex]&={\big [}f(x+2\Delta x)-f(x+\Delta x){\big ]}-{\big [}f(x+\Delta x)-f(x){\big ]}\\[1ex]&=f(x+2\Delta x)-2f(x+\Delta x)+f(x).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08d2f25d50b3b326a7c31d544a90063c441fcf01)
Niech będzie
Dla
otrzymuje się
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Delta P(x)&=(x+1)^{3}-x^{3}=3x^{2}+3x+1,\\[1ex]\Delta ^{2}P(x)&={\big [}3(x+1)^{2}+3(x+1)+1{\big ]}-(3x^{2}+3x+1)=6x+6,\\[1ex]\Delta ^{3}P(x)&={\big [}6(x+1)+6{\big ]}-(6x+6)=6,\\[1ex]\Delta ^{n}P(x)&=0\quad \mathrm {dla} \;n>3.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4467c6bbf9949749e85090116ce020d75717fcc0)
Jak widać różnica skończona trzeciego rzędu, wielomianu trzeciego stopnia ma wartość stałą. Można wykazać, że jeżeli
![{\displaystyle P_{n}(x)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\ldots a_{n},\quad {}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3c0a646cfe6acb1cfbbebd2b0531fd9638b6584)
to
gdy ![{\displaystyle {}\;s>n.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1197ba1648b04ef7e626fdbe70e45585c704163a)
Symbol
można traktować jako pewien operator odwzorowujący funkcję
w funkcję
Operator ten ma trzy własności
![{\displaystyle \Delta (u+v)=\Delta u+\Delta v,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d088b19c6be55f6adc29f242de5e8264b573ec1)
![{\displaystyle \Delta (Cu)=C\Delta u,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb8d4686a814e369a0fe591b2d20e71f237afbf9)
![{\displaystyle \Delta ^{m}(\Delta ^{n}y)=\Delta ^{m+n}y.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e73e61b9cc3ab407db27fc4b41a909595e4f9b75)
Ze wzoru (1) wynika, że
![{\displaystyle f(x+\Delta x)=f(x)+\Delta f(x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba8616ff2ce668aa49c029d9247879f6a169093d)
Traktując operator
jako symboliczny mnożnik, możemy napisać
| | ![{\displaystyle f(x+\Delta x)=(1+\Delta )f(x),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb45fc4ce0b14c88eb5214855284ad2ba37e5ff0) |
|
(2) |
| | ![{\displaystyle f(x+n\Delta x)=(1+\Delta )^{n}f(x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4a8e7de3f2618a62edbf538246b801218ee4c71) |
|
(3) |
Wykorzystując wzór dwumienny Newtona, otrzymujemy
| | ![{\displaystyle f(x+n\Delta x)=\sum _{m=0}^{n}C\;\!_{n}^{m}\Delta ^{m}f(x),\quad C\;\!_{n}^{m}={\frac {n!}{m!(n-m)!}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83fe1d1d36b46429fd9e50df83fc4336a6dc8d8f) |
|
(4) |
oraz dzięki temu, że
| | ![{\displaystyle \Delta =(1+\Delta )-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2304722342bda0a5814beb0953c82ce9e080f) |
|
(5) |
możemy napisać
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Delta ^{n}f(x)&={\big [}(1+\Delta )-1{\big ]}^{n}f(x)\\[1ex]&=(1+\Delta )^{n}f(x)\\[1ex]&\quad -C_{n}^{1}(1+\Delta )^{n-1}f(x)\\[1ex]&\quad +C_{n}^{2}(1+\Delta )^{n-2}f(x)\\[1ex]&\quad -\ldots \\[1ex]&\quad +(-1)^{n-1}C\;\!_{n}^{n-1}(1+\Delta )f(x)\\[1ex]&\quad +(-1)^{n}f(x),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7a096e32c81e149dc469551c40d30549884408c)
a wykorzystując (3)
| | ![{\displaystyle {\begin{aligned}\Delta ^{n}f(x)&=f(x+n\Delta x)\\[1ex]&\quad -C_{n}^{1}f{\big [}x+(n-1)\Delta x{\big ]}\\[1ex]&\quad +C_{n}^{2}f{\big [}x+(n-2)\Delta x{\big ]}\\[1ex]&\quad -\ldots \\[1ex]&\quad +(-1)^{n-1}C\;\!_{n}^{n-1}f(x+\Delta x)\\[1ex]&\quad +(-1)^{n}f(x).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb53223bf3479b5e89169033995b82a70a927352) |
|
(6) |
W przypadku gdy funkcja
ma ciągłą pochodną
na odcinku
można wykazać[1], że
| | ![{\displaystyle \Delta ^{n}f(x)=(\Delta x)^{n}f^{(n)}(x+\theta n\Delta x),\quad 0<\theta <1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d64a72cf644e8850f589ccdaa97758552dd24306) |
|
(7) |
Wynika stąd, że
![{\displaystyle f^{(n)}(x+\theta n\Delta x)={\frac {\Delta ^{n}f(x)}{(\Delta x)^{n}}}\quad \to \quad f^{(n)}(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta ^{n}f(x)}{(\Delta x)^{n}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e75e01505612b435fa4b8ce4ec97db9f4c836d2d)
W zagadnieniach interpolacji funkcji
której rzędne
są dane dla równoodległych punktów
wykorzystuje się różnice skończone
Z drugiej równości otrzymujemy
![{\displaystyle y_{i+1}=y_{i}+\Delta y_{i}=(1+\Delta )y_{i},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/633687ccbdd395170235747b25e6b97dfb54a49f)
![{\displaystyle y_{i+2}=(1+\Delta )y_{i+1}=(1+\Delta )^{2}y_{i},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/772ea46588fb4d72dc3720fe2948f5171901fea9)
![{\displaystyle y_{i+3}=(1+\Delta )y_{i+2}=(1+\Delta )^{3}y_{i},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5cfc51642d0b9e97f1964ae7b93ef720c039609)
![{\displaystyle ............................}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b9d17ea28b63ebad2d4fba8013439650621d37d)
![{\displaystyle y_{i+n}=(1+\Delta )^{n}y_{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9ea8ab579447693f173e9579f6a25040f7f3a03)
Dzięki wzorowi dwumiennemu Newtona otrzymujemy
![{\displaystyle {\begin{aligned}y_{i+n}&=y_{i}\\[1ex]&\quad +C_{n}^{1}\Delta y_{i}\\[1ex]&\quad +C_{n}^{2}\Delta ^{2}y_{i}\\[1ex]&\quad \ldots \\[1ex]&\quad +\Delta ^{n}y_{i},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc82fd6e5369eaab6b44098aab5778cb0a609a12)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Delta ^{n}y_{i}&={\big [}(1+\Delta )-1{\big ]}^{n}\\[1ex]&=(1+\Delta )^{n}y_{i}\\[1ex]&\quad -C_{n}^{1}(1+\Delta )^{n-1}y_{i}\\[1ex]&\quad +\ldots \\[1ex]&\quad +C\;\!_{n}^{n-1}(1+\Delta )y_{i},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a99b8d4bbb9492fc3398688397382181f1fefc93)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Delta ^{n}y_{i}&=y_{n+i}\\[1ex]&\quad -C_{n}^{1}y_{n+i-1}\\[1ex]&\quad +C_{n}^{2}y_{n+i-2}\\[1ex]&\quad +\ldots \\[1ex]&\quad +(-1)^{n-1}C\;\!_{n}^{n-1}y_{i+1}\\[1ex]&\quad +(-1)^{n}y_{i}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a06b994afad0629a5fcc3b56bc5284831973a26)
Na przykład
![{\displaystyle \Delta ^{2}y_{i}=y_{i+2}-2y_{i+1}+y_{i},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1524bd984425f16dd0bb3eb7b03bf5d7bde2a3ea)
![{\displaystyle \Delta ^{3}y_{i}=y_{i+3}-3y_{i+2}+3y_{i+1}-y_{i},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cce11a70d525e2bec1e854275966823a4e6558fe)
![{\displaystyle ............................}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b9d17ea28b63ebad2d4fba8013439650621d37d)
Wzory (8) pozwalają tworzyć tablice różnic skończonych o postaci
![{\displaystyle {}\;x\;{}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b602a6887fa9a548beb888840bc391f27771053) |
![{\displaystyle {}\;y\;{}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/767a3865e770e8522ed5d285da5e7b9d1c0221e2) |
![{\displaystyle \Delta y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7caae142d915be8ef4d8c423bf91d1f6ea10e8e0) |
![{\displaystyle \Delta ^{2}y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95f6d3d67ede37da51f969d627d48b8a5d02cdee) |
|
![{\displaystyle x_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86f21d0e31751534cd6584264ecf864a6aa792cf) |
![{\displaystyle y_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d943dbbb0b56ca750c4d62c5b54b4ae29a773da) |
![{\displaystyle \Delta y_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9a24905dc680618b4f962fe3bb67eeb7bc12af7) |
![{\displaystyle \Delta ^{2}y_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e7f64bc6f51eba58a9f8e9f5d91403b122975d9) |
|
![{\displaystyle x_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8788bf85d532fa88d1fb25eff6ae382a601c308) |
![{\displaystyle y_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eef4db76d658a98219aca14df06d9869d2b43c42) |
![{\displaystyle \Delta y_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/294f3ef50bef9f26ae21465ef907e89bc5443601) |
![{\displaystyle \Delta ^{2}y_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a676b15d11fcbb593dbf78d414d983ef1872fc51) |
|
![{\displaystyle x_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7af1b928f06e4c7e3e8ebfd60704656719bd766) |
![{\displaystyle y_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7377c7399e662562cd420fa5c7ce49cfba574998) |
![{\displaystyle \Delta y_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc298ad924af5b8c4cf4f29ffb64d9d112572321) |
![{\displaystyle \Delta ^{2}y_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f1ae60b192b84effbd409023a7b0738a2890078) |
|
![{\displaystyle \ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b8619532e44ee1ccae3ab03405a6885260d09ed) |
![{\displaystyle \ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b8619532e44ee1ccae3ab03405a6885260d09ed) |
![{\displaystyle \ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b8619532e44ee1ccae3ab03405a6885260d09ed) |
![{\displaystyle \ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b8619532e44ee1ccae3ab03405a6885260d09ed) |
|
Przykładowo dla wielomianu
otrzymuje się dla kroku
i wartości początkowej
![{\displaystyle {}\;x\;{}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b602a6887fa9a548beb888840bc391f27771053) |
![{\displaystyle {}\;y\;{}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/767a3865e770e8522ed5d285da5e7b9d1c0221e2) |
![{\displaystyle \Delta y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7caae142d915be8ef4d8c423bf91d1f6ea10e8e0) |
![{\displaystyle \Delta ^{2}y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95f6d3d67ede37da51f969d627d48b8a5d02cdee) |
|
0 |
–1 |
3 |
8 |
12
|
1 |
2 |
11 |
20 |
12
|
2 |
13 |
31 |
32 |
12
|
3 |
44 |
63 |
44 |
12
|
4 |
107 |
107 |
56 |
12
|
5 |
214 |
163 |
68 |
12
|
![{\displaystyle \ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b8619532e44ee1ccae3ab03405a6885260d09ed) |
![{\displaystyle \ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b8619532e44ee1ccae3ab03405a6885260d09ed) |
![{\displaystyle \ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b8619532e44ee1ccae3ab03405a6885260d09ed) |
![{\displaystyle \ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b8619532e44ee1ccae3ab03405a6885260d09ed) |
|
W zagadnieniach interpolacji wygodnie jest wprowadzić pojęcie uogólnionej potęgi
| | ![{\displaystyle x^{[n]}=x(x-h)(x-2h)\ldots \,{\big [}x-(n-1)h{\big ]},\quad x^{[0]}=1,\quad 0^{[0]}=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/239597e8e8feaf9132673488324bf814471e59f4) |
|
(9) |
gdzie:
jest ustalonym krokiem.
Ze wzoru (1) wynika, że
![{\displaystyle x^{[n]}=x^{n},\;\;\mathrm {gdy} \;h=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bf01f8f86dfccc94157ed6f762be825784b4d70)
Pierwsza różnica skończona uogólnionej potęgi, po uwzględnieniu (9), wyraża się wzorem
| | ![{\displaystyle \Delta x^{[n]}=(x+h)^{[n]}-x^{[n]}=nhx^{[n-1]}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1c92aabed1f09ea6cb8c87775ba306203bee4a0) |
|
(10) |
Na zasadzie indukcji można dowieść, że
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Delta ^{k}x^{[n]}&=n(n-1)\ldots {\big [}n-(k-1){\big ]}\ h^{k}x^{[n-k]}\\[1ex]&={\frac {n!}{(n-k)!}}\ h^{k}x^{[n-k]},\qquad k=1,2,\dots ,n.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fccfc606d24910883be955056cde80f524543a3)
Ponieważ
jest wielomianem n-tego stopnia więc oczywiście
Dane są wartości
funkcji
na zbiorze równoodległych punktów
Należy zbudować wielomian interpolacyjny
taki, który spełnia warunki
| | ![{\displaystyle P_{n}(x_{i})=f(x_{i}),\quad i=0,1,\dots ,n.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce10dad2cfcb7560272a4d70344f2d708543c784) |
|
(11) |
Warunki te są równoważne warunkom
![{\displaystyle \Delta ^{m}P_{n}(x_{0})=\Delta ^{m}y_{0},\quad m=0,1,\dots ,n.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b400508fd8c313d54e473d8067d4ca615ac4320)
Zgodnie z koncepcją Newtona wielomianu
będziemy poszukiwać w postaci
![{\displaystyle {\begin{aligned}P_{n}(x)=a_{0}&+a_{1}(x-x_{0})\\[1ex]&+a_{2}(x-x_{0})(x-x_{1})\\[1ex]&\ldots \\[1ex]&+a_{n}(x-x_{0})(x-x_{1})\ldots (x-x_{n-1})\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7cfc83ecc5e566961fd7c61df7543eb80829860)
lub
| | ![{\displaystyle {\begin{aligned}P_{n}(x)=a_{0}&+a_{1}(x-x_{0})^{[1]}\\[1ex]&+a_{2}(x-x_{0})^{[2]}\\[1ex]&\ldots \\[1ex]&+a_{n}(x-x_{0})^{[n]}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcb8db5f7d8391da8577b51bde8e76383ce3e2e4) |
|
(12) |
Korzystając ze wzoru (10), możemy napisać
![{\displaystyle {\begin{aligned}P_{n}(x)=a_{0}&+a_{1}(x-x_{0})^{[1]}\\&+a_{2}(x-x_{0})^{[2]}\\&\ldots \\&+a_{n}(x-x_{0})^{[n]},\\\\\Delta P_{n}(x)=0&+a_{1}\Delta (x-x_{0})^{[1]}\\&+a_{2}\Delta (x-x_{0})^{[2]}\\&\ldots \\&+a_{n}\Delta (x-x_{0})^{[n]}\\[4px]=a_{1}h&+2a_{2}(x-x_{0})^{[1]}h\\&+3a_{3}(x-x_{0})^{[2]}h\\&\ldots \\&+na_{n}(x-x_{0})^{[n-1]}h,\\\\\Delta ^{2}P_{n}(x)=0&+1\cdot 2h^{2}a_{2}\\&+2\cdot 3h^{2}a_{3}(x-x_{0})^{[1]}\\&\ldots \\&+(n-1)nh^{2}(x-x_{0})^{[n-1]}\\[4px]=1\cdot 2a_{2}h^{2}&+2\cdot 3a_{3}(x-x_{0})h^{2}\\&\ldots \\&+(n-1)n(x-x_{0})^{[n-2]}h^{2},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49d16a734610a66a3ffd2d9d3c49d27514fbd26b)
![{\displaystyle ............................................}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4df18aced22c97d67bd8a2ac9ac3513662cbb096)
| | ![{\displaystyle \Delta ^{m}P_{n}(x)=\sum _{i=m}^{n}{\frac {i!}{(i-m)!}}a_{i}(x-x_{0})^{[i-m]}h^{m}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e40db8c304262c7779805301f24240d5d674cd55) |
|
(13) |
Ze wzoru (13) wynika, że dla
| | ![{\displaystyle \Delta ^{m}P_{n}(x_{0})=\sum _{i=m}^{n}{\frac {i!}{(i-m)!}}a_{i}(x_{0}-x_{0})^{[i-m]}h^{m}=m!h^{m}a_{m}\quad \to \quad a_{m}={\frac {\Delta ^{m}P_{n}(x_{0})}{m!h^{m}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a11762facaf2f6d4cc43a2a8138c02933b5ab163) |
|
(14) |
Na podstawie (12) i (14) otrzymujemy interpolacyjny wielomian Newtona w postaci
| | ![{\displaystyle {\begin{aligned}P_{n}(x)=y_{0}+{}&{\frac {\Delta y_{0}}{1!h}}(x-x_{0})^{[1]}\\[1ex]+\ &{\frac {\Delta ^{2}y_{0}}{2!h^{2}}}(x-x_{0})^{[2]}\\[1ex]\ldots &\\[1ex]+\ &{\frac {\Delta ^{n}y_{0}}{n!h^{n}}}(x-x_{0})^{[n]}\\[1ex]=\sum _{i=0}^{n}&{\frac {\Delta ^{i}y_{0}}{i!h^{i}}}(x-x_{0})^{[i]},\quad \Delta ^{0}=1,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6760b05b4a566247880e3dc9742aed5ececa5d60) |
|
(15) |
gdzie:
![{\displaystyle y_{0}=P_{n}(x_{0})=a_{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bf6d8ec3f65eab56df89a5c24b4815f805e182c)
Na podstawie wzoru (15) można obliczyć wartości
uwzględniając, że
![{\displaystyle {\begin{aligned}(x_{k}-x_{0})^{[i]}&=(x_{k}-x_{0})(x_{k}-x_{1})\ldots \,(x_{k}-x_{i-1})\\[1ex]&=k(k-1)(k-2)\ldots \,{\big [}k-(i-1){\big ]}h^{i}={\frac {k!}{(k-i)!}}h^{i},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a73cda06f1133c22a49e253418f856ce92a94d0e)
![{\displaystyle (1+\Delta )^{k}=\sum _{i=0}^{n}C\;\!_{k}^{i}\Delta ^{i},\quad C\;\!_{k}^{i}={\frac {k!}{i!(k-i)!}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47b47b68d4cdeeff4d98f44717807168760d0758)
Ostatecznie otrzymujemy
![{\displaystyle P_{n}(x_{k})=\sum _{i=0}^{n}{\frac {\Delta ^{i}y_{0}}{i!h^{i}}}{\frac {k!}{(k-i)!}}h^{i}=\sum _{i=0}^{n}C\;\!_{k}^{i}\Delta ^{i}y_{0}=(1+\Delta )^{k}y_{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd7154be82d6a5e1e3d8b77ff8c055b425a6317f)
Po wprowadzeniu nowej zmiennej
![{\displaystyle q={\frac {x-x_{0}}{h}}\quad \to \quad q^{[i]}={\frac {(x-x_{0})^{[i]}}{h^{i}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3593cb5cc21eedb365a7e6768b1ffc9b92ab0503)
wzór (15) przyjmuje postać pierwszej formuły Newtona
| | ![{\displaystyle P_{n}(x)=\sum _{i=0}^{n}{\frac {\Delta ^{i}y_{0}}{i!}}q^{[i]},\quad q^{[i]}=q(q-1)(q-2)\ldots \,{\big [}q-(i-1){\big ]},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe7b69e972344be2eda1725d0d794edb27c3109a) |
|
(16) |
przy czym
![{\displaystyle {\frac {q^{[i]}}{i!}}=\sum _{m=1}^{i}c_{mi}\lambda ^{m}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/171b31a199e5d81f36caf2074efcaf8203104a07)
Współczynniki
zostały stablicowane[2].
Dla
otrzymujemy
– dla interpolacji liniowej,
– dla interpolacji kwadratowej,
– dla interpolacji sześciennej.
Tym razem poszukuje się wielomianu o postaci
![{\displaystyle {\begin{aligned}P_{n}(x)&=a_{0}\\&\quad +a_{1}(x-x_{n})\\&\quad +a_{2}(x-x_{n})(x-x_{n-1})\\&\quad \ldots \\&\quad +a_{n}(x-x_{n})(x-x_{n-1})\ldots (x-x_{1})\\&=\sum _{i=0}^{n}a_{i}(x-x_{n-i+1})^{[i]},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95d6d934e3bb85ff2dcb46c8e06edcc96ff62c21)
gdzie:
![{\displaystyle (x-x_{k})^{[i]}=(x-x_{n})(x-x_{n-1})(x-x_{n-2})\ldots (x-x_{k}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/942378de22c6cadc2b165f6a6ef48bd6193ee9bf)
Dla obliczenia współczynników
wykorzystuje się wzory na kolejne różnice
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Delta P_{n}(x)=0&+a_{1}\ h\\&+a_{2}\ 2h(x-x_{n-1})\\&+a_{3}\ 3h(x-x_{n-2})^{[2]}\\&\ldots \\&+a_{n}\ nh(x-x_{1})^{[n-1]},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c28db4b3cd2b3380963e60f0a35ddf9412e6d1f)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Delta ^{2}P_{n}(x)&=1\cdot 2a_{2}h^{2}\\&\,+2\cdot 3a_{3}h^{2}(x-x_{n-2})\\&\,+3\cdot 4a_{4}h^{2}(x-x_{n-3})^{[2]}\\&\,\dots \\&\,+n(n-1)a_{n}h^{2}(x-x_{1})^{[n-2]},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9534bd0ec3ac9759dc727d96799f181c5a34c6e)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Delta ^{3}P_{n}(x)&=1\cdot 2\cdot 3a_{3}h^{3}\\&\,+2\cdot 3\cdot 4a_{4}h3(x-x_{n-3})\\&\,\dots \\&\,+(n-2)(n-1)na_{n}h^{3}(x-x_{1})^{[n-3]},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31fa973265457ec57b5bf4e0eb31e01e86191001)
![{\displaystyle ................................}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0dd11dfc993aae07db3ec175b1834a4b21aa690b)
![{\displaystyle \Delta ^{m}P_{n}(x)=\sum _{i=m}^{n}{\frac {i!}{(i-m)!}}a_{i}h^{m}(x-x_{n-i+1})^{[i-m]}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aed48415f5e9fa6ca968469905bed37850232665)
Z powyższych wzorów wynika, że
![{\displaystyle a_{m}={\frac {\Delta ^{m}P_{n}(x_{n-m})}{m!h^{m}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26053cdf9dbb985e648bf55fe9d77928c8f90324)
i dzięki temu poszukiwany wielomian można zapisać w postaci
![{\displaystyle {\begin{aligned}P_{n}(x)&=\sum _{i=0}^{n}{\frac {\Delta ^{i}P_{n}(x_{n-i})}{i!h^{i}}}(x-x_{n-i+1})^{[i]}\\&=P_{n}(x_{n})+{\frac {\Delta ^{1}P_{n}(x_{n-1})}{1!h}}(x-x_{n})\\&\qquad \qquad \;+{\frac {\Delta ^{2}P_{n}(x_{n-2})}{2!h^{2}}}(x-x_{n})(x-x_{n-1})\\[1ex]&\qquad \qquad \;\ldots \\[1ex]&\qquad \qquad \;+{\frac {\Delta ^{n}P_{n}(x_{0})}{n!h^{n}}}(x-x_{n})(x-x_{n-1})\ldots (x-x_{1}).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0f013515dfb40946a59e0e1febb86d2a6d6050c)
Po wprowadzeniu nowej zmiennej
![{\displaystyle q={\frac {x-x_{n}}{h}}\quad \to \quad {\frac {x-x_{n-i}}{h}}=q+i,\quad i=0,1,\dots ,n-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e1765a5ecbf07a1dd87caf4937e801262bb4be5)
powstaje druga formuła Newtona
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{1}P_{n}(x)&=P_{n}(x_{n})&{}+{}q\Delta P_{n}(x_{n-1})\\[1ex]&&{}+{}{\frac {q(q+1)}{2!}}\Delta ^{2}P_{n}(x_{n-2})\\&&{}+{}{\frac {q(q+1)(q+2)}{3!}}\Delta ^{3}P_{n}(x_{n-3})\\&&\ \ldots \\&&{}+{}{\frac {q(q+1)\ldots {\big [}q+(n-1){\big ]}}{n!}}\Delta ^{n}P_{n}(x_{0})\\&=P_{n}(x_{n})&{}+{}\sum _{i=1}^{n}{\frac {q^{[i]}}{i!}}\Delta ^{i}P_{n}(x_{n-i}),\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f927d003f97783d8aac5ea98ed0ebd5a87e35e3e)
gdzie:
![{\displaystyle q^{[i]}=q(q+1)(q+2)\ldots {\big [}q+(i-1){\big ]},\quad i=1,2,\dots ,n.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c50325ad759bee9fe2e096d267bde4cd0b9ff0fe)
Zarówno pierwsza, jak i druga formuła Newtona umożliwiają nie tylko interpolację w przedziale
ale również ekstrapolację na zewnątrz tego przedziału. Tak więc formułę pierwszą stosuje się do interpolacji wprzód i ekstrapolacji wstecz z punktu
a formułę drugą do interpolacji wstecz i ekstrapolacji wprzód z punktu
Przy czym ekstrapolacja jest mniej dokładna od interpolacji.
Za pomocą obydwu formuł możliwa jest interpolacja tzw. różnicami centralnymi. Należy w tm celu, w przypadku korzystania z formuły pierwszej, zastosować wzory
![{\displaystyle x_{i}=x_{0}+ih,\quad i=0,\,\pm 1,\,\pm 2,\dots ,\quad y_{i}=f(x_{i}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ca8e305efcc0daad04a84ccb29f5e4e8bd975c7)
itd.
Dane jest
równo odległych węzłów interpolacji
![{\displaystyle x_{-n},\,x_{n-1},\dots ,\,x_{-1},\,x_{0},\,x_{1},\,x_{2},\dots ,\,x_{n-1},\,n,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83543e7a5f89a6f894455ab7c95e99b3c0fc6819)
gdzie:
![{\displaystyle \Delta x_{i}=x_{i+1}-x_{i}=h=\mathrm {const} ,\quad i=-n,\,-(n-1),\dots ,\,n-1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f92f33f56f8b35e7c3617ea6bc5d9a372275fe4)
Dane są również wartości funkcji interpolowanej
![{\displaystyle y_{i}=f(x_{i}),\quad i=0,\,\pm 1,\dots ,\,\pm n.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b8b5c6df88de44ec5ae4294c54f48044b83588d)
Należy zbudować wielomian
taki, że
![{\displaystyle P_{2n+1}(x_{i})=y_{i},\quad i=0,\,\pm 1,\dots ,\pm n.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e1e2edd498c797784a80ad0f48102ae9697200b)
Z żądania tego wynika, że
| | dla ![{\displaystyle {}\;i,k,\dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c46ab8322828298f01da95d59bf96e7f9138f994) |
|
(a) |
Wielomianu szukamy w postaci
![{\displaystyle {\begin{aligned}P_{2n+1}(x)=a_{0}&+a_{1}(x-x_{0})\\&+a_{2}(x-x_{0})(x-x_{1})\\&+a_{3}(x-x_{-1})(x-x_{0})(x-x_{1})\\&+a_{4}(x-x_{-1})(x-x_{0})(x-x_{1})(x-x_{2})\\&+a_{5}(x-x_{-2})(x-x_{-1})(x-x_{0})(x-x_{1})(x-x_{2})\\&\ldots \\&+a_{2n-1}(x-x_{-(n-1)})\ldots (x-x_{-1})(x-x_{0})(x-x_{1})\ldots (x-x_{n-1})\\&+a_{2n}(x-x_{-(n-1)})\ldots (x-x_{-1})(x-x_{0})(x-x_{1})\ldots (x-x_{n-1})(x-x_{n})\\=a_{0}&+a_{1}(x-x_{0})^{[1]}\\&+a_{2}(x-x_{0})^{[2]}\\&+a_{3}(x-x_{-1})^{[3]}\\&+a_{4}(x-x_{-1})^{[4]}\\&\ldots \\&+a_{2n-1}(x-x_{-(n-1)})^{[2n-1]}\\&+a_{2n}(x-x_{-(n-1)})^{[2n]}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea115a2974d1914f29b1b1bc395b8d7bb49355f1)
Współczynniki wielomianu
oblicza się w ten sam sposób co w formułach Newtona, wykorzystując wzór (a). Otrzymujemy w ten sposób wzory
![{\displaystyle a_{0}=y_{0},\quad a_{2m-1}={\frac {\Delta ^{2m-1}y_{-(m-1)}}{(2m-1)!h^{2m-1}}},\quad a_{2m}={\frac {\Delta ^{2m}y_{-m}}{(2m)!h^{2m}}},\quad m=1,2,\dots ,n.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a9993dccbcca195d7f9835848046861ed759029)
Wprowadzając nową zmienną
![{\displaystyle q={\frac {x-x_{0}}{h}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9a5fe091531750171c51805d6f8ea894ad47393)
otrzymujemy pierwszą formułę Gaussa w postaci
| | ![{\displaystyle {\begin{aligned}P_{2n+1}(x)=y_{0}&+q\Delta y_{0}\\[1ex]&+{\frac {q(q-1)}{2!}}\Delta ^{2}y_{-1}\\&+{\frac {(q+1)q(q-1)}{3!}}\Delta ^{3}y_{-1}\\&+{\frac {(q+1)q(q-1)(q-2)}{4!}}\Delta ^{4}y_{-2}\\&+{\frac {(q+2)(q+1)q(q-1)(q-2)}{5!}}\Delta ^{5}y_{-2}\\[1ex]&\ldots \\[1ex]&+{\frac {(q+n-1)\ldots \,(q-n+1)}{(2n-1)!}}\Delta ^{2n-1}y_{-(n-1)}\\&+{\frac {(q+n-1)\ldots \,(q-n)}{(2n)!}}\Delta ^{2n}y_{-n}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fac2df9bb51e4c41966c5eacf4ec42072a2e53a) |
|
(b) |
albo krócej
| | ![{\displaystyle {\begin{aligned}P_{2n+1}(x)=y_{0}&+q\Delta y_{0}\\[1ex]&+{\frac {q^{[2]}}{2!}}\Delta ^{2}y_{-1}\\[1ex]&+{\frac {(q+1)^{[3]}}{3!}}\Delta ^{3}y_{-1}\\[1ex]&+{\frac {(q+1)^{[4]}}{4!}}\Delta ^{4}y_{-2}\\[1ex]&\ldots \\[1ex]&+{\frac {(q+n-1)^{[2n-1]}}{(2n-1)!}}\Delta ^{2n-1}y_{-(n-1)}\\[1ex]&+{\frac {(q+n-1)^{[2n]}}{(2n)!}}\Delta ^{2n}y_{-n},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23119458b2b7060f98e679168df8e3c068300afc) |
|
(c) |
gdzie:
![{\displaystyle q={\frac {x-x_{0}}{h}},\quad q^{[m]}=q(q-1)\ldots \,{\big [}q-(m-1){\big ]}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef0bd95cc04b596996d828479220df74a3e975b3)
Ta formuła zawiera różnice
![{\displaystyle \Delta y_{0},\;\Delta ^{2}y_{-1},\;\Delta ^{3}y_{-1},\;\Delta ^{4}y_{-2},\;\Delta ^{5}y_{-2},\;\Delta ^{6}y_{-3},\dots ,\Delta ^{2n-1}y_{-(n-1)},\;\Delta ^{2n}y_{-n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a4282a5e308a9307fcac12ea5daf09e72271144)
Druga formuła Gaussa ma postać
| | ![{\displaystyle {\begin{aligned}P_{2n+1}(x)=y_{0}&+q\Delta y_{-1}\\[2px]&+{\frac {(q+1)^{[2]}}{2!}}\Delta ^{2}y_{-1}\\[2px]&+{\frac {(q+1)^{[3]}}{3!}}\Delta ^{3}y_{-2}\\[2px]&+{\frac {(q+2)^{[4]}}{4!}}\Delta ^{4}y_{-2}\\[2px]&\ldots \\[2px]&+{\frac {(q+n-1)^{[2n-1]}}{(2n-1)!}}\Delta ^{2n-1}y_{-n}\\[2px]&+{\frac {(q+n)^{[2n]}}{(2n)!}}\Delta ^{2n}y_{-n},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f7f65346f4230c68c279b7440cfd81e8c6d653f) |
|
(c) |
gdzie:
![{\displaystyle q={\frac {x-x_{0}}{h}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81a8df6b92806ee1611b5ae5baaf9dd27cdd0f46)
Ta formuła zawiera różnice
![{\displaystyle \Delta y_{-1},\;\Delta ^{2}y_{-1},\;\Delta ^{3}y_{-2},\;\Delta ^{4}y_{-2},\;\Delta ^{5}y_{-3},\;\Delta ^{6}y_{-3},\dots ,\Delta ^{2n-1}y_{-n},\;\Delta ^{2n}y_{-n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52faaf9ee7e346c9ad5e9e408a80750b0dd22314)
Tę formułę otrzymuje się jako średnią arytmetyczną obydwu formuł Gaussa
![{\displaystyle {\begin{aligned}P_{2n+1}(x)=y_{0}&+q\cdot {\frac {\Delta y_{-1}+\Delta y_{0}}{2}}\\[1ex]&+{\frac {q^{2}}{2}}\cdot \Delta ^{2}y_{-1}\\[2px]&+{\frac {q(q^{2}-1^{2})}{3!}}\cdot {\frac {\Delta ^{3}y_{-2}+\Delta ^{3}y_{-1}}{2}}\\[1ex]&+{\frac {q^{2}(q^{2}-1^{2})}{4!}}\cdot \Delta ^{4}y_{-2}\\[1ex]&+{\frac {q(q^{2}-1^{2})(q^{2}-2^{2})}{5!}}\cdot {\frac {\Delta ^{5}y_{-3}+\Delta ^{5}y_{-2}}{2}}\\[1ex]&+{\frac {q^{2}(q^{2}-1^{2})(q^{2}-2^{2})}{6!}}\cdot \Delta ^{6}y_{-3}\\[1ex]&\ldots \\[1ex]&+{\frac {q(q^{2}-1^{2})(q^{2}-2^{2})(q^{2}-3^{2})\ldots {\big [}q^{2}-(n-1)^{2}{\big ]}}{(2n-1)!}}\\[1ex]&\qquad \cdot {\frac {\Delta ^{2n-1}y_{-n}+\Delta ^{2n-1}y_{-(n-1)}}{2}}\\[1ex]&+{\frac {q^{2}(q^{2}-1^{2})(q^{2}-2^{2})\ldots {\big [}q^{2}-(n-1)^{2}{\big ]}}{(2n)!}}\Delta ^{2n}y_{-n},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f16775653691420dd66f44a30007e925f21e841)
gdzie:
![{\displaystyle q={\frac {x-x_{0}}{h}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81a8df6b92806ee1611b5ae5baaf9dd27cdd0f46)
Formułę Bessela można wyprowadzić na podstawie drugiej formuły Gaussa zapisanej dla punktu początkowego
W tym celu we wzorze (c) należy: 1) powiększyć o 1 wartości indeksów w różnicach skończonych i 2) zmniejszyć o 1 wartości zmiennej
W ten sposób otrzymuje się
| |
![{\displaystyle {\begin{aligned}P_{2n+1}&=y_{1}+(q-1)\Delta y_{0}\\&+{\frac {q(q-1)}{2!}}\Delta ^{2}y_{0}\\&+{\frac {q(q-1)(q-2)}{3!}}\Delta ^{3}y_{-1}\\&+{\frac {(q+1)q(q-1)(q-2)}{4!}}\Delta ^{4}y_{-1}\\&+{\frac {(q+1)q(q-1)(q-2)(q-3)}{5!}}\Delta ^{5}y_{-2}\\[1ex]&\ldots \\[1ex]&+{\frac {(q+n-2)\ldots (q-n)}{(2n-1)!}}\Delta ^{2n-1}y_{-(n-1)}\\&+{\frac {(q+n-1)\ldots (q-n)}{(2n)!}}\Delta ^{2n}y_{-(n-1)}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2355fa5bd14f31fd3b0e40791b551735d8595fe) |
|
(d) |
Średnia arytmetyczna wzorów (c) i (d), po pewnych przekształceniach[1], daje w wyniku formułę Bessela
![{\displaystyle {\begin{aligned}P_{2n+1}(x)&={\frac {y_{0}+y_{1}}{2}}\\&+(q-{\tfrac {1}{2}})\cdot \Delta y_{0}\\&+{\frac {q(q-1)}{2!}}\cdot {\frac {\Delta ^{2}y_{-1}+\Delta ^{2}y_{0}}{2}}\\&+{\frac {(q-{\tfrac {1}{2}})q(q-1)}{3!}}\cdot \Delta ^{3}y_{-1}\\&+{\frac {q(q-1)(q+1)(q-2)}{4!}}\cdot {\frac {\Delta ^{4}y_{-2}+\Delta ^{4}y_{-1}}{2}}\\&+{\frac {(q-{\tfrac {1}{2}})q(q-1)(q+1)(q-2)}{5!}}\cdot \Delta ^{5}y_{-2}\\&+{\frac {q(q-1)(q+1)(q-2)(q+2)(q-3)}{6!}}\cdot {\frac {\Delta ^{6}y_{-3}+\Delta ^{6}y_{-2}}{2}}\\[1ex]&\ldots \\[1ex]&+{\frac {q(q-1)(q+1)(q-2)(q+2)\ldots (q-n)(q+n-1)}{2n!}}\cdot {\frac {\Delta ^{2n}y_{-n}+\Delta ^{2n}y_{-n+1}}{2}}\\&+{\frac {(q-{\tfrac {1}{2}})q(q-1)(q+1)(q-2)(q+2)\ldots (q-n)(q+n-1)}{(2n+1)!}}\cdot \Delta ^{2n+1}y_{-n}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aef303f87de9ab47d5187087b4eafb1e9cf3b5ef)
Wspólną cechą wszystkich metod różnicowych jest założenie, że
![{\displaystyle x_{i+1}=x_{i}+h,\;\;dla\;\;i=0,1,\dots ,h=\mathrm {const} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bcdb49215bf9cdffb20361f116320d3ee32fc0b)
W formule Lagrange’a założenie to nie jest spełnione i dlatego nie jest ona zaliczana do formuł różnicowych.
Na odcinku
dane są węzły interpolacji
i wartości
interpolowanej funkcji
Poszukiwany jest wielomian
stopnia
taki, który spełnia warunki
![{\displaystyle P_{n}(x_{i})=y_{i}.\quad i=0,1,\dots ,n.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea288388515dd6e0ce0e94af944484a6af1ce50c)
Budujemy wielomian
![{\displaystyle \varphi _{i}(x)=a_{i}(x-x_{0})(x-x_{1})\ldots (x-x_{i-1})(x-x_{i+1})\ldots (x-x_{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4390758b4ef4c6d049a9283ed497ed483b393fcc)
taki, że
Stąd
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\varphi _{i}(x_{i})=a_{i}(x_{i}-x_{0})(x_{i}-x_{1})\ldots (x_{i}-x_{i-1})(x_{i}-x_{i+1})\ldots (x_{i}-x_{n})=1,\\[1em]&a_{i}={\frac {1}{(x_{i}-x_{0})(x_{i}-x_{1})\ldots (x_{i}-x_{i-1})(x_{i}-x_{i+1})\ldots (x_{i}-x_{n})}},\\\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d41998d0f8aeef92396272437bf0cece6007d945)
| | ![{\displaystyle \varphi _{i}(x)={\frac {(x-x_{0})(x-x_{1})\ldots (x-x_{i-1})(x-x_{i+1})\ldots (x-x_{n})}{(x_{i}-x_{0})(x_{i}-x_{1})\ldots (x_{i}-x_{i-1})(x_{i}-x_{i+1})\ldots (x_{i}-x_{n})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b292bc54d0f9fb6ba675f936272e0bb78011e34) |
|
(e) |
i formuła Lagrange’a ma postać
![{\displaystyle P_{n}(x)=\sum _{i=0}^{n}\varphi _{i}(x)y_{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/556b90595e718099006bd04d6c33ea7eeac5c783)
Funkcję
można zapisać w sposób bardziej zwarty, posługując się wielomianem
![{\displaystyle w(x)=(x-x_{0})(x-x_{1})\ldots (x-x_{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c6191d554390b667748da209ec9b7c95cded19b)
i jego pochodną
![{\displaystyle {\begin{aligned}w^{'}(x)&=\sum _{i=0}^{n}(x-x_{0})(x-x_{1})\ldots (x-x_{i-1})(x-x_{i+1})\ldots (x-x_{n})\\&=\sum _{i=0}^{n}{\frac {w(x)}{x-x_{i}}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd618aabc462eacd8cfd69ad2a1df6b885f0c5d6)
![{\displaystyle w^{'}(x_{i})=(x_{i}-x_{0})(x_{i}-x_{1})\ldots (x_{i}-x_{i-1})(x_{i}-x_{i+1})\ldots (x-x_{n}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/108398c164b468aaf39e928830347456b44d0c3a)
Stąd na podstawie wzoru (e) dla
| | ![{\displaystyle \varphi _{i}(x)={\frac {w(x)}{(x-x_{i})w^{'}(x_{i})}}={\frac {w(x)}{D_{i}(x)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5c61b2e1724f06a23efa3237d6450b6c2354ba4) |
|
(f) |
gdzie:
![{\displaystyle {\begin{aligned}D_{i}(x)&=(x-x_{i})w^{'}(x_{i})\\[1ex]&=(x_{i}-x_{0})(x_{i}-x_{2})\\[1ex]&\qquad \ldots (x_{i}-x_{i-1})(x-x_{i})(x_{i}-x_{i+1})\\[1ex]&\qquad \ldots (x_{i}-x_{n}).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25834d97a4fcbee84780654f306b142ba7e76571)
Wielomian
można obliczyć jako iloczyn elementów tworzących wiersz
macierzy
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}x-x_{0}&x_{0}-x_{1}&x_{0}-x_{2}&\ldots &x_{0}-x_{n}\\x_{1}-x_{0}&x-x_{1}&x_{1}-x_{2}&\ldots &x_{1}-x_{n}\\x_{2}-x_{0}&x_{2}-x_{1}&x-x_{2}&\ldots &x_{2}-x_{n}\\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\x_{n}-x_{0}&x_{n}-x_{1}&x_{n}-x_{2}&\ldots &x-x_{n}\end{bmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e745dbb1835f70ed774179d77121de892e64109)
- Przykłady
- 1) Interpolacja liniowa:
![{\displaystyle n=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04d74ade48a04cf5d7a4d8a0f0a94a0bf6050973)
![{\displaystyle {\begin{aligned}w(x)&=(x-x_{0})(x-x_{1}),\\[1ex]w^{'}(x)&=(x-x_{1})+(x-x_{0}),\\[1ex]w^{'}(x_{0})&=x_{0}-x_{1},\\[1ex]w^{'}(x_{1})&=x_{1}-x_{0},\\[2ex]\varphi _{0}(x)&={\frac {x-x_{1}}{x_{0}-x_{1}}},\\[1ex]\varphi _{1}(x)&={\frac {x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}},\\[2ex]P_{n}(x)&=\varphi _{0}(x)y_{0}+\varphi _{1}(x)y_{1}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a0a9d356bf8c70b1d1cbb64302628e7c78c6bb1)
- 2) Interpolacja kwadratowa:
![{\displaystyle n=2.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a3701d87dff1aefe4e8ba56ae4d3952b93d57e9)
![{\displaystyle {\begin{aligned}w(x)&=(x-x_{0})(x-x_{1})(x-x_{2}),\\[1ex]w^{'}(x)&=(x-x_{1})(x-x_{2})+(x-x_{0})(x-x_{2})+(x-x_{0})(x-x_{1}),\\[1ex]w^{'}(x_{0})&=(x_{0}-x_{1})(x_{0}-x_{2}),\\[1ex]w^{'}(x_{1})&=(x_{1}-x_{0})(x_{1}-x_{2}),\\[1ex]w^{'}(x_{2})&=(x_{2}-x_{0})(x_{2}-x_{1}),\\[2ex]\varphi _{0}(x)&={\frac {(x-x_{1})(x-x_{2})}{(x_{0}-x_{1})(x_{0}-x_{2})}},\\[1ex]\varphi _{1}(x)&={\frac {(x-x_{0})(x-x_{2})}{(x_{1}-x_{0})(x_{1}-x_{2})}},\\[1ex]\varphi _{2}(x)&={\frac {(x-x_{0})(x-x_{1})}{(x_{2}-x_{0})(x_{2}-x_{1})}},\\[2ex]P_{n}(x)&=\varphi _{0}(x)y_{0}+\varphi _{1}(x)y_{1}+\varphi _{2}(x)y_{2}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39e3613a6a490afc89e56441dc6851cabe16a9fe)
W przypadku szczególnym, gdy węzły są równoodległe:
![{\displaystyle x_{i+1}=x_{i}+h,\quad h=\mathrm {const} ,\quad i=0,1,\dots ,n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c0e45276279f3fc5feff53ca8c85a609e2752c0)
można wprowadzić nową zmienną
i wtedy
![{\displaystyle w(x)=q(q-1)(q-2)\ldots (q-n)h^{n+1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/444a85182e076831a4103a5de705351032b6d8a9)
![{\displaystyle D_{m}(x)=(x-x_{m})w^{'}(x_{m})=(q-m)(-1)^{n-m}m!(n-m)!h^{n+1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31765a96f9bc3ca64f216c614b18de25a8cb095e)
![{\displaystyle \varphi _{m}(x)={\frac {w(x)}{D_{m}(x)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dd96281fbe84c257e7c9433c010752f140efb6c)
Wielomian
można utworzyć jako iloczyn elementów wiersza
macierzy
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}q&-1&-2&-3&\ldots &-n\\1&q-1&-1&-2&\ldots &-(n-1)\\2&1&q-2&-1&\ldots &-(n-2)\\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\\n&n-1&n-2&n-3&\ldots &q-n\end{bmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb2f424062b0d1f8860e1a04e59ce18ad66e53ac)
Różnicowe podejście do interpolacji funkcji
o wartościach danych na zbiorze węzłów równoodległych
![{\displaystyle {}\quad x_{i+1}=x_{i}+h,\quad h=\mathrm {const} ,\quad i=0,1,\dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad5a366659df784d2cdd4416caab721a40b91ed3)
można uogólnić na przypadek węzłów, które nie są równoodległe.
W tym celu wprowadza się pojęcie różnicy uogólnionej (pierwszego rzędu) zdefiniowanej jako
![{\displaystyle [x_{i},\,x_{i+1}]={\frac {y_{i+1}-y_{i}}{x_{i+1}-x_{i}}},\quad i=0,1,\dots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b68ff271850a40df9e3e90c2759d552cf40dd2d)
przy czym
![{\displaystyle \Delta x_{i}=x_{i+1}-x_{i}\neq 0,\quad i=0,1,\dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/466f610581952ad16617115c2cbd894946bb9c7f)
Na przykład
![{\displaystyle [x_{0},\,x_{1}]={\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}},\quad [x_{1},\,x_{2}]={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}},\quad \ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06a9af309b3b4dc0a6ceaef33f5ee70a5c7702ef)
Analogicznie określa się różnice uogólnione drugiego rzędu
![{\displaystyle [x_{i},\,x_{i+1},\,x_{i+2}]={\frac {[x_{i+1},\,x_{i+2}]-[x_{i},\,x_{i+1}]}{x_{i+2}-x_{i}}},\quad \ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f935fa6252b02e97bc63771b9f841fe3f5df93f)
Na przykład
![{\displaystyle [x_{0},\,x_{1},\,x_{2}]={\frac {[x_{1},\,x_{2}]-[x_{0},\,x_{1}]}{x_{2}-x_{0}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/365c42751635219bf30e7d32d33e6eeb5a02d73d)
Ogólnie
![{\displaystyle [x_{i},\,x_{i+1},\dots ,\,x_{i+n}]={\frac {[x_{i+1},\dots ,\,x_{i+n}]-[x_{i},\dots ,\,x_{i+n-1}]}{x_{i+n}-x_{i}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc462e0603719259a34b505780ea696f5f72f729)
![{\displaystyle {}\qquad i=0,1,2,\dots ,\quad n=1,2,\dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/841c73cfbb49c122caeaaa7b31642f11162c9349)
Ważną własnością różnic uogólnionych jest ich symetria względem swoich argumentów. Na przykład
![{\displaystyle [x_{0},\,x_{1}]={\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}={\frac {y_{0}-y_{1}}{x_{0}-x_{1}}}=[x_{1},\,x_{0}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4b8cf5ce57e1c6fcea74b62cd09a7a97af5958a)
lub
![{\displaystyle [x_{0},\,x_{1},\dots ,\,x_{k},\,x_{k+1},\dots ,\,x_{m}]=[x_{0},\,x_{1},\dots ,\,x_{k+1},\,x_{k},\dots ,\,x_{m}],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5424ba95f1602b02b7f2814cc4e93e41085bf52)
![{\displaystyle k=0,1,\dots ,\,m-1,\quad m=1,2,\dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7d5b1cb06c9d5e81e8660995f05844a57e862a8)
Kolejne różnice uogólnione najwygodniej jest obliczać według schematu tablicowego
x |
y |
rząd 1 |
rząd 2 |
rząd 3 |
rząd 4
|
![{\displaystyle x_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86f21d0e31751534cd6584264ecf864a6aa792cf) |
![{\displaystyle y_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d943dbbb0b56ca750c4d62c5b54b4ae29a773da) |
|
|
|
|
|
|
![{\displaystyle [x_{0},\,x_{1}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f85be8c96d4bdba1e7d7087b932a2cef518928bc) |
|
|
|
![{\displaystyle x_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8788bf85d532fa88d1fb25eff6ae382a601c308) |
![{\displaystyle y_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eef4db76d658a98219aca14df06d9869d2b43c42) |
|
![{\displaystyle [x_{0},\,x_{1},\,x_{2}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6506c1d840766e1a269557a2a969d786a3f79b7) |
|
|
|
|
![{\displaystyle [x_{1},\,x_{2}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b72e67b48d5ce77379812255d299102bfedaac3e) |
|
![{\displaystyle [x_{0},\,x_{1},\,x_{2},\,x_{3}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a1c831ffd94122122f52eeb8c1d2c4b152b9561) |
|
![{\displaystyle x_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7af1b928f06e4c7e3e8ebfd60704656719bd766) |
![{\displaystyle y_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7377c7399e662562cd420fa5c7ce49cfba574998) |
|
![{\displaystyle [x_{1},\,x_{2},\,x_{3}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d40fb30b3993b426097c7746b666d5fe021408a) |
|
|
|
|
![{\displaystyle [x_{2},\,x_{3}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/405c49873d0ff0bd67e1af0a6e1e0ae274ff7f9d) |
|
![{\displaystyle [x_{1},\,x_{2},\,x_{3},\,x_{4}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1372f3221528dda744fbfff777d1839de0b64c2b) |
|
![{\displaystyle x_{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/766d09a498699be10e276ad49145c921f8cbe335) |
![{\displaystyle y_{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e73a90104a9b6484a6bc2df35edf469d6307b2c) |
|
![{\displaystyle [x_{2},\,x_{3},\,x_{4}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e81dd6033984321e3e49295cb21b5b99d8893e7e) |
|
|
|
|
![{\displaystyle [x_{3},\,x_{4}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbd43f83250021df9212b7ba6bdf96565fc9eed3) |
|
|
|
![{\displaystyle x_{4}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb828766e82e496666b179ff70d8e2fd24a79e5f) |
![{\displaystyle y_{4}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6859e9003d906e626edc77215dd6a9a896fa3b1e) |
|
|
|
|
Lemat[1]: Jeżeli funkcja
jest wielomianem
-tego stopnia, to jego różnica uogólniona rzędu
jest tożsamościowo równa zeru, tzn.
![{\displaystyle [x,\,x_{0},\,x_{1},\dots ,\,x_{n}]\equiv 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9df888fb20f2a5a611f7b2f16724a1966c90a564)
dla dowolnego zbioru liczb
różniących się od siebie.
Wielomian
jest wielomianem, który zeruje się w punkcie
Ponieważ ten punkt jest pierwiastkiem wielomianu
więc zgodnie z twierdzeniem Bezout’a wielomian ten dzieli się bez reszty przez dwumian
Możemy więc napisać
![{\displaystyle [x,\,x_{0}]={\frac {P_{n}(x)-P_{n}(x_{0})}{x-x_{0}}}=P_{n-1}(x),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/364b2e11d2c01a3540f5d6313f6cb328f90bec7d)
przy czym
jest wielomianem stopnia
I dalej
![{\displaystyle [x,\,x_{0},\,x_{1}]={\frac {[x,\,x_{0}]-[x_{1},\,x_{0}]}{x-x_{1}}}={\frac {P_{n-1}(x)-P_{n-1}(x_{1})}{x-x_{1}}}=P_{n-2}(x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c1f7e19232a201d25239da7e47860c4f7f8e0ab)
![{\displaystyle [x,\,x_{0},\,x_{1},\,x_{2}]={\frac {[x,\,x_{0},\,x_{1}]-[x_{2},\,x_{0},\,x_{1}]}{x-x_{2}}}={\frac {P_{n-2}(x)-P_{n-2}(x_{2})}{x-x_{2}}}=P_{n-3}(x),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4875f93f506922854fa2202100e086ca2e7babd)
![{\displaystyle ..................................}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6481551a13f4300433e2144f615bf761921c7d19)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{}[x,\,x_{0},\,x_{1},\dots ,\,x_{m}]&={\frac {[x,\,x_{0},\,x_{1},\dots ,\,x_{m-1}]-[x_{m},\,x_{0},\,x_{1},\dots ,\,x_{m-1}]}{x-x_{m}}}\\&={\frac {P_{n-m}(x)-P_{n-m}(x_{m})}{x-x_{m}}}=P_{n-(m+1)}(x),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e47fbbc7e918ebeb8e857bbc2a6b05847e097fd9)
![{\displaystyle ..................................}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6481551a13f4300433e2144f615bf761921c7d19)
c.n.d.
Z powyższych związków wynika następująca formuła rekurencyjna
![{\displaystyle P_{n-m}(x)=P_{n-m}(x_{m})+P_{n-(m+1)}(x)(x-x_{m}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2a62f4f195ef9ea5a60d9c1016d714a30e8f04c)
dzięki której otrzymujemy uogólnioną formułę Newtona dla węzłów nierówno odległych[1]
![{\displaystyle {\begin{aligned}P_{n}(x)=P_{n}(x_{0})&+P_{n-1}(x)(x-x_{0})\\[1ex]=P_{n}(x_{0})&+P_{n-1}(x_{1})(x-x_{0})\\[1ex]&+P_{n-2}(x_{2})(x-x_{0})(x-x_{1})\\[1ex]&\ldots \\[1ex]&+P_{n-m}(x_{m})(x-x_{0})(x-x_{1})\ldots \,(x-x_{m-1})\\[1ex]&\ldots \\[1ex]&+P_{0}(x_{n})(x-x_{0})(x-x_{1})\ldots \,(x-x_{n-1})\\[1ex]&+0\cdot (x-x_{0})(x-x_{1})\ldots \,(x-x_{n}),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2795895d85d9c642333fcf86cf0de5a1c0c340c6)
gdzie:
![{\displaystyle P_{n-m}(x)=[x,\,x_{0},\,x_{1},\dots ,\,x_{m-1}],\quad m=1,2,\dots ,n.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d1052b9c2214285daed8bdc98c71817e6343fbb)
Dany jest zbiór wartości rzędnych
monotonicznej funkcji
określonych na zbiorze węzłów
Interpolacja odwrotna polega na tym[1], aby obliczyć taką wartość argumentu
funkcji
która odpowiada jej danej wartości
Interpolację taką najczęściej stosuje się wtedy, gdy wartości funkcji
dane są za pomocą tablicy zawierającej wartości jej rzędnych
W przypadku węzłów równoodległych funkcję
można interpolować wielomianem Newtona o postaci
![{\displaystyle y=y_{0}+{\frac {\Delta y_{0}}{1!}}q+{\frac {\Delta ^{2}y_{0}}{2!}}q(q-1)+\ldots +{\frac {\Delta ^{n}y_{0}}{n!}}q(q-1)\ldots \,(q-n+1),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1638760eb58a7c6283840041725cca68306969fe)
gdzie:
![{\displaystyle q={\frac {x-x_{0}}{h}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81a8df6b92806ee1611b5ae5baaf9dd27cdd0f46)
Zadanie interpolacji odwrotnej rozwiązuje się metodą iteracyjną kolejnych przybliżeń, przy czym korzysta się ze wzoru
![{\displaystyle q=\varphi (q),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42909bf852381e9b038de5536c4d379d33de44bd)
w którym
![{\displaystyle {\begin{aligned}\varphi (q)&={\frac {y-y_{0}}{\Delta y_{0}}}\\[1ex]&-{\frac {\Delta ^{2}y_{0}}{2!\Delta y_{0}}}q(q-1)\\&\ldots \\&-{\frac {\Delta ^{n}y_{0}}{n!\Delta y_{0}}}q(q-1)\ldots \,(q-n+1).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdc0475afdc9334712155b5a579d114403bd1615)
Jako pierwsze przybliżenie przyjmuje się wartość
![{\displaystyle q_{0}={\frac {y-y_{0}}{\Delta y_{0}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/040e946415f07231c2f71ff5016a238e38232a2f)
a następne przybliżenia otrzymuje się iteracyjnie według wzoru
![{\displaystyle q_{m}=\varphi (q_{m-1}),\quad m=1,2,\dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8dac9122bb20f6a57476d3818069b1615a727bcd)
aż do osiągnięcia wymaganej dokładności. Poszukiwaną wartość
oblicza się według wzoru
![{\displaystyle x=x_{0}+qh.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/794548ae9c6eab02054acffef1e8e0cf43565cb9)
W przypadku, gdy węzły nie są równoodległe wartość
można obliczyć, stosując formułę Newtona o postaci[1]
![{\displaystyle {\begin{aligned}x=x_{0}&+[y_{0},\,y_{1}](y-y_{0})\\[1ex]&+[y_{0},\,y_{1},\,y_{2}](y-y_{0})(y-y_{1})\\[1ex]&\ldots \\[1ex]&+[y_{0},\,y_{1},\dots y_{n}](y-y_{0})(y-y_{1})\ldots \,(y-y_{n-1}).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecaa7f7fe17e5a8fc442e9df9c67f57495d72fd0)
Wartość wyznacznika:
[edytuj | edytuj kod]
Wyznacznik charakterystyczny (wiekowy)
macierzy
jest funkcją parametru
którą można interpolować na zbiorze węzłów równoodleglych
za pomocą formuły Newtona o postaci
![{\displaystyle D(\lambda )=D(0)+\sum _{i=1}^{n}{\frac {\Delta ^{i}D(0)}{i!}}\lambda (\lambda -1),\dots ,(\lambda -i+1),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0757575108edba75b092ec26d24299f3fb9bf90e)
gdzie:
jest różnicą skończoną i-tego rzędu funkcji ![{\displaystyle D(\lambda ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b1b218a23e99239b582806f3a576214683e5730)
Po uwzględnieniu tożsamości[2]
![{\displaystyle {\frac {\lambda (\lambda -1)\ldots \,(\lambda -i+1)}{i!}}=\sum _{m=1}^{i}c_{mi}\lambda ^{m}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b60e83f492f48c48821300b434639ad39e5ae1e)
otrzymujemy wzór Markowa[1]
![{\displaystyle D(\lambda )=D(0)+\sum _{m=1}^{n}\lambda ^{m}\sum _{i=m}^{n}c_{mi}\Delta ^{i}D(0).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5dc9ebaeab9a6f4077d1e64c940ab85c1b07179c)
W przypadku, gdy
wzór ten przybiera postać
![{\displaystyle D(\lambda )=D(a)+\sum _{m=1}^{n}(\lambda -a)^{m}\sum _{i=m}^{n}c_{mi}h^{i}\Delta ^{i}D(a).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95081183a06180559f900ed5b8a20e4650f77904)
W przypadku, gdy funkcja dwu zmiennych
jest określona za pomocą tablicy jej wartości
można zdefiniować dwoiste różnice skończone pierwszego rzędu
![{\displaystyle \Delta _{x}z_{ij}=z_{i+1,j}-z_{ij},\quad \Delta _{y}z_{ij}=z_{i,j+1}-z_{ij}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/119e7d10a7f348eddf9d036609a19bc9ba4113ac)
i wyższych rzędów
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\Delta ^{m+n}z_{ij}\\[2px]={}&\Delta _{x^{m}y^{n}}^{m+n}z_{ij}\\[2px]={}&\Delta _{x^{m}}^{m}\left(\Delta _{y^{n}}^{n}z_{ij}\right)\\[2px]={}&\Delta _{x^{n}}^{n}\left(\Delta _{y^{m}}^{m}z_{ij}\right),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b13324c12aa6c9e74a515bd7bb4955338c83fd3)
przy czym
Na przykład
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Delta ^{1+2}z_{ij}&=\Delta _{x}(\Delta _{yy}^{2}z_{ij})\\[1ex]&=\Delta _{x}(z_{i,j+2}-2z_{i,j+1}+z_{ij})\\[1ex]&=(z_{i+1,j+2}-2z_{i+1,j+1}+z_{i+1,j})-(z_{i,j+2}-2z_{i,j+1}+z_{ij}).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28447b8160263f05ca248034df377cccb539908d)
Dla funkcji dwu zmiennych
można zbudować wielomian interpolacyjny Newtona
taki, że
![{\displaystyle \Delta _{x^{m}y^{n}}^{m+n}P(x_{0},y_{0})=\Delta ^{m+n}f(x_{0},y_{0})=\Delta ^{m+n}z_{00},\;\;m,n=0,1,2,\dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e77a82f88ca9582695a4f59e225a07591cbb127)
Wielomian ten ma następującą postać
![{\displaystyle {\begin{aligned}P(x,y)=c_{00}&+c_{10}(x-x_{0})\\[1ex]&+c_{01}(y-y_{0})\\[1ex]&+c_{20}(x-x_{0})(x-x_{1})\\[1ex]&+c_{11}(x-x_{0})(y-y_{0})\\[1ex]&+c_{02}(y-y_{0})(y-y_{1})\\[1ex]&\ldots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/697c56ce640c55baf3fe69224e29ef54aae6393f)
Podstawiając
otrzymujemy
![{\displaystyle P(x_{0},y_{0})=z_{00}=c_{00},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cf71e1183810cdc7acbb15dbb541ba206d1d50b)
a na podstawie różnic pierwszego rzędu
![{\displaystyle \Delta _{x}P(x,y)=c_{10}h+2c_{20}h(x-x_{0})+c_{11}h(y-y_{0})+\dots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c87551ba2702fd91f831364a219bcb915bb4f0f)
![{\displaystyle \Delta _{y}P(x,y)=c_{01}k+c_{11}k(x-x_{0})+2c_{02}k(y-y_{0})+\dots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/606d9dc5c7b66686b19f9a35c17c32c33d4a4dd9)
po podstawieniu
![{\displaystyle \Delta _{x}P(x_{0},y_{0})=\Delta ^{1+0}z_{00}=c_{10}h,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33555d04ad4034a49d281986f918386f348dcacf)
![{\displaystyle \Delta _{y}P(x_{0},y_{0})=\Delta ^{0+1}z_{00}=c_{01}k.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2de8254d6ca1daa906e203f6cdc2a4430f0946bd)
Stąd otrzymujemy
![{\displaystyle c_{10}={\frac {\Delta ^{1+0}z_{00}}{h}},\quad c_{01}={\frac {\Delta ^{0+1}z_{00}}{k}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a34b0548913fe0dcfb00fa9dcfa00bd0a7015a6)
Ze wzorów na różnice drugiego rzędu
![{\displaystyle \Delta _{xx}P(x,y)=2!c_{20}h^{2}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41622f7ca07d36e41f03f47e9f4c83e888d1fd0b)
![{\displaystyle \Delta _{xy}P(x,y)=c_{11}hk+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cf61275b24c2451c7fc8139f1a16181da498c22)
![{\displaystyle \Delta _{yy}P(x,y)=2!c_{02}k^{2}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/990819b16d5a9ac09990eeba03091e004a2c2ed9)
wynika, po podstawieniu
że
![{\displaystyle \Delta _{xx}P(x,y)=2!c_{20}h^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c96ea4863b2f8a1905fbf8729e2e5de32cba8d95)
![{\displaystyle \Delta _{xy}P(x,y)=c_{11}hk,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/347530f536a985086800905a03531b9e2ed22d5a)
![{\displaystyle \Delta _{yy}P(x,y)=2!c_{02}k^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1221648975e4b950a54b19bb193e6ab913ddd6a7)
a stąd
![{\displaystyle c_{20}={\frac {1}{2!}}{\frac {\Delta ^{2+0}z_{00}}{h^{2}}},\;\;c_{11}={\frac {\Delta ^{1+1}z_{00}}{hk}},\;\;c_{02}={\frac {1}{2!}}{\frac {\Delta ^{0+2}z_{00}}{k^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9536a9d91be266148b8eceb79b43aee9b52794ba)
Ostatecznie wielomian interpolacyjny przybiera postać
![{\displaystyle {\begin{aligned}P(x,y)=z_{00}&+\left[{\frac {\Delta ^{1+0}z_{00}}{h}}(x-x_{0})+{\frac {\Delta ^{0+1}z_{00}}{k}}(y-y_{0})\right]\\&+{\frac {1}{2!}}\left[{\frac {\Delta ^{2+0}z_{00}}{h^{2}}}(x-x_{0})^{2}+2{\frac {\Delta ^{1+1}z_{00}}{hk}}(x-x_{0})(y-y_{0})+{\frac {\Delta ^{0+2}z_{00}}{k^{2}}}(y-y_{0})^{2}\right]\\[1ex]&\ldots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee66f6dd19be600b4341a7f4600665b6b8694a95)
Dla wygody obliczeń wprowadza się nowe zmienne
![{\displaystyle p={\frac {x-x_{0}}{h}},\;q={\frac {y-y_{0}}{k}},\;{\frac {x-x_{1}}{h}}=p-1,\;{\frac {y-y_{1}}{k}}=q-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89ef9337ad592d2f242b1075b3673e5ea1d20278)
i wtedy
![{\displaystyle {\begin{aligned}P(p,q)=z_{00}&+(p\Delta ^{1+0}z_{00}+q\Delta ^{0+1}z_{00})\\[1ex]&+{\frac {1}{2!}}\left[p(p-1)\Delta ^{2+0}z_{00}+2pq\Delta ^{1+1}z_{00}+q(q-1)\Delta ^{0+2}z_{00}\right]\\[1ex]&\ldots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e94bb882aa5418e8565e2327bf766b42554d9c6)
- ↑ a b c d e f g B.P. Demidowicz, I.A. Maron, Metody numeryczne, PWN, Warszawa 1965.
- ↑ a b W.N. Faddiejewa, Metody numeryczne algebry liniowej, PWN, Warszawa 1955.