Dwumian Newtona

Dwumian Newtona – tradycyjna nazwa twierdzenia nazywanego także wzorem dwumianowym (dwumiennym) lub wzorem Newtona, zgodnie z którym potęgę dwumianu $(x+y)^{n}$ można rozwinąć w sumę jednomianów postaci $ax^{k}y^{l}.$ W każdym z tych jednomianów współczynnik $a$ jest dodatnią liczbą całkowitą, a wykładniki przy $x$ oraz $y$ sumują się do $n.$ Współczynniki $a$ przy jednomianach są symbolami Newtona i nazywane są współczynnikami dwumianowymi.

Twierdzenie

Współczynniki dwumianowe pojawiają się jako elementy trójkąta Pascala

Jeśli $x,y$ są dowolnymi elementami dowolnego pierścienia przemiennego (np. liczby całkowite, wymierne, rzeczywiste, zespolone), to każdą naturalną potęgę dwumianu $x+y$ można rozłożyć na sumę postaci

$(x+y)^{n}={\binom {n}{0}}x^{n}+{\binom {n}{1}}x^{n-1}y+{\binom {n}{2}}x^{n-2}y^{2}+{\binom {n}{3}}x^{n-3}y^{3}+\dots +{\binom {n}{n}}y^{n},$

gdzie ${\tbinom {n}{k}}$ oznacza odpowiedni współczynnik dwumianowy.

Przyjmując $x^{0}=y^{0}=1$ (także w przypadku, gdy $x=0$ lub $y=0$), można powyższy wzór zapisać za pomocą notacji sumacyjnej

$(x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{n-k}y^{k}.$

Uwagi

1. W szczególności dla $x=1$ lub $y=1$ dostaniemy wzór na tzw. szereg Newtona $(1+x)^{n}=\sum _{k=0}^{n}\;{n \choose k}\;x^{k}.$
2. Współczynniki dwumianowe są elementami $n+1$ wiersza w trójkącie Pascala.

Przykłady

$(x+y)^{1}=x+y$

$(x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}$

$(x+y)^{3}=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}$

Dowód twierdzenia

Dowód na zasadzie indukcji matematycznej.

Dla $n=1$ jest

$(x+y)^{1}=x+y={\binom {1}{0}}xy^{0}+{\binom {1}{1}}x^{0}y=\sum _{k=0}^{1}{\binom {1}{k}}x^{1-k}y^{k}.$

Załóżmy, że wzór zachodzi dla pewnego $n.$ Wtedy dla $n+1$ mamy

${\begin{aligned}(x+y)^{n+1}&=(x+y)(x+y)^{n}\\&=(x+y)\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{n-k}y^{k}\\&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{n-k+1}y^{k}+\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{n-k}y^{k+1}\\&={\binom {n}{0}}x^{n+1}+\sum _{k=1}^{n}\left[{\binom {n}{k}}+{\binom {n}{k-1}}\right]x^{n-k+1}y^{k}+{\binom {n}{n}}y^{n+1}\\&={\binom {n+1}{0}}x^{n+1}+\sum _{k=1}^{n}{\binom {n+1}{k}}x^{(n+1)-k}y^{k}+{\binom {n+1}{n+1}}y^{n+1}\\&=\sum _{k=0}^{n+1}{\binom {n+1}{k}}x^{(n+1)-k}y^{k},\end{aligned}}$

co kończy dowód.

Historia

Wzór oraz trójkątne uporządkowanie współczynników dwumianowych przypisuje się często Blaise’owi Pascalowi, który opisał je w XVII wieku, ale były one znane wielu matematykom żyjącym przed nim.

W IV w. p.n.e. grecki matematyk Euklides znał przypadek szczególny twierdzenia dla wykładnika nie większego niż 2, podobnie jak żyjący w III w. p.n.e. hinduski matematyk Pingala, który znał twierdzenie dla wyższych wykładników. Ogólniejsze twierdzenie dwumianowe i tzw. „trójkąt Pascala” były znane żyjącym:

• w X w. n.e. – matematykowi hinduskiemu Halajudzie,
• w XI w. n.e. – matematykowi perskiemu Omarowi Chajjamowi,
• w XIII w. – matematykowi chińskiemu Yang Hui,

którzy uzyskali podobne wyniki.

Uogólnienie

Korzystając z uogólnionego symbolu Newtona, możemy wyprowadzić wzór na dowolną (rzeczywistą lub zespoloną) $r$-tą potęgę sumy $x+y,$ w której $x,y$ są rzeczywiste, $y>0$ oraz $|{\tfrac {x}{y}}|<1{:}$

$(x+y)^{r}=\sum _{k=0}^{\infty }{r \choose k}x^{k}y^{r-k}.$