Dwumian Newtona

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Dwumian Newtona – tradycyjna nazwa twierdzenia nazywanego także wzorem dwumianowym (dwumiennym) lub wzorem Newtona, zgodnie z którym potęgę dwumianu można rozwinąć w sumę jednomianów postaci . W każdym z tych jednomianów współczynnik jest dodatnią liczbą całkowitą, a wykładniki przy oraz sumują się do . Współczynniki przy jednomianach są symbolami Newtona i nazywane są współczynnikami dwumianowymi.

Twierdzenie[edytuj]

Współczynniki dwumianowe pojawiają się jako elementy trójkąta Pascala.

Jeśli są dowolnymi elementami dowolnego pierścienia przemiennego[1] (np. liczby całkowite, wymierne, rzeczywiste, zespolone), to każdą naturalną potęgę dwumianu można rozłożyć na sumę postaci

gdzie oznacza odpowiedni współczynnik dwumianowy.

Przyjmując (także w przypadku, gdy lub ) można powyższy wzór zapisać za pomocą notacji sumacyjnej

Uwagi
  1. W szczególności dla lub dostaniemy wzór na tzw. szereg Newtona
  2. Współczynniki dwumianowe są elementami wiersza w trójkącie Pascala
Przykłady

Dowód twierdzenia[edytuj]

Dowód na zasadzie indukcji matematycznej.

Dla jest

Załóżmy, że wzór zachodzi dla pewnego . Wtedy dla mamy

co kończy dowód.

Historia[edytuj]

Wzór oraz trójkątne uporządkowanie współczynników dwumianowych przypisuje się często Blaise’owi Pascalowi, który opisał je w XVII wieku, ale były one znane wielu matematykom żyjącym przed nim. W IV w. p.n.e. grecki matematyk Euklides znał przypadek szczególny twierdzenia dla wykładnika nie większego niż 2[2][3], podobnie jak żyjący w III w. p.n.e. hinduski matematyk Pingala, który znał twierdzenie dla wyższych wykładników. Ogólniejsze twierdzenie dwumianowe i tzw. „trójkąt Pascala” były znane żyjącym w X w. n.e. matematykowi hinduskiemu Halajudzie, w XI w. n.e. matematykowi perskiemu Omarowi Chajjamowi i w XIII w. matematykowi chińskiemu Yang Hui, którzy uzyskali podobne wyniki[4].

Uogólnienie[edytuj]

Korzystając z uogólnionego symbolu Newtona możemy wyprowadzić wzór na dowolną (rzeczywistą lub zespoloną) -tą potęgę sumy , w której są rzeczywiste, oraz :

Przypisy

  1. W ogólności łączność pierścienia można zastąpić alternatywnością.
  2. Binomial Theorem.
  3. J. L. Coolidge, The Story of the Binomial Theorem, The American Mathematical Monthly 56:3 (1949), s. 147–157.
  4. James A. Landau: Historia Matematica Mailing List Archive: Re: [HM] Pascal’s Triangle. 1999-05-08. [dostęp 2007-04-13].