Dwumian Newtona
Dwumian Newtona – tradycyjna nazwa twierdzenia nazywanego także wzorem dwumianowym (dwumiennym) lub wzorem Newtona, zgodnie z którym potęgę dwumianu można rozwinąć w sumę jednomianów postaci W każdym z tych jednomianów współczynnik jest dodatnią liczbą całkowitą, a wykładniki przy oraz sumują się do Współczynniki przy jednomianach są symbolami Newtona i nazywane są współczynnikami dwumianowymi.
Twierdzenie[edytuj | edytuj kod]
Jeśli są dowolnymi elementami dowolnego pierścienia przemiennego[a] (np. liczby całkowite, wymierne, rzeczywiste, zespolone), to każdą naturalną potęgę dwumianu można rozłożyć na sumę postaci
gdzie oznacza odpowiedni współczynnik dwumianowy.
Przyjmując (także w przypadku, gdy lub ), można powyższy wzór zapisać za pomocą notacji sumacyjnej
- Uwagi
- W szczególności dla lub dostaniemy wzór na tzw. szereg Newtona
- Współczynniki dwumianowe są elementami wiersza w trójkącie Pascala.
- Przykłady
-
Dowód twierdzenia[edytuj | edytuj kod]
Dowód na zasadzie indukcji matematycznej.
Dla jest
Załóżmy, że wzór zachodzi dla pewnego Wtedy dla mamy
co kończy dowód.
Historia[edytuj | edytuj kod]
Wzór oraz trójkątne uporządkowanie współczynników dwumianowych przypisuje się często Blaise’owi Pascalowi, który opisał je w XVII wieku, ale były one znane wielu matematykom żyjącym przed nim.
W IV w. p.n.e. grecki matematyk Euklides znał przypadek szczególny twierdzenia dla wykładnika nie większego niż 2[1][2], podobnie jak żyjący w III w. p.n.e. hinduski matematyk Pingala, który znał twierdzenie dla wyższych wykładników. Ogólniejsze twierdzenie dwumianowe i tzw. „trójkąt Pascala” były znane żyjącym:
- w X w. n.e. – matematykowi hinduskiemu Halajudzie,
- w XI w. n.e. – matematykowi perskiemu Omarowi Chajjamowi,
- w XIII w. – matematykowi chińskiemu Yang Hui,
którzy uzyskali podobne wyniki[3].
Uogólnienie[edytuj | edytuj kod]
Korzystając z uogólnionego symbolu Newtona, możemy wyprowadzić wzór na dowolną (rzeczywistą lub zespoloną) -tą potęgę sumy w której są rzeczywiste, oraz
Uwagi[edytuj | edytuj kod]
- ↑ W ogólności łączność pierścienia można zastąpić alternatywnością.
Przypisy[edytuj | edytuj kod]
- ↑ Eric W. Weisstein , Binomial Theorem, [w:] MathWorld [online], Wolfram Research [dostęp 2020-12-13] (ang.).
- ↑ J. L. Coolidge, The Story of the Binomial Theorem, The American Mathematical Monthly 56:3 (1949), s. 147–157.
- ↑ James A. Landau: Historia Matematica Mailing List Archive: Re: [HM] Pascal’s Triangle. [w:] Archives of Historia Matematica [on-line]. 1999-05-08. [dostęp 2007-04-13].