Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Kryterium Bertranda – kryterium zbieżności szeregów liczbowych o wyrazach dodatnich.
Niech dany będzie szereg liczbowy
| | |
|
(A) |
o wyrazach dodatnich. Niech
Wówczas
- szereg (A) jest zbieżny, gdy
- szereg (A) jest rozbieżny, gdy
- [1][2].
Kryterium Bertranda można spotkać również w nieco słabszej, następującej wersji. Jeżeli ciąg jest zbieżny do pewnego to
- szereg (A) jest zbieżny, gdy oraz
- szereg (A) jest rozbieżny, gdy
W przypadku, gdy kryterium nie rozstrzyga.
Dowód w oparciu o kryterium Kummera[edytuj | edytuj kod]
Osobny artykuł: kryterium Kummera.
Niech
Ponieważ szereg
jest rozbieżny (co wynika z zastosowania kryterium całkowego[3]), kryterium Kummera się stosuje. W tym wypadku
Ponieważ
teza kryterium Bertranda wynika wprost z zastosowania kryterium Kummera[2][4].