Kryterium całkowe

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Kryterium całkowe – metoda sprawdzania, czy nieskończony szereg liczbowy o nieujemnych wyrazach jest zbieżny. Wczesna forma tego kryterium została odkryta w Indiach przez Madhawę w XIV wieku i jego następców ze szkoły w Kerali. W Europie została później odkryta przez Maclaurina i Cauchy'ego i jest czasem nazywana kryterium Maclaurina-Cauchy'ego.

Sformułowanie[edytuj]

Jeżeli funkcja jest dodatnia i malejąca w przedziale i jeżeli to szereg jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy całka jest zbieżna.

Dowód[edytuj]

dla i dla ,

więc dla

skąd

czyli .

Jeżeli całka jest zbieżna, to ciąg jest ograniczony więc i ciąg jest ograniczony, a przez to zbieżny. Jeżeli całka nie istnieje, to ciąg , a przez to ciąg jest rozbieżny.

Przykład[edytuj]

Dowód, że szereg , gdzie , , a oznacza -krotne złożenie funkcji jest zbieżny dla i rozbieżny dla .

Po pierwsze dla mamy , gdzie . Wyrazy tego szeregu są nieujemne i tworzą ciąg malejący, więc można zastosować kryterium całkowe. Zbieżność szeregu jest równoważna zbieżności całki

,

gdy , czyli gdy .

W ogólnym przypadku też można zastosować kryterium całkowe, a całka ma postać . Przez podstawienie otrzymujemy () , czyli całkę dla . Metodą indukcji matematycznej można więc dowieść, że całki są zbieżne wtedy i tylko wtedy, kiedy . Na mocy kryterium całkowego wynika stąd, że również szeregi spełniają ten warunek.

Zobacz też[edytuj]