Kryterium całkowe

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Kryterium całkowe – metoda sprawdzania, czy nieskończony szereg liczbowy o nieujemnych wyrazach jest zbieżny. Wczesna forma tego kryterium została odkryta w Indiach przez Madhawę w XIV wieku i jego następców ze szkoły w Kerali. W Europie została później odkryta przez Maclaurina i Cauchy'ego i jest czasem nazywana kryterium Maclaurina-Cauchy'ego.

Sformułowanie[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli funkcja f\,(x) jest dodatnia i malejąca w przedziale n_0\le x<+\infty i jeżeli f\,(n)=a_{n} to szereg  \sum_{n=n_0}^{+\infty}a_{n} jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy całka  I=\int\limits_{n_0}^{\infty}f(x)\,dx jest zbieżna.

Dowód[edytuj | edytuj kod]

f\,(x)\le a_k dla  k\le x\le k+1 i  a_k\le f\,(x) dla  k-1\le x\le k,

więc \int\limits_k^{k+1}f(x)\,dx\le a_k\le\int\limits_{k-1}^{k}f(x)\,dx dla k\,=2,3,...

skąd a_2 +...+a_n\le\int\limits_1^n f(x)\,dx\le a_1 +...+ a_{n-1}

czyli s_n-a_1\le I_n\le s_{n-1}.

Jeżeli całka I\, jest zbieżna, to ciąg (I_n)\, jest ograniczony więc i ciąg (s_n)\, jest ograniczony, a przez to zbieżny. Jeżeli całka I\, nie istnieje, to ciąg (I_n)\,, a przez to ciąg (s_{n-1})\, jest rozbieżny.

Przykład[edytuj | edytuj kod]

Dowód, że szereg \sum_{n=m}^\infty {1 \over \left(\prod\limits_{i=0}^{k-1} \ln^i(n)\right) \cdot (\ln^k(n))^s}, gdzie k\in\mathbb{N}, m>\exp^k(0), a \ln^k(x) oznacza k-krotne złożenie funkcji jest zbieżny dla s>1 i rozbieżny dla 0<s\leq 1.

Po pierwsze dla k=0 mamy \sum_{n=m}^\infty {1 \over n^s}, gdzie m>0. Wyrazy tego szeregu są nieujemne i tworzą ciąg malejący, więc można zastosować kryterium całkowe. Zbieżność szeregu jest równoważna zbieżności całki

\int\limits_{m}^\infty {dx \over x^s} = \int\limits_{m}^\infty {x^{-s}dx} = \left[ {x^{-s+1} \over -s+1} \right]_{m}^\infty =  \lim_{x \to \infty}~{x^{-s+1} \over -s+1} - {m^{-s+1} \over -s+1} =-\frac{m^{-s+1}}{-s+1},

gdy -s+1<0, czyli gdy s>1.

W ogólnym przypadku też można zastosować kryterium całkowe, a całka ma postać \int\limits_{m}^\infty{dx \over \left(\prod\limits_{i=0}^{k-1} \ln^i(x)\right) \cdot (\ln^k(x))^s}. Przez podstawienie y=\ln(x) otrzymujemy (dy=dx/x) \int\limits_{\ln(m)}^\infty{dy \over \left(\prod\limits_{i=0}^{k-2} \ln^i(y)\right) \cdot (\ln^{k-1}(y))^s}, czyli całkę dla k-1. Metodą indukcji matematycznej można więc dowieść, że całki są zbieżne wtedy i tylko wtedy, kiedy s>1. Na mocy kryterium całkowego wynika stąd, że również szeregi spełniają ten warunek.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]