Kwantowa metoda Monte Carlo

Kwantowa metoda Monte Carlo – metoda rozwiązywania równania Schrödingera, używana w fizyce obliczeniowej. Wykorzystuje zwykłą metodę Monte Carlo obliczania całek do całki Feynmana po trajektoriach. Polega na potraktowaniu równania Schrödingera jako równania dyfuzji i jej symulacji poprzez gaussowski proces stochastyczny. Funkcja falowa reprezentowana jest poprzez gęstość punktów-chodziarzy, które poruszają się symetrycznym ruchem losowym, tzn. po wielu krokach:

$x^{n+1}=x^{n}+{\sigma }(n)$

gdzie $\sigma (n)$ jest tzw. funkcją kroku, będącą zmienną losową o rozkładzie normalnym.

Rozdzielczość przestrzenna funkcji falowej w porównaniu z metodami sieciowymi (np. elementu skończonego) w poważnych symulacjach kwantowych wyraża się wzorem

$k=(tn)^{1/3N}$

gdzie t jest liczba kroków losowania, n liczba chodziarzy, a N liczba cząstek (elektronów, bozonów), a więc z argumentu wielkości liczby $2^{64}$ jest zawsze poniżej liczby 2.

Ten paradoks można wyjaśnić tzw. metodą rozwijania wymiaru tzn. dla układu N nie oddziałujących cząstek (np. w potencjale oscylatora harmonicznego) nie ma różnicy czy traktujemy go jako N niezależnych symulacji jednowymiarowych (z możliwą dużą rozdzielczością) czy odpowiedni układ wielowymiarowy. Z ciągłości zachowań układów fizycznych włączenie oddziaływania nawet silnego, nie zmieni poprawności metody (twierdzenie Gell-Manna i Lowa).

Mimo że średnie układu fizycznego znacznie fluktuują w czasie (dla poszczególnego kroku) używa się z reguły tzw. hipotezy ergodycznej i ich średnich tych średnich po czasie, które zbiegają doskonale do wartości fizycznych.

Literatura

• B.L. Hammond, W. A., Jr. Lester, and P.J. Reynolds, Monte Carlo Methods in Ab Initio Quantum Chemistry (World Scientific, 1994).