Liczby p-adyczne całkowite

Liczby p-adyczne całkowite (gdzie $\mathbb {N} \ni p>1,$ np. 10-adyczne, 2-adyczne) są rozszerzeniem pojęcia liczb całkowitych i (gdy p jest liczbą pierwszą) szczególnym przypadkiem liczb p-adycznych. Liczba p-adyczna całkowita to nieskończony ciąg liczb całkowitych $a_{i}$ zwanych cyframi, zawartych w przedziale $[0,p-1],$ gdzie $i=0,1,\dots$

Skrótowo zapisuje się je jako: $...a_{7}a_{6}a_{5}a_{4}a_{3}a_{2}a_{1}a_{0}.$

Działania

Dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie wśród liczb p-adycznych wykonuje się analogicznie jak odpowiednie działania pisemne dla liczb całkowitych w systemie liczbowym o podstawie $p,$ choć oczywiście cyfr jest tu nieskończenie wiele. Na przykład dla liczb 10-adycznych:

{\begin{array}{r}...129129129\\{\underline {+\quad ...545454545}}\\...674583674\end{array}}

Liczby ujemne

Liczby ujemne można zdefiniować w następujący sposób: liczbą p-adyczną $-x$ nazywamy liczbę, która odjęta od x da zero (...0000).

Tym samym wśród liczb 10-adycznych:

−1 = ...99999
−2 = ...99998
−10 = ...99990
−15 = ...99985

itd.

Ogólnie liczbę przeciwną do liczby $...a_{7}a_{6}a_{5}a_{4}a_{3}a_{2}a_{1}a_{0}$ konstruujemy następująco:

Każdą cyfrę $a_{i}$ zastępujemy przez $p-1-a_{i}.$
Dodajemy do tak powstałej liczby p-adycznej 1.

Zachodzi tu analogia z używanym w informatyce kodem uzupełnień do dwóch (U2), który koduje skończone liczby całkowite ujemne za pomocą liczb naturalnych w analogiczny sposób, jak w liczbach 2-adycznych.

Moc zbioru liczb p-adycznych całkowitych

Zbiór liczb p-adycznych całkowitych ma moc continuum, więc podobnie jak w przypadku liczb rzeczywistych jedynie znikomo mały ich podzbiór jesteśmy w stanie zapisać w ten sposób (np. gdy występuje okres). W przypadku bardziej złożonych liczb p-adycznych musimy podawać wzór na elementy ciągu $a_{i},$ co także nie wyczerpuje wszystkich możliwych liczb p-adycznych (taki wzór może nie dawać się zapisać w skończonej postaci).

Liczby p-adyczne całkowite tworzą pierścień przemienny nad pierścieniem liczb całkowitych. Elementem neutralnym dodawania jest $...0000,$ czyli liczba całkowita zero.

Przykłady

$...000652$ (można ją utożsamiać z liczbą całkowitą $652$ )
$...999348$ (można ją utożsamiać z liczbą całkowitą $-652$ )

Zobacz też