Liczby p-adyczne całkowite

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Liczby p-adyczne całkowite (gdzie , np. 10-adyczne, 2-adyczne) są rozszerzeniem pojęcia liczb całkowitych i (gdy p jest liczbą pierwszą) szczególnym przypadkiem liczb p-adycznych. Liczba p-adyczna całkowita to nieskończony ciąg liczb całkowitych zwanych cyframi, zawartych w przedziale , gdzie i=0,1,...

Skrótowo zapisuje się je jako: .

Działania[edytuj | edytuj kod]

Dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie wśród liczb p-adycznych wykonuje się analogicznie jak odpowiednie działania pisemne dla liczb całkowitych w systemie liczbowym o podstawie , choć oczywiście cyfr jest tu nieskończenie wiele. Na przykład dla liczb 10-adycznych:

Liczby ujemne[edytuj | edytuj kod]

Liczby ujemne można zdefiniować w następujący sposób: liczbą p-adyczną nazywamy liczbę, która odjęta od x da zero (...0000).

Tym samym wśród liczb 10-adycznych:

  • -1 = ...99999
  • -2 = ...99998
  • -10 = ...99990
  • -15 = ...99985

itd.

Ogólnie liczbę przeciwną do liczby konstruujemy następująco:

  1. Każdą cyfrę zastępujemy przez .
  2. Dodajemy do tak powstałej liczby p-adycznej 1.

Zachodzi tu analogia z używanym w informatyce kodem uzupełnień do dwóch (U2), który koduje skończone liczby całkowite ujemne za pomocą liczb naturalnych w analogiczny sposób, jak w liczbach 2-adycznych.

Moc zbioru liczb p-adycznych całkowitych[edytuj | edytuj kod]

Zbiór liczb p-adycznych całkowitych ma moc continuum, więc podobnie jak w przypadku liczb rzeczywistych jedynie znikomo mały ich podzbiór jesteśmy w stanie zapisać w ten sposób (np. gdy występuje okres). W przypadku bardziej złożonych liczb p-adycznych musimy podawać wzór na elementy ciągu , co także nie wyczerpuje wszystkich możliwych liczb p-adycznych (taki wzór może nie dawać się zapisać w skończonej postaci).

Liczby p-adyczne całkowite tworzą pierścień przemienny nad pierścieniem liczb całkowitych. Elementem neutralnym dodawania jest , czyli liczba całkowita zero.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • (można ją utożsamiać z liczbą całkowitą )
  • (można ją utożsamiać z liczbą całkowitą )

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]